2022-2023学年奥数专家点拨小学五年级上册《能被以下质数整除的数的特征》试题附答案

小学五年级上册数学奥数知识点讲解第6课《能被30以下质数整除的数的特征》试题附答

案

第六讲能祓30以下质数整除的数的特征

大家知道，一个整数能被2整除，那么它的个位数能被2整除；反过来也

对，也就是一个数的个位数能被2整除，那么这个数本身能被2整除.因此，我们

说“一个数的个位数能被2整除”是“这个数能被2整除”的特征.在这一讲中，

我们通过寻求对于某些质数成立的等式来导出能被这些质数整除的数的特征。

为了叙述方便起见，我们把所讨论的数N记为：

32

N=""a3a3a]a0=…+a3X10+a2X10+ajX10+a0,

有时也表示为

N='"DCBAo

我们已学过同余，用mod2表示除以2取余数.有公式:

①N=aO(mod2)

②N=alaO(mod4)

③NmaZalaO(mod8)

(4)N—a3a2ala0(modi6)

这几个公式表明一个数被2(4,8,16)整除的特性，而且表明了不能整

除时，如何求余数。

此外，被3(9)整除的数的特征为：它的各位数字之和可以被3(9)整除.

我们借用同余记号及一些运算性质来重新推证一下一如(mod9),如果，

N=a^a-a1^=a,X1000+a-X100+a,X10+a-

=a,X(999+1)+%X(99+1)+%X(9+1)+1

=Ca»+a；+a,+aj)+(a^X999+a^X99+a1X9),

那么，等式右边第二个括号中的数是9的倍数，从而有

N=a,+(mod9)

对于mod3,理由相仿，从而有公式：

(5)N=+a；+a2+ax+a^,)(mod9),

N=(…+”.+%+4+%)(mod3)o

对于被11整除的数，它的特征为：它的奇位数字之和与偶位数字之和的差

(大减小)能被11整除。

先看一例.N=31428576,改写N为如下形式：

N=6+7(11-1)+5(99+1)+8(1001-1)+2(9999+1)+4(100001-

1)+1(999999+1)+3(10000001-1)

=6-7+5-8+2-4+l-3+7X11+5X99+8X1001+2X9999+4X100001+1X

999999+3XlOOOOOOlo

由于下面这两行里，11、99、1001,9999、10000L999999、10000001都

是11的倍数，所以

N=6-7+5-8+2-4+1-3(modll)。

小学生在运算时，碰上“小减大”无法减时，可以从上面N的表达式最后

一行中“借用T1的适当倍数(这样，最后一行仍都是11的倍数)，把它加到

"小减大''的算式中，这样就得到：

设N="'a7a6a5a4a3a2ala0，

N=11+6-7+5-8+2-4+1-3三3(modll)。

现在总结成一般性公式(推理理由与例题相仿).

则N三(a0-al+a2-a3+a4-a5+a6-a7+…)(modll)

或者：

⑥N=((a0+a2+a4+…)-(al+a3+a5+…))(modll)

(当不够减时，可添加11的适当倍数)。

因此，一个自然数能被11整除的特征是：它的奇位数字之和与偶位数字之

和的差(大减小)能被11整除。

我们这里的公式不仅包含整除情况，还包含有余数的情况。

下面研究被7、11、13整除的数的特征。

有一关键性式子：7X11X13=1001。

如有一个数有六位，记为N=FEDCBA,那么

N=FEDX1000+

=FEDX(1001)-FED+^A

=FEDX0X11X13)+CBA-FEDO

所以NtE被7、11、13整除，相当于

而支-丽或而而久(以大减小)

能被7、11、13整除总结为公式：

©N=-GFEDCBA=C3A--GFED(mod7)；

(modll)；(modi3)

