专题7.4 数列求和（解析版）备战2024年新高考数学一轮复习题型突破精练（新高考专用）

第第页专题7.4数列求和题型一倒序相加法题型二分组求和法题型三并项求和法题型四奇偶数列求和题型五裂项相消法题型六含绝对值数列求和题型七数列求和与不等式题型一 倒序相加法例1．（2023·全国·高三专题练习）设函数，设，．(1)计算的值．(2)求数列的通项公式．【答案】(1)2(2)【分析】（1）直接计算可得答案；（2）由（1）的计算结果，当时，利用倒序相加法可得答案.【详解】（1）；（2）由题知，当时，，又，两式相加得，所以，又不符合，所以.例2．（2023·全国·高三对口高考）已知函数，则__________；数列满足，则这个数列的前2015项的和等于__________.【答案】/1007.5【分析】根据，化简即可，再利用倒序相加法即可求得答案.【详解】由，得，所以，设数列前项之和为，则，，两式相加得，所以，即这个数列的前2015项的和等于.故答案为：；.练习1．（2022秋·天津南开·高三天津市天津中学校考期末）已知函数，数列满足，则（

）A．2022 B．2023 C．4044 D．4046【答案】A【分析】先求得，然后利用倒序相加法求得正确答案.【详解】∵，∴．∵，∴．令，则，两式相加得，∴．故选:A练习2．（2022秋·河南漯河·高二漯河高中校考期末）已知函数，则________.【答案】/【分析】可令，，利用倒序相加法，将角度之和为的两项结合（如化简整理即可．【详解】解：，，令，①，②①②得：，，即．故答案为：.练习3．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数，则___________.【答案】【分析】根据已知条件得，再利用倒序相加法即可求解.【详解】由，得，所以，设,,由，得即，于是有，解得，所以.故答案为：.练习4．（2023·全国·高三专题练习）已知，则______.【答案】4042【分析】先判断函数的对称性，然后用倒序相加法求和..【详解】由，令可得，，且，则，所以，函数关于点对称，即由已知，，又两式相加可得，所以，.故答案为：4042.练习5．（2023·全国·高三专题练习）设函数，设，．求数列的通项公式．【答案】【分析】通过，将已知倒序相加得出的式子，注意是否满足即可.【详解】；时，，，相加得，所以，又，所以对一切正整数，有；题型二 分组求和法例3．（2023春·四川广安·高二四川省广安友谊中学校考阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，且，.(1)求的通项公式；(2)数列满足，求的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据条件建立关于的方程组，然后解出即可得答案；（2）利用分组求和法求出答案即可.【详解】（1）∵，∴，，解得，∴；（2）由题可知，∴，∴，例4．（2023春·北京海淀·高二北京交通大学附属中学校考期中）已知等差数列满足，．(1)①求公差；②求数列的通项公式；③设数列的前项和为，求使得最小的的值；(2)若数列是首项为，公比为的等比数列．①求数列的通项公式；②求数列的前项和．【答案】(1)①；②；③，当时，取最小值(2)①；②【分析】（1）①根据直接求解；②根据等差数列的通项公式可求得的表达式；③根据等差数列的求和公式可求得，利用二次函数的基本性质可求得当取最小值时的值；（2）①求出数列的通项公式，结合数列的通项公式可求得数列的通项公式；②利用分组求和法可求得.【详解】（1）解：①因为，，则；②；③，由二次函数的基本性质可知，当时，取最小值.（2）解：①因为数列是首项为，公比为的等比数列，则，所以，；②.练习6．（2023春·吉林长春·高二长春十一高校考期中）设等比数列的前项和为，公比，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和为.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用基本量法，即可求解.（2）利用分组求和即可求解.【详解】（1）解：，解得，；（2）

.练习7．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知的面积为1，点D，E，F分别为线段，，的中点，记的面积为；点G，H，I分别为线段，，的中点，记的面积为；…；以此类推，第n次取中点后，得到的三角形面积记为．(1)求，，并求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据相邻两个三角形的面积关系可得，即可求解通项，（2）先利用并项求和法求得为偶数的情况的和，再利用所得结论求得奇数的情况的和，然后写成分段形式.【详解】（1）由题意可知,，...，由此可知，故是以公比为的等比数列，所以.（2）由得，，当为偶数时，，当为奇数时，，故.练习8．（2023春·北京丰台·高三北京市第十二中学校考期中）已知数列的前n项和为，且，，则使得成立的n的最小值为（

