浙江省杭州外国语学校2023-2024学年上学期八年级期中数学试卷

2023-2024学年浙江省杭州外国语学校八年级（上）期中数学试卷一、单选题。（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）2023亚运会在中国杭州举行，下列图形中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）不等式组的解集在数轴上可以表示为（）A． B． C． D．3．（3分）已知点M（3，﹣2）与点N（a，b）在同一条平行于x轴的直线上，且N到y轴的距离等于4，则点N的坐标是（）A．（4，2）或（﹣4，2） B．（4，﹣2）或（﹣1，﹣2） C．（4，﹣2）或（﹣5，﹣2） D．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）4．（3分）下列各曲线表示的y与x的关系中，y不是x的函数的是（）A． B． C． D．5．（3分）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则它的底角为（）A．35° B．55° C．55°或35° D．70°或35°6．（3分）下列条件中，三角形不是直角三角形的是（）A．三个角的比为1：2：3 B．三条边满足关系a2＝b2﹣c2 C．三条边的比为32：42：52 D．三个角满足关系∠B＝∠C﹣∠A7．（3分）两位同学对两个一元一次不等式a1x﹣b1＞0，a2x﹣b2＞0（a1b1，a2b2都不为0）的解提出了自己的想法，甲说：“如果，则两个不等式的解相同”，乙说：“如果两个不等式的解相同，则成立”．则他们两人的说法为（）A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错8．（3分）若正整数a既使得关于x一元一次方程2x﹣a＝3有正整数解，又使得关于x的不等式组的解集为x≥15，那么所有满足条件的正整数a的值之和为（）A．4 B．3 C．0 D．89．（3分）将两把等腰直角三角尺按如图所示的方式放置，其中A，B，E三点共线，若AB＝BC＝3，BE＝BD＝4，F，G分别是AC，DE的中点，H是FG的中点，则BH的长为（）A． B．2 C． D．2.510．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF和正方形ACGH，连接FD，HD．若BC＝6，则阴影部分的面积是（）A．6 B．12 C．9 D．6二、填空题。（本大题共6小题，每小题3分，共18分）.11．（3分）函数的自变量x的取值范围是．12．（3分）命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是，它是（填真/假）命题．13．（3分）如图，△ABC≌△DEF，点F在BC边上，AB与EF相交于点P．若∠DEF＝37°，PB＝PF，则∠APF＝°．14．（3分）如图，△ABC的顶点A，C在直线l上，∠B＝130°，∠ACB＝30°，若点P在直线l上运动，当△ABP是等腰三角形时，∠ABP的度数是．15．（3分）如图，△ABC，延长CB至点D使得BD＝BC，过点D作DF∥AC，点F与AB上一点E连结且∠BEF＝∠A，若AC＝8，DF＝2，则EF＝．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，延长BC至E，使得CE＝BC，将△ABC沿AC翻折，使点B落点D处，连接DE，求DE的长．三、解答题。（本大题共7小题，共52分）.17．（8分）解下列不等式（组）：（1）；（2）．18．（6分）已知关于x，y的二元一次方程组．（1）用含有m的式子表示上述方程组的解是；（2）若x、y是相反数，求m的值；（3）若方程组的解满足x+y＜3，求满足条件的m的所有非负整数值．19．（6分）已知：如图，△ABC，射线AM平分∠BAC．（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）作BC的中垂线，与AM相交于点G，连接BG、CG．（2）在（1）的条件下，∠BAC和∠BGC的等量关系为，证明你的结论．20．（6分）已知y＝y1+y2，y1与x﹣1成正比，y2与x成正比．当x＝2时，y＝4；当x＝﹣1时，y＝﹣5．（1）求y与x的函数关系式；（2）当x＝﹣5时，求y的值；（3）当y＞0时，求x的取值范围．21．（8分）中秋节前，某超市第一次购进A，B两种月饼礼盒共100个，上市一周，全部售空，两种礼盒共获利5600元．