专题28 圆锥曲线中的范围和最值问题(解析版)2024年新高考数学之圆锥曲线专项重难点突破练（新高考专用）

第第页专题28圆锥曲线中的范围和最值问题考试时间：120分钟满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．给定抛物线，F是其焦点，直线，它与E相交于A，B两点，如果且，那么的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】直线与抛物线方程联立得：，因为直线与抛物线相交于A，B两点，所以，设，因此有，且，由，代入中得：且，解得：，函数在时单调递减，所以，因此，所以或，故选：C2．已知双曲线，分别为双曲线的左右焦点，为双曲线上一点，且位于第一象限，若三角形为锐角三角形，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【解析】由得、，因为位于第一象限，所以恒为锐角，因为三角形为锐角三角形，所以为锐角，为锐角，由为锐角得，所以，因为，所以，由为锐角得，所以，所以，所以，又，所以，即，又，所以，综上所述：.故选：C.3．已知椭圆的焦距为，离心率为，过上一点分别作与和平行的直线，交直线于两点，则线段长度的最大值为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【解析】由题意知，，又离心率为，所以，，所以椭圆的方程为，设，，则，

因为四边形为平行四边形，所以，即，又点在椭圆上，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以线段长度的最大值为4.故选：A.4．已知分别是椭圆的左、右焦点，椭圆C过和两点，点P在线段上，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【解析】因为椭圆过点和，所以，可得，所以，，设，由题意直线的方程为，即，因为点P在线段上，所以满足，则，，当时，，当时，，所以的取值范围为.故选：D5．已知、是双曲线上关于原点对称的两点，是上异于、的动点，设直线、的斜率分别为、．若直线与曲线没有公共点，当双曲线的离心率取得最大值时，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】因为直线与双曲线没有公共点，所以双曲线的渐近线的斜率，而双曲线的离心率，当双曲线的离心率取最大值时，取得最大值，即，即，则双曲线的方程为，设、、，则，两式相减得：，即，即，又，．故选：A.6．过椭圆上的焦点作两条相互垂直的直线，交椭圆于两点，交椭圆于两点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】当直线有一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，则直线斜率为0，此时，，所以，当直线的斜率都存在且不为0时，不妨设直线的斜率为k，则直线的斜率为，不妨设直线都过椭圆的右焦点，所以直线，直线，联立与椭圆T，可得，，，所以，同理，所以，令，因为，所以，所以=，令，因为，所以，所以，所以，所以，综上的取值范围是.故选：C7．已知､分别为椭圆：的左､右顶点，为椭圆上一动点，，与直线交于，两点，与的外接圆的周长分别为，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【解析】由已知得、，设椭圆上动点，则利用两点连线的斜率公式可知，，设直线方程为：，则直线方程为：，根据对称性设，令得，，即，，则设与的外接圆的半径分别为，，由正弦定理得：，，又，，当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为，故选：A8．如图，已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线与过的直线交于点，线段的中点为，线段的垂直平分线与的交点（第一象限）在椭圆上，若为坐标原点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【解析】如图所示，点在轴右边，因为为的垂直平分线，所以．由中位线定理可得．设点．由两点间的距离公式，得，同理可得，所以，故，因为，，所以，故，所以．因为，所以．故的取值范围为．故选：D．二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．已知抛物线的焦点为，其准线与轴相交于点，经过点且斜率为的直线与抛物线相交于点，两点，则下列结论中正确的是（

）A．B．C．的取值范围是D．时，以为直径的圆经过点【解析】由题意可得：抛物线的焦点为，准线，则，设直线的方程为，，，联立方程得，消去得，可得，解得且，故Ｃ错误；则，故A正确；可得，易知同号，所以，故B错误；因为，，所以，当时，，此时为直角，即以为直径的圆经过点，故D正确.故选：AD.

10．已知抛物线C：，过焦点F的直线交抛物线C于，两点，MN的中点为P，直线OM，ON分别与直线l：相交于A、B两点.则下列说法正确的是（

）A． B．的最小值为8C．P到直线l距离的最小值为6 D．与的面积之比不为定值【解析】依题意，可得如下图象：，

对于A：因为抛物线的方程为，所以，由抛物线的焦点在轴可得，直线的斜率一定存在，所以设直线的方程为：，由，消可得，所以，，，，所以A选项正确；对于B：因为，，所以所以，同理，所以，当时取得最小值16，所以B选项错误；对于C：因为为的中点，所以到直线的距离，当且仅当时等号成立，所以C选项正确；对于D：由题意可得直线的方程分别为：，所以它们与的交点分别为：，所以所以，又到直线的距离，由弦长公式得：，所以，所以，所以D选项错误；故选：AC.11．已知F是抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线，，与C相交于A，B两点，与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为D，E中点，直线l为抛物线C的准线，则（

）A．点M到直线l的距离为定值 B．以为直径的圆与y轴相切C．的最小值为32 D．当取得最小值时，轴【解析】设，，，，，直线的方程为，则直线的方程为,将直线的方程代入，化简整理得，则，，故,所以，,因为点A到直线l的距离，点B到直线l的距离，点M到直线l的距离，又，所以，故A错误；因为，所以以为直径的圆的圆心M到l的距离为，即以为直径的圆与l相切，故B错误；同理，，所以，，，则，当且仅当时等号成立，故C正确；.设，则，，.当时，即时，最小，这时，即轴，故D正确,故选:CD.12．已知椭圆的左，右焦点分别为，过点垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，，若点P是椭圆C上的动点，则下列说法正确的是（