(当^Z<・“GFED时,可在亩入…GFED上加上7或11或13的适

当倍数)。

表述为：判定某数能否被7或11或13整除，只要把这个数的末三位与前面

隔开，分成两个独立的数，取它们的差(大减小)，看它是否被7或11或13整

除。

此法则可以连续使用。

例：N=31428576.判定N是否被11整除。

987654987

-321-333

第一步：…333第二戋F

因为822不能被11整除，所以N不能被11整除。

例：N=215332一判定N是否被7、11、13整除。

332

由于117=13X9,所以117能被13整除，但不能被7、11整除，因此既旨被

13整除,不能被7、11整除。

此方法的优点在于当判定一个较大的数能否被7或11或13整除时，可用减

法把这个大数化为一个至多是三位的数，然后再进行判定。

如N=987654321.判定醺自否被13整除？

987654987

-321-333

第一步.____________第二步:

987333654

而654=50X13+4,所以原数不能被13整除.如直接计算，很费力：

987654321=75973409X13+4。

下面研究可否被17、19整除的简易判别法.回顾对比前面，由等式1001=7

X11X13的启发，才有简捷的“隔位相减判整除性”的方法.对于质数17,我们

有下面一些等式：

17X6=102,17X59=1003,17义588=9996,

17X5882=99994,

我们不妨从17义59=1003出发。

由于N=FEDCBA=^X1000+^X

=FEDX(1003-3)+亩鼠

=FEDX1003+CBA-3XFED。

^^A-3XFED(modi?)。

（亦可在砺-3X由上加上V7的适当倍数）。

因此，判定一个数可否被17整除，只要将其末三位与前面隔开，看末三位

数与前面隔出数的3倍的差（大减小）是否被17整除。

例：N=31428576,判定原好否被「整除。

第一步：31428第二步：708

义3-279

94284—429（93X3）

-576

-93708

而429=25X17+4,所以N不能被整除。

例：N=2661027能否被17整除？

第一步：2661第二步：956

X3-21

7983¥1~5~（7X3）

-027

7956

又935=55义17。

所以N可被17整除。

下面来推导被19整除的简易判别法。

寻找关键性式子：19X52=988,19X53=1007.

由于N=FEDCBA=玄BX(1000)+CBA

=FEDX(1007-7)+^A

=FEDX1007+CBA-7XFED

=CBA-7XFED(mod)9)。

（亦可在向£-7X函上加上19的适当倍数）。

因此，判定一个数可否被19整除，只要将其末三位与前面隔开，看末三位

与前面隔出数的7倍的差（大减小）是否被19整除。

五年级奥数上册：第六讲能被30以下质数整除的数的特征习题

习题六

1.公式1003=17义59曾用于推导判定被17整除的公式，请说明公式②也是

判定被59整除的简便公式。

2.说明公式③也是判定被53整除的简便公式。

3.61是质数，并且10004=61X164,你能利用这一等式导出判定被61整除

的简便公式吗？

4.67是质数,1005=67X15,请证明：

N=GFEDCBA=CBA-5XGFED(mod67)

(可在右端加上67的适当倍数)。

5.994=71X14,71是质数，请导出判定被71整除的公式。

6.N=31428576可否被37整除？

7.已知整除Ix2x3x4x第总被11整除,求x可能的值。

8.判别517214316+721°能否被6整除？能否被9整除？说明理由。

9.证明210-28+2、-2,+2?-1能被9整除。

10.求使产】能被7整除的所有自然数n.

五年级奥数

上册：第六讲能被30以下质数整除的数的特征习题解答

习题六解答

1.N=GFEDCBA=GFEDX(1003-3)+CBA

=CBA-3XGFED(mod59)。

2.N=GFEDX(1007-7)+^A

(•.,1007=19X53)

^^A-7XCTED(mod53)。

3.N=DCBA+OTEX(10004-4)三DCBA-4X■(mod61)»

4.N=GFEDCBA=CTEDX(1005-5)+CBA

=CBA-5XGFED(mod67)。

5.N=GFEDCBA=CTEDX(994+6)+福五

=6XCTED+^A(mod71)o

6.N=31428576=31428+576=32004

=4+32=36(mod37).所以不可以。

7.x=lo

8.N=517214316+7210=0(mod2)；

N=0(mod3),=>N=0(mod6),N=3(mod9)«

9.写成二进制N=(10001000100)2-(10001000)2=(1100110011)2

,(9)10=