如表列出了两种礼盒的进价与售价：进价（元/个）售价（元/个）A礼盒160240B礼盒100150（1）根据上表，求该超市第一次购进A，B礼盒各多少个；（2）根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进A，B两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由于A礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进A礼盒2m个（m为整数），A礼盒的售价比第一次的售价提高m元，B礼盒的售价也比第一次的售价提高m元．在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多1600元，且第二次购进礼盒总成本不超过13000元时，请通过计算说明该超市有几种进货方案？22．（8分）在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边三角形ACE和BCD，连接AD、BE交于点P．（1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD与BE的数量关系是：．（2）如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由．此时∠APE是否随着∠ACB的大小发生变化，若变化写出变化规律，若不变，请求出∠APE的度数．（3）如图3，在（2）的条件下，以AB为边在AB另一侧作等边三角形△ABF，连接AD、BE和CF交于点P，求证：PB+PC+PA＝BE．23．（10分）如图1，点C在y轴正半轴上，过点C作BC∥x轴，以BC为斜边作等腰直角△ABC，使得直角顶点A恰好落在x轴正半轴上．已知B（a，b），且a，b满足：（a﹣8）2+|b﹣4|＝0．（1）求点B坐标；（2）如图2，点D为AB的中点，连结CD，过C作CE⊥CD且CE＝CD，连接BE交AC于点N，求的值；（3）如图3，若D点为等腰直角△ABC外部一点，∠CDB＝45°，连接DB交y轴于点E，EF平分∠CEB交CB于F．试判断∠CFE，∠CBD，∠CDB之间的数量关系，并说明理由．2023-2024学年浙江省杭州外国语学校八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题。（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）2023亚运会在中国杭州举行，下列图形中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念解答即可．【解答】解：A、图形是轴对称图形，符合题意；B、图形不是轴对称图形，不符合题意；C、图形不是轴对称图形，不符合题意；D、图形不是轴对称图形，不符合题意．故选：A．【点评】本题考查的是轴对称图形，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称是解题的关键．2．（3分）不等式组的解集在数轴上可以表示为（）A． B． C． D．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：由x﹣1＜1得：x＜2，由2x+1≥x﹣2得：x≥﹣3，则不等式组的解集为﹣3≤x＜2，将解集表示在数轴上如下：故选：A．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．3．（3分）已知点M（3，﹣2）与点N（a，b）在同一条平行于x轴的直线上，且N到y轴的距离等于4，则点N的坐标是（）A．（4，2）或（﹣4，2） B．（4，﹣2）或（﹣1，﹣2） C．（4，﹣2）或（﹣5，﹣2） D．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等求出b，再根据点到y轴的距离等于横坐标的绝对值求出a，然后写出点N的坐标即可．【解答】解：∵点M（3，﹣2）与点N（a，b）在同一条平行于x轴的直线上，∴b＝﹣2，∵N到y轴的距离等于4，∴a＝±4，∴点N的坐标为（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）．故选：D．【点评】本题考查了点的坐标，主要利用了平行于x轴的直线上点的坐标特征，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值．4．（3分）下列各曲线表示的y与x的关系中，y不是x的函数的是（）A． B． C． D．【分析】根据函数的意义即可求出答案．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．【解答】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以只有选项C不满足条件．