）A．32 B．33 C．44 D．45【答案】D【分析】分为奇数和为偶数两种情况，得到的通项公式，进而分为奇数和为偶数两种情况求和，解不等式，求出答案.【详解】①，当时，②，两式相减得，当为奇数时，为等差数列，首项为4，公差为4，所以，中，令得，故，故当为偶数时，为等差数列，首项为2，公差为4，所以，所以当为奇数时，，当为偶数时，，当为奇数时，令，解得，当为偶数时，令，解得，所以成立的n的最小值为.故选：D练习9．（2023·江西·校联考模拟预测）已知数列满足，．(1)令，证明：数列为等比数列；(2)求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）计算，确定，得到证明.（2）计算，再根据等比数列求和公式结合分组求和法计算得到答案.【详解】（1），则，，故是以首项为3，公比为3的等比数列．（2），故，.练习10．（2023·重庆·校联考三模）已知数列满足：，，(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前n项和为，求.【答案】(1)；(2)1024144.【分析】（1）根据给定的递推公式，分奇偶讨论求出的通项公式.（2）利用（1）的结论，利用分组求和法，结合等差数列前n项和公式求解作答.【详解】（1）数列满足：，，，当时，，数列是首项，公差为2的等差数列，因此，即当为偶数时，，当时，，即，由，得，因此，即当为奇数时，，所以数列的通项公式为.（2）由（1）知，.题型三 并项求和法例5．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）已知公差不为零的等差数列的首项为1，且是一个等比数列的前三项，记数列的前项和为．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前20项的和．【答案】(1)，(2)210【分析】（1）根据等差数列与等比数列的性质计算即可；（2）利用分组求和法求和即可.【详解】（1）设等差数列的公差为，又，所以．因为是一个等比数列的前三项，所以．即又，所以所以数列的通项公式为，（2）由（1）知数列的前项和所以，数列的前20项的和为例6．（2023·江苏苏州·校联考三模）已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前2023项和.【答案】(1)(2)1012【分析】（1）根据等差数列的通项公式以及给定的条件求出公差d和；（2）根据数列的周期性求解.【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意可知，即解得，所以；（2）由（1）可知，，对于任意，有，所以，故数列的前2023项和为.练习11．（2023·全国·高三专题练习）设是数列的前n项和，已知，.(1)求，；(2)令，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据递推关系即可联立求解，（2）根据偶数项和奇数项的关系可得，进而根据分组求和即可.【详解】（1）由得即，即，又，所以，（2）当时，，当时，，两式相加可得，得，由于，所以练习12．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，…，是以1为首项，1为公差的等差数列．(1)求的通项公式；(2)求数列前2n项的和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意和等差数列前n项求和公式可得当时，，验证符合该式即可；（2）由（1）可得，，结合等差数列前n项求和公式计算即可求解.【详解】（1）当时，，又，符合上式，∴；（2）由（1）知，，，∴.练习13．（2023·全国·模拟预测）记为正项数列的前项和，已知．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知可得，由可得出的值，当时，由可得，两式作差可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式；（2）求得，计算出，然后分为偶数、为奇数两种情况讨论，利用分组求和法可求得的表达式.【详解】（1）由，得，当时，，解得，当时，，所以，整理得，对任意的，，则，所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故（2）由（1）可知，，则，所以，对任意的，，当为偶数时，设，则；当为奇数时，设，则，.综上所述，.练习14．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和.(1)求数列的通项公式；(2)数列满足，求的前100项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由与关系得数列为等差数列，进而结合通项公式求解即可；（2）结合题意得，，进而，再求和即可.【详解】（1）解：当时，，,，由得当时，递推得，所以，两式作差得：，即，因为数列各项均为正数，所以，又因为，所以，数列为等差数列，公差、首项均为，所以.（2）解：由得，，；令，则.练习15．（2023·海南·统考模拟预测）已知数列满足（n≥2，），．(1)求证：数列为等比数列，并求的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)证明见解析，(2)【分析】（1）构造等比数列，再求其通项；（2）利用等比数列求和公式以及分组求和法得出结果.【详解】（1）∵，∴，所以，又，∴是首项为2，公比为2的等比数列，∴，∴．（2）∵，∴，当n为偶数时，．当n为奇数时，．综上．题型四 奇偶数列求和例7．（2023·山东济宁·统考二模）已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式;(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等差数列的基本量计算即可求解，（2）由分组求和，结合等差等比数列的求和公式即可求解.【详解】（1）由，得所以数列为等差数列．所以，得．所以公差．所以．（2）当为奇数时，．当为偶数时．所以例8．（2023·湖南岳阳·统考三模）已知等比数列的前n项和为，其公比，，且．(1)求数列的通项公式；(2)已知，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知条件求出公比，，直接写出等比数列的通项公式即可；（2）由（1）得，分组求和即可，注意分类讨论的思想.【详解】（1）因为是等比数列，公比为，则，所以，解得，由，可得，解得，所以数列的通项公式为．（2）由（1）得，当n为偶数时，；当n为奇数时；综上所述：.练习16．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足．(1)求的通项公式；(2)已知求数列的前20项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据得到，然后两式相减得到，最后验证时是否成立，即可得到；（2）分奇偶项求和，奇数项用等差数列求和公式求和，偶数项用裂项相消的方法求和，最后相加即可.【详解】（1）当时，可得，当时，，，上述两式作差可得，因为满足，所以的通项公式为.（2）因为，所以，.所以数列的前20项和为.练习17．（2023春·全国·高三期中）已知数列满足，，数列满足．(1)求数列和的通项公式；(2)求数列的前项和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由题意先求出，再根据，得，从而可得，再利用构造法求出的通项，从而可得的通项公式；（2）分为偶数和奇数两种情况讨论，再结合分组求和法即可得解.【详解】（1），得，因为，即，解得，由，得，又，故，所以，即，所以，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，则，故，所以；（2）当为偶数时，，当为奇数时，，综上所述，.练习18．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，，且，则______．【答案】【分析】令，然后由条件可得，然后求出数列的通项公式，然后可算出答案.【详解】令，因为，且，所以，，所以，所以数列是首项为8，公比为2的等比数列，所以，即，所以，故答案为：练习19．（2023春·北京·高三北京五十五中校考阶段练习）设等差数列的前项和为，且，，数列的前项和为，且，.(1)求数列，的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)，（），，（）(2)【分析】（1）由等差数列的通项公式和前项和公式，可求数列的通项公式；对于数列，当时，，先求出递推公式，从而得到的通项公式；（2）利用分组求和的方法可求数列的前项和.【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意得，解得，所以，（）；对于数列，由已知，当时，，得，当时，，

