2015年全国高中数学联赛安徽省初赛Word版含答案

=中出刊奖题号总分9 =中出刊奖题号总分9101112得分评卷人复核人注意：1．本试卷共12小题，满分150分； 2．请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；3．书写不要超过装订线； 4．不得使用计算器．一、填空题(每题8分，共64分)函数f(x)=|x+1|+|x+3|+e-尤,xeR的最小值是.x1设x=1,x=—1 ,n>2.数列｛x｝的通项公式是x= . tp n2x+ tp n-1.设平面向量a,P满足1<|a|,|P|,|a+P|<3,则a・B的取值范围是.设f(x)是定义域为R的具有周期2兀的奇函数，并且f(3)=f(4)=0，则f(x)在[0,10]中至少有个零点..设a为实数，且关于x的方程(a+cosx)(a-sinx)=1有实根，则a的取值范围是.给定定点尸(0,1),动点Q满足线段PQ的垂直平分线与抛物郸=x2相切，则Q的轨迹方程是 .—架—.设z=x+”为复数，其中x,j是实数，i是虚数单位，其满足z的虚部和三的实1-z—架—部均非负，则满足条件的复平面上的点集(x,j)所构成区域的面积是．.设n是正整数.把男女乒乓球选手各3n人配成男双、女双、混双各n对，每位选手均不兼项，则配对方式总数是.解答题（第9题20分，第10—12题22分，共86分）1 1 19.设正实数a,b满足a+b=1.求证：aa2+—+[b2+->3.a\b9.10.在如图所示的多面体ABCDEF中，已知AD,BE,CF都与平面ABC垂直.设AD=a,BE=b,CF=c,AB=AC=BC=1.求四面体ABCE与BDEF公共部分的体积（用a,b,c表示）.10.11.设平面四边形ABCD的四边长分别为4个连续的正整数。证明：四边形ABCD的面积的最大值不是整数。12.已知31位学生参加了某次考试，考试共有10道题，每位学生解出了至少6道题．求证：存在两位学生，他们解出的题目中至少有5道相同．试题解答一、填空题(每题8分，共64分)1.当x <—3时，f(x)= —2x —4+ e-x,f(x)= —2 — e-x <0,因此f(x)单调减；当-3<x<-1时，f(x)=2+e-x,f(x)=-e-x<0，此时f(x)亦单调减；当x>-1时，f(x)=2x+4+e-x，f(x)=2-e-x.令f(x)=0得x=-ln2.因此f(x)在x=-ln2处取得最小值6-2ln2.2.设u=a+cosx,v=a-sinx.方程有实根o双曲线uv=1与圆(u-a)2+(v-a)2=1有公共交点.注意到圆的圆心位于直线y=x之上，只须找到圆与双曲线相切时圆心的位置即可.易计算得，圆与双曲线切于A(1,1)点时，圆心坐标为1-J2/2或1+J2/2.圆与双曲线切于B(-1,-1)点时，圆心坐标为-1-d2/2或-1+^12/2.因此，a的取值范围为ag

-1-4+£丫3.x+1 2x+1由x+1=3——«=1 和2x+1=2—1 ,n 2x +4n 2x +4n-1 n-1可得x+1——n 2x+13x+1 (3丫-2 n-1 =—22x +112)n-14.a・B=1b+阡-"|2-|阡&+阡-"-阡)<4179以上等号均可取到.故a.p的取值范围是-17,4以上等号.由题设可知f(兀+x)= f(-兀+ x) = -f(兀-x)。令x=0得f(k)=0。另一方面，f(2兀-4)=f(-4)--f(4)=0.类似地，f(2兀-3);0因此，f(x)在［0,10］中的零点一定包含0,2n-4,3,n,2n-3,4,2n,4n-4,2n+3,3n,4n-3这11个零点.

.设尸。的垂直平分线/与抛物线y=x2相切于。,t2),切向为(1,2t).则l的方程为y=21(x-1)+12.设Q(x,y),由PQ与l垂直且PQ中点在l上，可得Jx+21(y-1)=0①|士(y+1)=tx-12②2由①解得t=2-x2y，代入②得Q的轨迹方程为一一、 八「一11(2y-1)x2+2(y+1)(y-1)2=0，yg-1,--7.ReReX+(yT).i1-x-yi7.ReReX+(yT).i1-x-yix(1-x)-(y-1)y- - >0等价于(1-x)2+y2(x—i)2+(y—1)2

2 2-22.又由于y>o,故满足条件的点集构成了圆的一部分，乙计算得其面积为8.从3n名男选手中选取2n人作为男双选手有。n种选法，把他们配成n对男双选3n手有四种配对方式。女选手类似。把1个男选手和n个女选手配成n对混双有口!2nn!种配对方式。因此，配对方式总数4C2Cn!Tn!=(3n)!.I3n2n2n) (n!)322n、解答题(第9题20分，第10—12题每题22分，共86分).证明：对任意ae(0,1),由均值不等式有1 1 14a+—>2』4ax—=4. (5分)a\a因此，；a2+1二■a： . . 1 . 一,a2—4a+4a+>-、；a2—4a+4=2—a.■ a(15分)同理，对于任意be（0,1）,（20分）. 1 二1（20分）因此，।a2+—+।b2+—>2—a+2—b—3.a\b10.设AEIBD=G,BFICE=H,则四面体BEGH是ABCE与BDEF的公共部分. （5分）TOC\o"1-5"\h\z易计算得：G到直线AB的距离d=迫， （10分）a+bG到平面BCFE的距离d=3dlL， （15分）2aH到直线BC的距离d=bc—，S=上。3. （20分）b+C领2因此，V=^beA=____与——-. （22分）BEGH3 12（a+b）（b+c）11.不妨设ABCD是凸四边形，其面积为S.记a=AB,b=BC,c=CD,d=DA。由S=LabsinB+£cdsinD,2 2，AC2=a2+b2—2abcosB=c2+d2-2cdcosD可得（8分）2S=absinB+cdsinD,（8分）(a2+b2—c2—d2)/2=abcosB—cdcosD两遍平方和得4S2=(ab)2+(cd)2—2abcdcos(B+D)——(a2+b2—c2—d2)24<(ab+cd)2—1(a2+b2—c2—d2)24=1(b+c+d—a)(a+c+d—b)(a+b+d—c)(a+b+c—d).4（16分）等号成立当且仅当B+D-兀,即A,B,C,（16分）现根据假设a,b,c,d为四个连续整数n,n+1,n+2,n+3（n>1）.由此

S=Jn(n+1)(n+2)(n+3).显然n2+3n<S<n2+3n+1.因此，S不是整数。（22分）整数。12.证明：设S是所有试题的集合，S是第i位学生解出的试题的集合，T=S\S.题i ii目即证存在iwj使得SIS>5