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．5．（3分）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则它的底角为（）A．35° B．55° C．55°或35° D．70°或35°【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理进行分析，注意分类讨论思想的运用．【解答】解：分两种情况：①如图1，∵AB＝AC，∠ABD＝20°，BD⊥AC，∴∠A＝70°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣70°）÷2＝55°；②如图2，∵AB＝AC，∠ABD＝20°，BD⊥AC，∴∠BAC＝20°+90°＝110°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣110°）÷2＝35°．∴它的底角为55°或35°，故选：C．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形外角的性质的综合运用，熟练掌握这两个定理是解决问题的关键．6．（3分）下列条件中，三角形不是直角三角形的是（）A．三个角的比为1：2：3 B．三条边满足关系a2＝b2﹣c2 C．三条边的比为32：42：52 D．三个角满足关系∠B＝∠C﹣∠A【分析】根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案．【解答】解：A．三个角的比为1：2：3，设最小的角为x，则x+2x+3x＝180°，x＝30°，3x＝90°，不符合题意；B．因为三条边满足关系a2＝b2﹣c2，能组成直角三角形，不符合题意；C．322+422≠522，故不能构成直角三角形，符合题意；D．因为三个角满足关系∠B＝∠C﹣∠A，则∠B+∠A＝∠C，由三角形内角和定理知∠C＝90°，故能构直角三角形，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查勾股定理的逆定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可；若已知角，只要求得一个角为90°即可．7．（3分）两位同学对两个一元一次不等式a1x﹣b1＞0，a2x﹣b2＞0（a1b1，a2b2都不为0）的解提出了自己的想法，甲说：“如果，则两个不等式的解相同”，乙说：“如果两个不等式的解相同，则成立”．则他们两人的说法为（）A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错【分析】本题可根据分别设出a1、b1、a2、b2的不同取值，然后代入看是否符合．也可不等式解出x的值，再根据甲、乙的条件得出结论看是否与所给的相同，若相同则说法正确．【解答】解：本题可设a1＝1，b1＝2，a2＝﹣1，b2＝﹣2则解出的x1＞2，x2＜2两者的解不同．所以甲错误而若x的解相同，则无论a1、a2为正的或者负的，x都同时大于或同时小于同一个数即＝乙的说法正确故选：B．【点评】本题考查的是一元一次不等式的应用，注意：不等式两边同时乘以或除以负数不等式的方向要改变．8．（3分）若正整数a既使得关于x一元一次方程2x﹣a＝3有正整数解，又使得关于x的不等式组的解集为x≥15，那么所有满足条件的正整数a的值之和为（）A．4 B．3 C．0 D．8【分析】根据题意，求出方程和不等式组的解集，然后求出a的取值范围，即可求出答案．【解答】解：∵2x﹣a＝3，解得：，∵关于x一元一次方程2x﹣a＝3有正整数解，∴，解得：a＞﹣3，且3+a是2的倍数；又∵a是正整数，∴a＞0，且3+a是2的倍数；∵，解得：，∵不等式组的解集为x≥15，∴2a+5＜15，∴a＜5；∴满足题意的a的值有：1、3，所有满足条件的正整数a的值之和为：4，故选：A．【点评】本题考查了一元一次不等式组的解集和一元一次方程组的整数解，正确掌握解方程的方法和解一元一次不等式组的方法是解题的关键．9．（3分）将两把等腰直角三角尺按如图所示的方式放置，其中A，B，E三点共线，若AB＝BC＝3，BE＝BD＝4，F，G分别是AC，DE的中点，H是FG的中点，则BH的长为（）A． B．2 C． D．2.5【分析】连接BF，BG，易证△FBG是直角三角形，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半即可求出BH的长．