专题9.3 椭圆（解析版）备战2024年新高考数学一轮复习题型突破精练（新高考专用）

第第页专题9.3椭圆题型一椭圆的定义题型二椭圆的标准方程题型三椭圆的焦点三角形题型四距离和差的最值问题题型五椭圆的简单几何性质题型六求椭圆离心率题型七求椭圆离心率的取值范围题型一 椭圆的定义例1．（2023秋·高三课时练习）已知点P为椭圆上动点，分别是椭圆C的焦点，则的最大值为（

）A．2 B．3 C． D．4【答案】D【分析】由椭圆的定义可得，结合，即可求解.【详解】由椭圆，可得，所以，又由椭圆的定义可得，因为，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.故选：D.例2．（2021秋·高三单元测试）在平面直角坐标系中，已知点和，点B在椭圆上，则=________，的最小值是________．【答案】/2【分析】根据椭圆的定义结合正弦定理可求得的值，根据椭圆的几何性质可求得的最小值.【详解】由已知得，故点A，C为椭圆的焦点，由正弦定理及椭圆的定义可得，当B点位于椭圆的左顶点时，最小，最小值是，故答案为：；2练习1．（2022秋·高二课时练习）已知，动点C满足，则点C的轨迹是（）A．椭圆 B．直线C．线段 D．点【答案】C【分析】由，作出判断即可．【详解】因为，所以，知点C的轨迹是线段AB．故选：C.练习2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，点与的焦点不重合，若关于的焦点的对称点分别为，，线段的中点在上，则（

）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】C【分析】根据题意，画出图像，结合条件可得，，再结合椭圆的定义即可得到结果.【详解】设的中点为，椭圆的左右焦点分别为，则为的中点，为的中点，所以，同理，所以.故选:C练习3．（2021秋·高三课时练习）平面内有一个动点M及两定点A，B．设p：为定值，q：点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．那么（）A．p是q的充分不必要条件B．p是q的必要不充分条件C．p是q的充要条件D．p既不是q的充分条件，又不是q的必要条件【答案】B【分析】根据为定值，且定值大于时轨迹才是椭圆，从而得到答案.【详解】当为定值时，若定值大于时，点M轨迹是椭圆，若定值等于，点M轨迹是线段，若定值小于，则轨迹不存在；当点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆时，必为定值；所以，但，故p为q的必要不充分条件．故选：B练习4．（2023春·山东青岛·高三统考开学考试）已知为椭圆的左、右焦点，点在上，则的最小值为___________．【答案】/【分析】利用椭圆的定义和基本不等式直接求最值.【详解】因为点在椭圆上，所以，所以.所以（当且仅当，即时等号成立）.所以的最小值为.故答案为：.练习5．（2023·全国·高三专题练习）已知动点满足（为大于零的常数）﹐则动点的轨迹是（

）A．线段 B．圆 C．椭圆 D．直线【答案】C【分析】根据题意，结合椭圆的定义即可得到结果.【详解】的几何意义为点与点间的距离，同理的几何意义为点与点间的距离，且又由为大于零的常数，可知，当且仅当，即时取等，故，即动点到点与到点的距离之和为定值，且大于，所以动点的轨迹为椭圆，故选：C.题型二 椭圆的标准方程例3．（2023秋·高二课时练习）常数，椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则a的值为__________．【答案】3或【分析】分，讨论，根据条件列出等式，即求.【详解】由椭圆，可得椭圆，当时，表示焦点在x轴上的椭圆，∴，即，当时，表示焦点在y轴上的椭圆，∴，即，综上，实数a的值为3或.故答案为：3或.例4．（2021秋·高二课时练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)一个焦点坐标为，离心率；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；(3)求经过点M(1,2)，且与椭圆有相同离心率的椭圆的标准方程．【答案】(1)＋＝1(2)＋＝1(3)＋＝1或＋＝1【分析】（1）根据椭圆的焦点结合离心率求得的值，进一步计算得到椭圆的方程；（2）根据题意得出为等腰直角三角形，得到，再由，求得的值，即可求得椭圆的方程；（3）由所求椭圆与椭圆有相同离心率，得到，分类讨论，即可求得椭圆的方程.【详解】（1）（1）依题意，焦点在x轴上，且c＝3，又，则a＝4，∴b2＝a2－c2＝42－32＝7，∴椭圆的方程为．（2）设椭圆方程为，如图所示，由一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8，可得为等腰直角三角形，为斜边的中线(高线)，又由，所以，所以，故所求椭圆的方程为.

