专题09 双曲线的焦点弦、中点弦、弦长问题(解析版)2024年新高考数学之圆锥曲线专项重难点突破练（新高考专用）

第第页专题09双曲线的焦点弦、中点弦、弦长问题限时：120分钟满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知双曲线C：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长（

）A．7 B．8 C．9 D．10【解析】双曲线C：的一条渐近线方程是，，即左焦点，，，，，双曲线C的方程为易知直线l的方程为，设，，由，消去y可得，，故选：D2．已知为双曲线上两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．【解析】设，则有，，两式相减得到，又线段的中点坐标为，所以，得到，所以的斜率为.故选：B.3．已知双曲线与直线相交于A、B两点，弦AB的中点M的横坐标为，则双曲线C的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【解析】设，，则，由点差法得．∵，∴，，∴，又，∴，∴渐近线方程为.故选：A．4．已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于，两点，若，则的面积等于（

）A．18 B．10 C．9 D．6【解析】直线与双曲线交于，两点，若，则四边形为矩形，所以，，

由双曲线可得，，则，所以，所以，又，所以，解得，所以．故选：C．5．已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（

）A． B． C． D．【解析】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线MN为，联立双曲线：设，则，所以，解得，则，.弦长|MN|.故选：D.6．已知，分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆的面积为（

）A． B． C． D．【解析】设，由题意知，直线的斜率为，则直线的方程为，∴，化简整理得，即，∴或（舍去），则，即，∴，，设的内切圆的圆心为Q，半径为r，连接，，，则由，得，∴，得，（利用等面积法求内切圆的半径）故的内切圆的面积为．故选：B．7．已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，以为直径的圆与的两条渐近线分别交于与原点不重合的两点，，若，则四边形的面积为（

）A．6 B． C． D．4【解析】设与轴交于点，由双曲线的对称性可知轴，，，又因为，所以，即，所以，因为点在以为直径的圆上，所以，所在的渐近线方程为，点到渐进线距离为，所以，所以，，则，所以，故选：B8．设A，B分别是双曲线x2-=1的左、右顶点，设过P的直线PA，PB与双曲线分别交于点M，N，直线MN交x轴于点Q，过Q的直线交双曲线的右支于S，T两点，且=2，则△BST的面积为（

）A． B．C． D．【解析】双曲线x2-=1的左、右顶点分别为A(-1，0)，B(1，0)，又P，∴直线PA的方程为x=-1，PB的方程为x=-+1，联立可得y2-=0，解得y=0或y=，将y=代入x=-1可得x=，即有M，联立可得y2-y=0，解得y=0或y=，将y=代入x=-+1，可得x=，即N设Q(s，0)，由M，N，Q三点共线，可得kMN=kQN，即有=，将M，N的坐标代入化简可得=，解得s=2，即Q(2，0)，设过Q的直线方程为x=my+2，联立得(3m2-1)y2+12my+9=0，设S(x1，y1)，T(x2，y2)，可得y1+y2=-，y1y2=，Δ=144m2-36(3m2-1)>0恒成立，又=2，∴y1=-2y2，∴-2·=，解得m2=，可得S△BST=|BQ|·|y1-y2|=|y1-y2|==·=3·=故选：A．二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．已知，分别是双曲线：的左、右焦点，点是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段为直径的圆经过点，则（

）A．的面积为 B．点的横坐标为2或C．的渐近线方程为 D．以线段为直径的圆的方程为【解析】由双曲线方程知，，所以双曲线的渐近线方程为，故C错误；又，所以为直径的圆方程为，故D错误；由，得或，所以点的横坐标为2或，故B正确；又，所以，故A正确．故选：AB．10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，点在双曲线上，则下列结论正确的是（

）A．该双曲线的离心率为B．若，则的面积为C．点到两渐近线的距离乘积为D．直线和直线的斜率乘积为【解析】由双曲线方程得，，，双曲线的离心率为，A正确；若，不妨设，，，B错误；设，则，，渐近线方程为，点到两渐近线的距离乘积为，C正确；，，，D正确；故选：ACD11．在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线与交于两点，则（

）A．的方程为 B．的离心率为C．的渐近线与圆相切 D．【解析】设点，由直线与的斜率之积为，可得，整理得，即曲线的方程为，所以A正确；曲线的离心率，所以B不正确；由圆，可得圆心为，可得圆心到曲线的渐近线的距离，又由圆的半径为1，所以曲线的渐近线与圆相切，所以C正确；联立方程组，整理得，则，，所以，所以D正确．故选：ACD．12．过双曲线的右焦点作直线与该双曲线交于、两点，则（