【解答】解：连接BF，BG，∵△ABC，△DBE都是等腰直角三角形，F，G分别是AC，DE的中点，∴BF＝AC，∠FBC＝45°，BG＝DE，∠DBG＝45°，∴∠FBG＝90°，∴△FBG是直角三角形，∵AB＝BC＝3，BE＝BD＝4，∴AC＝6，DE＝8，∴BF＝3，BG＝4，∴FG＝5，∵H是FG的中点，∴BH＝FG＝2.5，故选：D．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理的运用，证明△FBG是直角三角形是解题的关键．10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF和正方形ACGH，连接FD，HD．若BC＝6，则阴影部分的面积是（）A．6 B．12 C．9 D．6【分析】连接AD，过D点作DM⊥AC、DN⊥AB．把阴影部分面积分为ADF面积与△ADH面积，根据中位线性质可得DM、DN与正方形边长的关系，最后在△ABC中利用勾股定理，得到AC2+BC2＝9．【解答】解：连接AD，过D点作DM⊥AC、DN⊥AB．∵D为AB中点，DM∥AB，DN∥AC，∴DM＝AB＝，DN＝AC＝．∴△ADF面积＝AF×DM＝AF2，∴△ADH面积＝×DN＝AH2，在Rt△ABC中，∵BC＝6∴AB2+AC2＝BC2＝36，∴阴影部分面积＝△ADF面积+△ADH面积＝AF2+AH2＝AB2+AC2＝×36＝9．故选：C．【点评】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理、以及中位线的性质定理，解题的关键是作出辅助线，分割图形，最后整体求值．二、填空题。（本大题共6小题，每小题3分，共18分）.11．（3分）函数的自变量x的取值范围是x≥﹣2且x≠1．【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列出不等式组，求解即可．【解答】解：由题意可得：2x+4≥0且x﹣1≠0，解得x≥﹣2且x≠1．∴自变量x的取值范围是x≥﹣2且x≠1．故答案为：x≥﹣2且x≠1．【点评】本题考查函数自变量的取值范围．正确判断式子有意义的条件是解题关键．12．（3分）命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是如果三角形有两个角互余，则三角形为直角三角形，它是真（填真/假）命题．【分析】根据给出的命题将其结论与条件互换即得到其逆命题，然后分析其真假即可．【解答】解：逆命题为：如果三角形有两个角互余，则三角形为直角三角形．因为符合三角形内角和定理，故是真命题．故答案为：如果三角形有两个角互余，则三角形为直角三角形；真．【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．13．（3分）如图，△ABC≌△DEF，点F在BC边上，AB与EF相交于点P．若∠DEF＝37°，PB＝PF，则∠APF＝74°．【分析】根据全等三角形的性质可得∠E＝∠B＝37°，再根据等边对等角可得∠PFB＝∠B＝37°，再由三角形外角的性质可得∠APF的度数．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴∠E＝∠B＝37°，∵PB＝PF，∴∠PFB＝∠B＝37°，∴∠APF＝37°+37°＝74°，故答案为：74．【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．14．（3分）如图，△ABC的顶点A，C在直线l上，∠B＝130°，∠ACB＝30°，若点P在直线l上运动，当△ABP是等腰三角形时，∠ABP的度数是10°，80°，140°或20°．【分析】先利用三角形内角和定理可得：∠BAC＝20°，然后分三种情况：当AP＝AB时；当AP＝AB时；当BA＝BP时；从而分别进行计算，即可解答，【解答】解：∵∠B＝130°，∠ACB＝30°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝20°，分三种情况：当AP＝AB时，点P在CA的延长线上，如图：∵∠BAC是ABP的一个外角，∴∠BAC＝∠APB+∠ABP＝20°，∵AB＝AP，∴∠APB＝∠ABP＝10°；当AP＝AB时，点P在AC上，如图：∵AB＝AP，∠BAP＝20°，∴∠ABP＝∠APB＝＝80°；当BA＝BP时，如图：∵BA＝BP，∴∠BAP＝∠BPA＝20°，∴∠ABP＝180°﹣∠BAP﹣∠BPA＝140°；当PA＝PB时，如图：∵PA＝PB，∴∠BAP＝∠ABP＝20°；综上所述：当△ABP是等腰三角形时，∠ABP的度数是10°，80°，140°或20°，故答案为：10°，80°，140°或20°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分三种情况讨论是解题的关键15．