（3）由题意，椭圆，可得长半轴，短半轴，，因为所求椭圆与椭圆有相同离心率，可得，解得，即，当椭圆的焦点在轴上时，设所求椭圆的方程为，将点代入椭圆的方程，可得，解得，所以椭圆的方程为；当椭圆的焦点在轴上时，设所求椭圆的方程为，将点代入椭圆的方程，可得，解得，所以椭圆的方程为，综上可得，椭圆的方程为或.练习6．（2023·全国·高三对口高考）根据下列条件求椭圆的标准方程(1)两个焦点的坐标分别是、，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；(2)两个焦点的坐标分别是、，并且椭圆经过点；(3)椭圆经过两点，；(4)离心率为且过点；【答案】(1)(2)(3)(4)或【分析】（1）依题意可得、，即可求出，从而得解；（2）依题意可得，根据椭圆的定义及两点的距离公式求出，即可求出，从而得解；（3）设椭圆方程为，代入点的坐标得到方程组，求出参数的值，即可得解；（4）分焦点在轴、轴两种情况讨论，分别计算可得.【详解】（1）依题意、，所以，则，所以椭圆方程是.（2）依题意椭圆的焦点在轴上，．又椭圆经过点，，所以，则，椭圆方程是.（3）设椭圆方程为，依题意可得，解得，所以椭圆方程是.（4）若焦点在轴上，则，又离心率，所以，则，所以椭圆方程为；若焦点在轴上，则，又离心率，，解得，所以椭圆方程为；综上可得，所求椭圆方程为或.练习7．（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）若椭圆的焦点在轴上，且与椭圆：的离心率相同，则椭圆的一个标准方程为______.【答案】（答案不唯一）【分析】先求得椭圆：的离心率，进而可以得到椭圆的一个标准方程.【详解】椭圆：的离心率为.则焦点在轴上离心率为的椭圆可取：.故答案为：练习8．（2023秋·高三课时练习）若椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为，则这个椭圆的方程为（

）A． B．或C． D．以上都不对【答案】B【分析】由短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形可得，由焦点到椭圆上点的最短距离为，结合可得.【详解】

由题意，当椭圆焦点在轴上，设椭圆方程为：，由题意，，所以，，，，所以椭圆方程为：，当椭圆焦点在轴上时，同理可得：，故选：B练习9．（2023秋·高二课时练习）已知分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，（O为坐标原点）是面积为的正三角形，则此椭圆的方程为__________．【答案】【分析】不妨设点位于第一象限，且，由题意得到，解得，结合椭圆的定义，求得，得到，即可求得椭圆的方程.【详解】不妨设点位于第一象限，且，因为是面积为的正三角形，可得，解得，所以，由椭圆的定义得，所以，则，所以椭圆的标准方程为.故答案为：.

练习10．（2023·全国·高三专题练习）已知焦点在轴上的椭圆的焦距等于，则实数的值为（

）A．或 B．或 C． D．【答案】D【分析】由椭圆的焦点在轴上确定，再根据即可求.【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以，根据题意可得，解得.故选：D.题型三 椭圆的焦点三角形例5．（2023春·广西防城港·高三统考阶段练习）在椭圆中，已知焦距为2，椭圆上的一点与两个焦点的距离的和等于4，且，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据椭圆中焦点三角形的几何性质，结合椭圆的定义与余弦定理即可求得各边长，再利用面积公式即可求得的面积.【详解】由题可知，焦距，则，又椭圆上的一点与两个焦点的距离的和等于4，即，所以，在中，，由余弦定理得：，整理得，所以，则，故的面积.故选：D.例6．（2023·北京·101中学校考三模）已知分别是双曲线的左右焦点，是上的一点，且，则的周长是__________．【答案】34【分析】由双曲线定义可得，再利用之间的关系求得，从而得到所求周长.【详解】因为，所以，故，则，又，故，则，，所以的周长为.故答案为：34.练习11．（2023春·四川内江·高三威远中学校校考期中）已知直线与椭圆交于两点，是椭圆的左焦点，则的周长是___________.【答案】20【分析】根据题意可知直线经过椭圆的右焦点，结合椭圆的定义即可求解.【详解】椭圆,所以，得，则椭圆的右焦点为，所以直线经过椭圆的右焦点，由椭圆的定义可知，的周长为.故答案为：20.练习12．（2022秋·高三课时练习）已知点在椭圆上，是椭圆的焦点，且，求(1)(2)的面积【答案】(1)48(2)24【分析】（1）根据椭圆定义结合勾股定理运算求解；（2）结合（1）中结果运算求解即可.【详解】（1）因为椭圆方程为，则，即，可得，因为，则即，所以.（2）由（1）得，因为，所以.