，两式相减，得，所以数列为等比数列，得，（）.（2）由（1）可得设,所以练习20．（2023春·浙江杭州·高三浙江大学附属中学期中）（多选）已知数列满足，，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】A选项直接由递推关系式即可求出；B选项由即可判断；C选项由即可判断；D选项由分组求和及等比数列求和公式即可判断.【详解】，故选项A正确；对于，有，两式相加，得，则，故选项B正确；由，知，则，故选项C错误；由偶数项均为，可得为偶数时，，则，则，故选项D正确.故选：ABD.题型五 裂项相消法例9．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）已知等差数列前项和为，数列前项积为.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）求得数列的公差，由此求得.利用求得.（2）利用裂项相消求和法求得.【详解】（1）是等差数列，，即：，又，，.又，当时，，符合上式，.（2）由（1）可得：，.例10．（河南省TOP二十名校2023届高三猜题大联考（二）数学（文科）试题）已知等差数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的通项公式.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据条件列出方程组求解；（2）对裂项，用累加法求数列的通项公式.【详解】（1）设的公差为，首项为，因为所以解得所以.（2）由题设，所以当时，，将上式累加可得：，又，则.又，也适合上式，故.练习21．（2023春·河南南阳·高三镇平县第一高级中学校考阶段练习）数列的前2022项和为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据裂项相消法求和即可.【详解】因为，所以数列的前2022项的和为：.故选：D练习22．（2023·河北·统考模拟预测）已知数列的前项和为，且.(1)证明：数列是等差数列；(2)若，，成等比数列.从下面三个条件中选择一个，求数列的前项和.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）①；②；③.【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【分析】（1）依题意可得，根据，作差得到，当时两边同除，即可得到为常数数列，从而求出，即可证明；（2）设的公差为，根据等比中项的性质得到方程，求出，即可求出的通项，再根据所选条件，利用裂项相消法计算可得.【详解】（1）因为，即，当时，解得，当时，所以，即，所以，当时上述式子恒成立，当时两边同除可得，即，所以为常数数列，即，所以，即，当时上述也成立，所以，所以是以为首项，为公差的等差数列.（2）设的公差为，因为，，成等比数列，所以，即，解得，所以；若选①，则，所以.若选②，则，所以.若选③，则，所以.练习23．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知正项数列满足，.(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）根据等比数列的定义可证等比数列，根据等比数列的通项公式可得;（2）根据裂项求和法可求出结果.【详解】（1）因为，，所以，，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以.（2）,所以.练习24．（2023春·河南南阳·高三镇平县第一高级中学校考阶段练习）已知数列的前n项和为，且满足，．(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用求通项公式；（2）先根据求出，再把拆项为，然后求和．【详解】（1）∵，，当时，，∴．由，，两式相减可得：．∴，又．∴是以4为首项，2为公比的等比数列，∴．（2）因为，，所以.练习25．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知正项数列，其前项和为，且满足，数列满足，其前项和，设，若对任意恒成立，则的最小值是___________.【答案】1【分析】利用，得出，即可判断数列是首项为3，公差为2的等差数列，因此，，，，根据，不等式恒成立，转化为，不等式且恒成立，即可得出结论.【详解】由题意知，，且，则当时，，两式相减得，所以，而，即，又，解得，数列是首项为3，公差为2的等差数列，因此，则，，，数列是单调递增的，，而数列是单调递减的，，因为，不等式恒成立，则，不等式且恒成立，因此且，即有，又，所以的最小值是1.故答案为：1题型六 含绝对值数列求和例11．（2023·河北·统考模拟预测）在正项数列中，，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意因式分解可得，即，再根据等比数列的通项即可得解；（2）分和两种情况去绝对值符号，再根据等比数列的前项和公式即可得解.【详解】（1）由，得，因为，所以，又，则，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以；（2），当时，，当时，，综上所述，.例12．（2023·全国·高三对口高考）等差数列中，是它的前n项的和，且满足.则的最大值为__________；数列的前n项和__________.【答案】【分析】由已知得，进而求通项，根据的正负，即可确定取得最大值时的值，进而可求；由已知得是首项为，公差为的等差数列，由，得时，时，，由此分类能求出数列的前项和.【详解】∵，设等差数列的公差为，∴，∴.∴＝.∴当时，，时，，∴当时，取得最大值，且最大值为.又因为等差数列的前n项和为，，设的前n项和为当时，，当时，因此故答案为：；.练习26．（2022秋·上海浦东新·高三上海市建平中学校考开学考试）已知数列的通项公式为，那么满足的整数k的个数为______．【答案】2【分析】根据数列的通项公式，去绝对值符号，对进行讨论，进而求得的表达式，解方程即可求得结果．【详解】∵，∴若，则，∴与矛盾，∴，∴，解得或，∴满足的整数，5，即整数k的个数为2，故答案为2．【点睛】本题考查根据数列的通项公式求数列的和，体现了分类讨论的数学思想，去绝对值是解题的关键，考查运算能力，属中档题．练习27．（2023春·高三课时练习）已知数列的通项公式，则（