（3分）如图，△ABC，延长CB至点D使得BD＝BC，过点D作DF∥AC，点F与AB上一点E连结且∠BEF＝∠A，若AC＝8，DF＝2，则EF＝6．【分析】延长AB，交DF的延长线于点G，利用平行线的性质和等腰三角形的判定与性质得到EF＝FG，再利用全等三角形的判定与性质解答即可得出结论．【解答】解：延长AB，交DF的延长线于点G，如图，∵DF∥AC，∴∠D＝∠C，∠G＝∠A．∵∠BEF＝∠A，∴∠BEF＝∠G，∴EF＝FG．在△DBG和△CBA中，，∴△DBG≌△CBA（ASA），∴DG＝AC＝8．∵DF＝2，∴FG＝DG﹣DF＝6，∴EF＝FG＝6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，延长BC至E，使得CE＝BC，将△ABC沿AC翻折，使点B落点D处，连接DE，求DE的长．【分析】连接BD交AC于点F，由折叠的性质得出AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，由勾股定理求出CF的长，则可由中位线定理求出DE的长．【解答】解：连接BD交AC于点F，∵将△ABC沿AC翻折，使点B落点D处，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，∴BF＝DF，∠BFC＝90°，∵AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝＝5，设CF＝x，则AF＝5﹣x，∵AB2﹣AF2＝BF2，BC2﹣CF2＝BF2，∴42﹣（5﹣x）2＝32﹣x2，∴x＝，∴CF＝，∵CE＝BC，∴CF＝DE，∴DE＝．故答案为：．【点评】本题考查了折叠的性质，勾股定理，中位线定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．三、解答题。（本大题共7小题，共52分）.17．（8分）解下列不等式（组）：（1）；（2）．【分析】（1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为“1”即可；（2）分别解不等式组中的两个不等式，再取两个解集的公共部分即可．【解答】解：（1），去分母得：2x＞30+5（x﹣2），去括号得：2x＞30+5x﹣10，移项得：2x﹣5x＞30﹣10，合并得：﹣3x＞20，解得：x＜﹣；（2），由①得：x＞﹣4，由②得：x≥﹣1，∴不等式组的解集为：x≥﹣1．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及解一元一次不等式，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．18．（6分）已知关于x，y的二元一次方程组．（1）用含有m的式子表示上述方程组的解是；（2）若x、y是相反数，求m的值；（3）若方程组的解满足x+y＜3，求满足条件的m的所有非负整数值．【分析】（1）利用加减消元法求解即可；（2）根据（1）的结论以及相反数的定义列方程求解即可；（3）根据（1）的结论，代入已知不等式求出m的范围，确定出m的所有非负整数解即可．【解答】解：（1），①+②得：4x＝4m+8，∴x＝m+2，把x＝m+2代入②得m+2﹣y＝6，∴y＝m﹣4，故方程组的解为；故答案为：；（2）由题意，得m+2+m﹣4＝0，解得m＝1；（3）由（1）得x+y＝（m+2）+（m﹣4）＝2m﹣2，∵x+y＜3，∴2m﹣2＜3，∴．所以满足条件的m的所有非负整数值为：0，1，2．【点评】此题考查了解二元一次方程组以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（6分）已知：如图，△ABC，射线AM平分∠BAC．（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）作BC的中垂线，与AM相交于点G，连接BG、CG．（2）在（1）的条件下，∠BAC和∠BGC的等量关系为互补，证明你的结论．【分析】（1）以C、B为圆心，大于BC为半径作弧，两弧交于F、E，作直线FE即为BC的垂直平分线．（2）作GD⊥AB，GK⊥AC，利用角平分线的性质和垂直平分线的性质证全等即可．【解答】解：（1）如图1；（2）互补．证明：作GD⊥AB，GK⊥AC，∵AG为∠BAC的平分线，∴GD＝GK，∵EF为BC的垂直平分线，∴GB＝GC，在△GBD与△GCK中，，∴△GBD≌△GCK（HL），∴∠BGC＝∠DGK，∵∠DGK+∠BAC＝180°，∴∠BGC+∠BAC＝180°，∴∠BAC和∠BGC互补．故答案为：互补．【点评】本题考查了作图﹣﹣基本作图，要熟悉垂直平分线的性质和角平分线的性质．20．