练习13．（2023·福建宁德·校考模拟预测）如图，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为__________

【答案】【分析】根据椭圆的定义及直径所对的圆周角等于，利用勾股定理及锐角三角函数的定义，结合三角函数的诱导公式及斜率的定义即可求解.【详解】连接，如图所示

设则，由椭圆的定义得所以在中，,所以,即，整理得，所以，所以直线的斜率为.故答案为：.练习14．（2023秋·广东·高三统考期末）椭圆的一个焦点是F，过原点O作直线(不经过焦点)与椭圆相交于A，B两点，则的周长的最小值是（

）A．14 B．15 C．18 D．20【答案】C【分析】不妨取为左焦点，为右焦点，连接，，则为平行四边形，的周长大于等于，计算得到答案.【详解】如图所示：不妨取为左焦点，为右焦点，连接，，则为平行四边形，的周长为，当，为椭圆上下顶点时等号成立.故选：C练习15．（2023·广东深圳·统考模拟预测）椭圆的左右两焦点分别为，点在椭圆上，正三角形面积为，则椭圆的方程为______．【答案】【分析】边的中点的横坐标为，代入椭圆方程得到，求得，根据题意得到且，结合，即可求解.【详解】如图所示，边的中点的横坐标为，把代入椭圆方程可得，解得，因为正三角形的面积为，可得，且，即，解得，将，且，代入，可得，解得或，因为，所以，则，所以椭圆的方程为.故答案为：.

题型四 距离和差的最值问题例7．（2023·全国·高三对口高考）设P是椭圆上一点，M、N分别是两圆：和上的点，则的最小值、最大值分别是________．【答案】4，8【分析】由题可得两个圆心恰好是椭圆的焦点，结合椭圆的定义，椭圆上的点到两个焦点距离之和为定值，再根据圆外一点到圆上点距离的最小值为点到圆心距离减去半径，最大值为点到圆心距离加上半径，即可求解.【详解】椭圆的两个焦点坐标为，且恰好为两个圆的圆心坐标，两个圆的半径相等都等于1，则由椭圆的定义可得故椭圆上动点与焦点连线与圆相交于、时，最小，所以，.故答案为：4，8.例8．（2022秋·贵州遵义·高三习水县第五中学校联考期末）已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为__________.【答案】8【分析】由题意得圆的圆心是椭圆的左焦点，，利用椭圆的定义，结合图像得到，然后由即可求出的最大值.【详解】如图,由，得，则，则圆的圆心是椭圆的左焦点，椭圆的右焦点为，由椭圆的定义得，所以，又，所以，，故答案为：8练习16．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，A是C上一点，，则的最大值为（

）A．7 B．8 C．9 D．11【答案】A【分析】根据椭圆的定义可得，利用可求的最大值.【详解】

设椭圆的半焦距为，则，，如图，连接，则，而，当且仅当共线且在中间时等号成立，故的最大值为.故选：A.练习17．（2021秋·高三课时练习）已知点F1，F2是椭圆的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（

）A．0 B．1 C．2 D．2【答案】C【分析】设，由坐标表示，由向量模的平方结合椭圆的范围得最小值．【详解】椭圆的左右焦点.设，则，，∴，又，则.∴∵点P在椭圆上，∴，∴当时，取最小值2．故选：C．练习18．（2020·北京·高三校考强基计划）（多选）已知点，P为椭圆上的动点，则的（