）A．150 B．162 C．180 D．210【答案】B【分析】根据对勾函数性质得到数列单调性，再根据大小关系去掉绝对值符号得到答案.【详解】由对勾函数的性质可知：当时，数列为递减；当时，数列为递增.所以====162.故选：B.【点睛】本题考查了数列求和，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，确定数列单调性是解题的关键.练习28．（2022·高三课时练习）已知数列是公比为3的等比数列，若，则数列的前100项和（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据数列是公比为3的等比数列，求出，再判断出数列各项符号后，去掉绝对值可求得结果.【详解】∵，∴.又∵数列是公比为3的等比数列，∴，可得.易得当时，，当时，，∴数列的前100项和.故选：C【点睛】关键点点睛：根据通项公式判断出各项符号，去掉绝对值符号求解是解题关键.练习29．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，设，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，证明数列是首项为，公比为的等比数列即可求解；（2）结合（1）得，再分和两种情况讨论求解即可.【详解】（1）解：由，得，两式相减，得，所以，即.又因为时，，所以，因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列.所以.（2）解：由（1）得，.当时，，当时，综上，练习30．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和，若，则（

）A．578 B．579C．580 D．581【答案】B【分析】由的关系得出通项公式，再讨论，两种情况，结合求和公式得出.【详解】当时，当时，，经检验时，不成立.故得到.令，则，解得，且，当时，，当时，，故：，.故选：B.题型七 数列求和与不等式例13．（2023春·山东德州·高二校考阶段练习）已知数列满足，设数列满足：，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求数列的和，最后利用函数的单调性求出结果.【详解】数列满足，①当时，，②①②得，，故，则，则，由于恒成立，故，整理得：，因随的增加而减小，所以当时，最大，且为，即.故选：D例14．（河南省开封市等2地学校2022-2023学年高三下学期普高联考测评（六）理科数学试题）数列是首项和公比均为2的等比数列，为数列的前项和，则使不等式成立的最小正整数的值是（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】根据等比数列得，利用裂项求和可得，结合不等式的性质代入求解即可得答案.【详解】因为数列是首项和公比均为2的等比数列，所以，则，所以，则，不等式整理得，当时，左边，右边，显然不满足不等式；当时，左边，右边，显然满足不等式；且当时，左边，右边，则不等式恒成立；故当不等式成立时的最小值为9.故选：B.练习31．（2023春·北京·高三北京四中校考期中）已知数列的前项和，数列的前项和为，且满足，.(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前项和；(3)求使不等式成立的最小正整数的值.