）A．的最小值为B．的面积的最大值为C．的取值范围为D．C上有且只有4个点P，使得是直角三角形【解析】由题意得是等边三角形，所以的周长为，所以，令，则，则，所以，所以椭圆，对于A，当点位于上下顶点时，最大，此时的最小为，故A错误；对于B，设，则，所以的面积的最大值为，故B正确；对于C，设，则，所以，又，则，因为，所以，所以，故C正确；对于D，由A选项可知，最大时为锐角，所以以点为直角顶点的不存在，以点为直角顶点的分别有2个，所以C上有且只有4个点P，使得是直角三角形，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．已知抛物线C：的焦点F到其准线的距离为2，圆M；，过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则的最小值为．【解析】因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以，所以抛物线方程为，如下图，，

因为，设，所以，所以，因为直线水平时显然不合题意，故可设，因为直线所过定点在抛物线内部，则直线必然与抛物线有两交点，同样与圆也有两交点，联立，，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为12.14．设，同时为椭圆与双曲线的左、右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点M，椭圆与双曲线的离心率分别为，，O为坐标原点，若，则的取值范围是．【解析】设，，焦距为2c，由椭圆定义可得，由双曲线定义可得，解得，，当时，可得，即，可得，则，所以，由，可得，可得，即，，可设，则，令，则，所以函数在上单调递增，可得，所以．15．椭圆与双曲线有公共焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为为坐标原点，，则的取值范围是.【解析】设，则有，所以，即，又因为，所以，所以，即，则，由，得，所以，所以，则，由，得，因为，当且仅当，即时，取等号，因为，所以，所以，即，所以的取值范围是.16．曲线是由抛物线与组成的封闭图形，点，当对曲线上所有点恒成立，则实数的取值范围是__________．【解析】当在时，设，则，，则函数在上单调递增，，即，此时；当在时，设，则，，则函数在上单调递减，，即，故临界情况一：在一条直线时，时，，则，解得或；临界情况二：三点共线时，为线段上一点，此时，解得或；综上得：或；四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点．(1)求过点F、O，并且与抛物线的准线相切的圆的方程；(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G的横坐标的取值范围．【解析】（1）抛物线的准线为，椭圆的左焦点为，因为圆过点，所以圆心在直线上，设，则圆的半径为，由，得，解得，所求圆的方程为或.（2）解：设直线的方程为，联立方程组，整理得，因为直线过椭圆的左焦点，所以方程有两个不相等的实根，设点，设的中点为，则，可得，直线的垂直平分线的方程为，令，则.因为，所以，故点的横坐标的取值范围.18．已知椭圆与坐标轴的交点所围成的四边形的面积为上任意一点到其中一个焦点的距离的最小值为1.(1)求椭圆的方程；(2)设直线交于两点，为坐标原点，以，为邻边作平行四边形在椭圆上，求的取值范围.【解析】（1）由题可知，所以，即，所以，所以，因为，所以2，所以.所以椭圆的方程为：.（2）联立，消去，化简整理得：，需满足，设，由韦达定理可知：.则以为邻边作平行四边形，则，由于点在椭圆上，所以，即化简得：，经检验满足又，由于，所以，所以，故，所以的取值范围为.19．已知，为椭圆C：的左右焦点，P为椭圆C上一点．若为直角三角形，且．(1)求的值；(2)若直线l：与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线经过点，求实数m的取值范围．【解析】（1）若，则．因为，，解得，．因此．若，则，解得．因此．综上知，或．（2）设，，联立，消去y得到，，即．则，，弦AB中点M的坐标是．由得，．另一个方面，直线PM的方程是．点在此直线上，故，整理得，．代入中，，．又，，所以，．故实数m的取值范围是．20．若椭圆和椭圆满足，则称这两个椭圆相似，称为其相似比．(1)求经过点，且与椭圆相似的椭圆方程．(2)设过原点的一条射线分别与（1）中的两个椭圆交于、两点（其中点在线段上），求的最大值和最小值．【解析】（1）设所求的椭圆方程为，则由题意得，解得，所要求的椭圆方程为．（2）①当射线与轴重合时，．②当射线不与轴重合时，由椭圆的对称性，我们仅考虑、在第一象限或x轴正半轴的情形．设其方程为，设，，，，由，解得，，由，解得，，，令，则由，知，，记，则在上是增函数，，，由①②知，的最大值为，的最小值为．21．已知椭圆的两个焦点分别为，，过点且与轴垂直的直线交椭圆于，两点，的面积为，椭圆的离心率为．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知为坐标原点，直线与轴交于点，与椭圆交于，两个不同的点，若存在实数，使得，求的取值范围．【解析】（1）设椭圆的焦距为2c，，代入椭圆方程可得，解得，所以，所以，解得，又，所以，又，所以，所以椭圆的标准方程为（2）当m=0时，则，由椭圆的对称性得,所以，所以当m=0时，存在实数，使得；当时，由，得，因为A、B、P三点共线，所以，解得，所以，设，由，得，由题意得，则，且，由，可得，所以，解得，又，整理得，显然不满足上式，所以，因为，所以，即，解得或，综上，的取值范围为22．已知A，B是椭圆的左、右顶点，是E的左、右焦点，是椭圆上一点，且的内心的纵坐标为.(1)求椭圆E