）A．存在四条直线，使B．与该双曲线有相同渐近线且过点的双曲线的标准方程为C．若、都在该双曲线的右支上，则直线斜率的取值范围是D．存在直线，使弦的中点为【解析】对于A，由于，所以右焦点为，设直线方程为：.联立得：，恒成立.所以，，则，.所以.所以，解得，所以只有两条，故A错误；对于B，双曲线的渐近线为，所以，过点的双曲线的标准方程为，故B正确；对于C，若、都在该双曲线的右支上，则，即，所以，解得.故C正确；对于D，假设存在直线，使弦的中点为，设直线的方程为，与联立得：，恒成立.所以，所以，所以直线方程为，但是由于不在直线上，故不存在这样的直线，故D错误.故选：BC.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．若直线y=kx+1与双曲线交于A､B两点，且线段AB的中点横坐标为1，则实数k=．【解析】联立直线y=kx+1与双曲线可得，即，∵，直线y=kx+1与双曲线交于A､B两点，∴x1+x2=2，，∴，∴k且∵线段AB的中点横坐标为1，∴x1+x2=2，∴，∴，∴k，∵，∴k14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作斜率为的弦．则的长是．【解析】设，，双曲线的左焦点为，则直线的方程为，由得，，，，则．15．已知点，点是双曲线的右焦点，点是双曲线右支上一动点，则当的周长取得最小时的面积为;【解析】双曲线，，右焦点，设其左焦点为，则，当且仅当三点共线时等号成立，此时在第一象限，此时直线的方程为，由，以及点在第一象限，可得点P的纵坐标，所以.16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，，分别交y轴于P，Q两点，若的周长为16，则的最大值为.【解析】∵轴且过，则AB为双曲线的通径，由，代入双曲线可得，故.为的中点，，则为的中位线，故，又的周长为，则的周长为①，∵②，故由①②可得，即，可得.故，当且仅当即时取等号.故答案为：4四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知双曲线C的方程为．(1)直线截双曲线C所得的弦长为，求实数m的值；(2)过点作直线交双曲线C于P、Q两点，求线段的中点M的轨迹方程．【解析】（1）联立,得，直线被双曲线截得的弦长为,,设直线与双曲线交于,则,由弦长公式得,解得.（2）设,，则，，上式作差得，当直线的斜率不存在时，根据双曲线对称性知，当直线的斜率存在时，但时，此时直线为直线，根据双曲线对称性知，当直线的斜率存在时，且时，，，，化简得，其中，而点，适合上述方程，则线段的中点的轨迹方程是.

18．已知双曲线：的右焦点为，过且斜率为1的直线与的渐近线分别交于，两点（在第一象限），为坐标原点，．(1)求的方程；(2)过点且倾斜角不为0的直线与交于，两点，与的两条渐近线分别交于，两点，证明：．【解析】（1）由已知得：，联立解得，同理可得．∵，∴，整理得．又，∴，，∴的方程为．

（2）要证明，只需证明的中点与的中点重合．设的中点为，直线：，联立得，设，，则，，，即，双曲线：的渐近线方程为，由得可得，由得可得，∴的中点为，∴点与点重合，∴．19．设双曲线的焦距为6，点在双曲线上.(1)求双曲线的方程；(2)已知的右焦点为是直线上一点，直线交双曲线于两点（在第一象限），过点作直线的平行线与直线交于点，与轴交于点，证明：为线段的中点.【解析】（1）因为焦距为6，所以，将点代入的方程，得，又因为，解得，所以双曲线方程为.（2）如图所示：

是直线上一点，的横坐标为，设直线的方程为，则，联立方程组得，设，则，且，则，直线的方程为，①又直线的方程为，②，由①②消去得，在中，两式相除，得，则，则，，故为线段的中点.20．已知双曲线的左顶点为A，虚轴上端点为，左、右焦点分别为，，离心率为，的面积为4．(1)求双曲线的方程；(2)若过且与轴的夹角在内的直线交双曲线于两点，的面积为，求的方程．【解析】（1）设双曲线的半焦距为，因为，即，又因为，则，由，可得，即，所以，得，则．故双曲线的方程为．（2）设直线的方程为，，，联立方程，消去整理得．可得，且，则，，可得，因为，可得，所以，即，化简得，解得或．由题可知，所以或，故直线的方程为或，即直线的方程为或．

21．已知双曲线的焦距为10，渐近线方程为.(1)求的方程；(2)已知过点的直线与双曲线的两支分别交于、两点，且与直线交于点，求的值.【解析】（1）由题可得，，解得，所以的方程：（2）由于双曲线的渐近线方程为，可设直线的方程为，且，，则

联立直线与双曲线，所以，则.22．在平面直角坐标系中，焦点在x轴上的双曲线C过点，且有一条倾斜角为的渐近线.(1)求双曲线C的标准方程；(2)设点F为双曲线C的右焦点，点P在C的右支上，点Q满足，直线交双曲线C于A