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文档简介
§7.5幂级数一、幂级数及其收敛半径和收敛域二、幂级数的性质函数项级数幂级数
的级数称为(x
x0)的幂级数
其中a0
a1
a2
an
都是常数
叫做幂级数的系数
形如一、幂级数及其收敛半径和收敛域
当x0
0时
上述幂级数成为称为x的幂级数
幂级数
(x
x0)的幂级数提问
下列级数中哪些级数是幂级数？1
x
x2
x3
xn
下面我们主要讨论x的幂级数给定上述幂级数变成若上述级数收敛，这称为级数的收敛点.若上述级数发散，这称为级数的发散点.全体收敛点的集合称为级数的收敛域.根据任意项级数绝对收敛性的判别方法
对于幂级数nnnxaå¥=0,
设laannn=+¥®||lim1.
如何求收敛域呢？收敛半径
若有正数R
使当|x|
R时幂级数绝对收敛
当|x|
R时幂级数发散
则称R为幂级数的收敛半径
开区间(
R
R)称为幂级数的收敛区间
收敛域(
R
R)，[
R
R),(
R
R],[
R
R]之一.说明(1)幂级数只在x
0处收敛
则规定R
0
收敛域为点x
0
(2)幂级数对任何x都收敛
则记作R
收敛域为(
,
)
(3)当0
R
时
要对点x
R处级数的敛散情况专门讨论
以决定收敛域是开区间、闭区间或半开区间
求幂级数收敛域的步骤首先求出收敛半径R
如果0
R
则再判断x
R时幂级数的敛散性
最后写出收敛域
定理7
13(收敛半径的确定)
(2)当l
0时
R
(3)当l
时
R
0
解
因为所以幂级数的收敛半径为R
1
因此
幂级数的收敛域为(
1,1]
解
因为所以幂级数的收敛半径为R
1
因此幂级数的收敛域为(
1,1)
其和为在收敛域上，幂级数的和是关于x的函数S(x)，称S(x)为幂级数的和函数.
解
因为所以幂级数的收敛半径为R
收敛域为(
,
)
解
因为原级数可化为
级数绝对收敛
即
1
x
0时
因此幂级数的收敛域为[
1,0)
所以幂级数的收敛半径R
因此当|x
|
解
因为练习求下面幂级数的收敛半径和收敛域收敛半径，
收敛域收敛半径，
收敛域收敛半径，
收敛域二、幂级数的性质性质1(幂级数的和)
R1及R2
则其收敛半径R=min{R1,R2}
性质2(和函数的连续性)区间(
R,R)内
它的和函数S(x)是连续的
注：如果幂级数在x=
R或(x=
R)也收敛
则它的和函数S(x)在区间[
R,R)或(
R,R]是连续的
性质3(逐项积分公式)
即幂级数在其收敛区间内可以逐项积分
并且积分后级数的收敛半径也是R
性质4(逐项求导公式)
即幂级数在其收敛区间内可以逐项微分
并且微分后级数的收敛半径也是R
性质3(逐项积分公式)
性质4(逐项求导公式)
注：如果逐项积分或逐项求导后的幂级数在x=
R或(x=
R)处则在x=
R或x=R处上面的两个等式也成立
收敛
收敛半径为R
1
因此幂级数的收敛域为(
1,1)
在收敛域上，幂级数的和是关于x的函数S(x)，称S(x)为幂级数的和函数.在例2中，都是收敛的，并且给定一个x，级数都有一个确定的和与之对应，的和为
解
因为幂级数的收敛域为(
1,1)
设幂级数的和函数为S(x)
则
解
例7求级数的和函数.解：显然，收敛域为(
1,1].–1<x<1两边积分得：又x=1时，收敛，则幂级数的和函
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