（6分）已知y＝y1+y2，y1与x﹣1成正比，y2与x成正比．当x＝2时，y＝4；当x＝﹣1时，y＝﹣5．（1）求y与x的函数关系式；（2）当x＝﹣5时，求y的值；（3）当y＞0时，求x的取值范围．【分析】（1）y1与x﹣1成正比例，可设y1＝k1（x﹣1），y2与x成正比例，设y2＝k2x，利用待定系数法即可求解．（2）直接把x的值代入（1）中的函数关系式即可；（3）由y＞0得到一元一次不等式，解不等式即可得到x的取值范围．【解答】解：（1）设y1＝k1（x﹣1），设y2＝k2x，则y＝k1（x﹣1）+k2x，根据题意得，，解得．∴y＝2×（x﹣1）+x，即y＝3x﹣2；（2）把x＝﹣5代入y＝3x﹣2中：y＝﹣15﹣2＝﹣17；（3）∵y＞0，∴3x﹣2＞0，解得：x＞．【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是掌握要求y与x之间的关系，先找y1与x、y2与x的关系，再根据条件，求出y与x之间的关系．21．（8分）中秋节前，某超市第一次购进A，B两种月饼礼盒共100个，上市一周，全部售空，两种礼盒共获利5600元．如表列出了两种礼盒的进价与售价：进价（元/个）售价（元/个）A礼盒160240B礼盒100150（1）根据上表，求该超市第一次购进A，B礼盒各多少个；（2）根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进A，B两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由于A礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进A礼盒2m个（m为整数），A礼盒的售价比第一次的售价提高m元，B礼盒的售价也比第一次的售价提高m元．在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多1600元，且第二次购进礼盒总成本不超过13000元时，请通过计算说明该超市有几种进货方案？【分析】（1）设该超市购进A礼盒x个，则购买B礼盒（100﹣x）个，根据两种礼盒共获利5600元，列方程，解方程即可；（2）根据B礼盒的售价也比第一次的售价提高m元．在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多1600元，且第二次购进礼盒总成本不超过13000元，列出不等式组求解即可．【解答】解：（1）设该超市购进A礼盒x个，则购买B礼盒（100﹣x）个，由题意可得：（240﹣160）x+（150﹣100）（100﹣x）＝5600，解得：x＝20，答：该超市购进A礼盒20个，则购买B礼盒80个．（2）由题意可得：，∴10≤m≤15，∵m为整数，所以该超市有6种进货方案．【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．22．（8分）在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边三角形ACE和BCD，连接AD、BE交于点P．（1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD与BE的数量关系是：AD＝BE．（2）如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由．此时∠APE是否随着∠ACB的大小发生变化，若变化写出变化规律，若不变，请求出∠APE的度数．（3）如图3，在（2）的条件下，以AB为边在AB另一侧作等边三角形△ABF，连接AD、BE和CF交于点P，求证：PB+PC+PA＝BE．【分析】（1）直接写出答案即可．（2）证明△ECB≌△ACD，得到∠CEB＝∠CAD，此为解题的关键性结论；借助内角和定理即可解决问题．（3）如图，作辅助线，证明△CPA≌△CHE，即可解决问题．【解答】解：（1）∵△ACE、△CBD均为等边三角形，∴AC＝EC，CD＝CB，∠ACE＝∠BCD，∴∠ACD＝∠ECB；在△ACD与△ECB中，，∴△ACD≌△ECB（SAS），∴AD＝BE，故答案为AD＝BE．（2）AD＝BE成立，∠APE不随着∠ACB的大小发生变化，始终是60°．证明：∵△ACE和△BCD是等边三角形∴EC＝AC，BC＝DC，∠ACE＝∠BCD＝60°，∴∠ACE+∠ACB＝∠BCD+∠ACB，即∠ECB＝∠ACD；在△ECB和△ACD中，∴△ECB≌△ACD（SAS），∴∠CEB＝∠CAD；设BE与AC交于Q，又∵∠AQP＝∠EQC，∠AQP+∠QAP+∠APQ＝∠EQC+∠CEQ+∠ECQ＝180°∴∠APQ＝∠ECQ＝60°，即∠APE＝60°．（3）由（2）同理可得∠CP