）A．最大值为 B．最大值为C．最小值为 D．最小值为【答案】BD【分析】利用椭圆的定义可求的最值.【详解】注意到Q为椭圆的右焦点，设其椭圆的左焦点为，则，而的取值范围是，即，因此所求最大值为，最小值为．故选：BD.练习19．（2023春·四川遂宁·高二遂宁中学校考阶段练习）已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆上的动点，椭圆内部一点M的坐标是，则的最大值是______．【答案】21【分析】由题意画出图形，利用椭圆定义转化，结合三角形两边之差小于第三边及两点间的距离公式求解．【详解】由椭圆得，则椭圆右焦点为，点M在椭圆内部，如图所示，则故答案为：21．练习20．（2022·高三课时练习）（多选）已知是左右焦点分别为，的上的动点，，下列说法正确的有（

）A．的最大值为5 B．C．存在点，使 D．的最大值为【答案】BD【分析】设，则，进而根据两点之间的距离公式和二次函数性质求解判断A；根据椭圆定义判断B；根据为短轴端点时，判断C；根据，，三点共线时，有最大值判断D.【详解】解：对于A选项，设，则，即，所以，又，所以当时，，故A错误，对于B选项，由椭圆定义，，故B正确对于C选项，当为短轴端点时，，，，故，进而，故C错误，对于D选项，，当，，三点共线时，有最大值，故D正确.故选：BD题型五 椭圆的简单几何性质例9．（2023秋·高三课时练习）中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据椭圆几何性质可知，代入椭圆标准方程即可求得结果.【详解】根据题意可设椭圆方程为，易知，且，解得；所以，故椭圆方程为.故选：A例10．（2023秋·高二课时练习）已知P点是椭圆上的动点，A点坐标为，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意利用两点间距离公式结合椭圆方程运算求解.【详解】设，则，因为P点在椭圆上，则，记，所以，又因为开口向上，对称轴，且，所以当时，取到最小值.故选：B.练习21．（2023春·上海长宁·高三上海市第三女子中学校考期中）椭圆和（

）A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．顶点相同【答案】C【分析】由椭圆的简单几何性质求解即可.【详解】对于椭圆，，，，∴，，，∴长轴长，短轴长，焦距，对于椭圆，，，，∴，，，∴长轴长，短轴长，焦距，∴椭圆和的长轴长和短轴长均不相等，故顶点不相同，焦距相等.故选：C.练习22．（2023秋·高三课时练习）椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，且经过点．(1)求椭圆的标准方程；(2)求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标，并用描点法画出它的图形．【答案】(1)；(2)长轴长为4；短轴长为；离心率为；顶点坐标为，作图见解析【分析】（1）根据椭圆的定义求解即可；（2）根据长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标的定义求解，并描出顶点画图即可.【详解】（1）由题意，椭圆的焦点坐标分别为，长轴长，即，，故椭圆的方程为.（2）由椭圆的方程为可得，椭圆的长轴长，短轴长，离心率为，顶点坐标为，作图如下：

练习23．（2022秋·湖南长沙·高三宁乡一中校考阶段练习）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴的正半轴上，则该圆的标准方程为______.【答案】【分析】设出圆心与半径，根据过椭圆的上顶点、左右顶点，由半径相等列方程求解.【详解】由及圆心位置知：圆经过椭圆的上顶点坐标为，左右顶点坐标为，设圆的圆心，半径为，则，解得，，故圆的方程为.故答案为：.练习24．（2023·云南昆明·统考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，直线y＝m与C交于A，B两点（A在y轴右侧），O为坐标原点，则下列说法正确的是（

）A．B．当时，四边形ABF1F2为矩形C．若，则D．存在实数m使得四边形ABF1O为平行四边形【答案】ABD【分析】由椭圆的定义与对称性可判断A；求出，的坐标，即可判断B；设，若，则，又，求得，即可判断C；若四边形为平行四边形，则，即的横坐标为即可，代入椭圆方程可得，即可判断D.【详解】由椭圆与关于轴对称，可得，故A正确；当时，可得，又，则，则四边形为矩形，故B正确；设，则，若，则，又，联立消元得，解得，故C错误；若四边形为平行四边形，则，即的横坐标为即可，代入椭圆方程可得，故当时，四边形为平行四边形，故D正确．故选：ABD．练习25．（2022·全国·高三专题练习）设、分别是椭圆的左、右焦点，若是该椭圆上的一个动点，则的最大值和最小值分别为（

）A．与 B．与 C．与 D．与【答案】A【分析】设点，则，且，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得的最大值和最小值.【详解】在椭圆中，，，，则点、，设点，则，且，则，所以，，，所以，，所以，当时，取最小值，当时，取最大值.故选：A.题型六 求椭圆离心率例11．（2023·山东烟台·统考三模）已知分别是椭圆的左、右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出的坐标，根据得出的坐标，根据在椭圆上列方程求解即可.【详解】

不妨设在第一象限，由题意，的横坐标为，令，解得，即.设，又，，，由可得：，解得，又在椭圆上，即，整理得，解得.故选：A例12．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）设内接于椭圆，与椭圆的上顶点重合，边过的中心，若边上中线过点，其中为椭圆的半焦距，则该椭圆的离心率为______.【答案】【分析】画出草图，分析可知为的重心，求解即可.【详解】如图：边过的中心，所以为的中点，则为边上的中线，边上中线过点，所以两中线的交点为，即为的重心，所以，即，则，所以，所以，所以，所以.故答案为：.练习26．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）已知，是椭圆的左、右焦点，是的上顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求得直线AP的方程，根据题意求得P点坐标，代入直线方程，即可求得椭圆的离心率．【详解】由题意可知：，，，直线的方程为：，由，点在第三象限，，则，代入直线方程中得整理得，则，∴椭圆的离心率.故选：B.练习27．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四中学校校考模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，.若关于直线的对称点P恰好在椭圆C上，则椭圆C的离心率为______.【答案】/【分析】根据，，利用斜率公式列方程组求得P点坐标，代入椭圆方程构造齐次式可解.【详解】由题知，，，设，记直线与交于点Q，由题知Q为的中点，又O为的中点，所以，所以...①，又，所以...②，联立①②解得，代入椭圆方程得，将代入上式，整理可得，即，解得或（舍去），所以.故答案为：

练习28．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）已知椭圆：，过中心的直线交于，两点，点在轴上，其横坐标是点横坐标的3倍，直线交于点，若直线恰好是以为直径的圆的切线，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三条直线的斜率关系，结合点差法可得.【详解】

设，，则，，设、、，分别为直线、、的斜率，则，，，因直线是以为直径的圆的切线所以，，所以，又在直线上，所以，因、在上，所以，，两式相减得，整理得，故，即，，故，故选：D练习29．（2022秋·高三课时练习）已知是椭圆的左、右焦点，过右焦点的直线与椭圆交于两点，且满足，，则该椭圆的离心率是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据椭圆的几何性质，得到线段之间的关系，椭圆的离心率，根据等腰三角形三线合一先求即可.【详解】

因为，所以，又因为，所以，因，所以，，可得：，，，所以点在短轴的顶点上，在等腰三角形中，，故选为：D练习30．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别是，斜率为的直线经过左焦点且交于两点（点在第一象限），设△的内切圆半径为的内切圆半径为，若，则椭圆的离心率的值为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由椭圆定义及三角形面积公式得到，设联立椭圆消去x，应用韦达定理得到椭圆参数的齐次方程，进而求离心率.【详解】如图所示，由椭圆定义可得，，设△的面积为，的面积为，因为，所以，即①，设直线，则联立椭圆方程与直线，可得，所以②，③，联立①②③得，，整理得，所以．故选：D

题型七 求椭圆离心率的取值范围例13．（2023秋·高三课时练习）设分别是椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点P，使线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可得以为圆心，以为半径的圆与椭圆有交点，由此列出满足的不等式关系，即可求得答案.【详解】由题意椭圆C上存在点P，使线段的垂直平分线过点，则,且需满足以为圆心，以为半径的圆与椭圆有交点，

即，即，又，故椭圆离心率的取值范围是，故选：C例14．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知为圆上一点，椭圆焦距为6，点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆离心率的取值范围为_________________．【答案】【分析】转化为圆关于直线对称的圆与椭圆有交点，再根据椭圆上的点到焦点的距离的最大值大于等于半径，最小值小于等于半径列式可得结果.【详解】圆关于直线对称的圆为：，依题意可得圆与椭圆有交点，又椭圆的右焦点是圆的圆心，所以，且，又，所以，.故答案为：.练习31．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）设是椭圆的上顶点，是上的一个动点．当运动到下顶点时，取得最大值，则的离心率的取值范围是