2024届湖南省衡阳市八中高三上学期第二次月考数学试卷及答案

衡阳市八中2024届高三第2次月考数学试题注意事项：本试卷满分为150分，时量为120分钟一､单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分）1Ax0x2,Bxx2AB1.若集合，则（）x0x1x1xA.C.B.D.x0x2xx0x或12i2.在复平面内，复数对应的点的坐标为()4343550,1,,A.B.C.D.55x)(xx)，有2f(x)f(x)0，则x213.定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的，21121（ff(2)fff(2)ffff(2)A.B.D.f(2)ffC.的公差为，前项和为，则d0是SnS”的（n）anSS2nS2n4.已知等差数列dn“”“3nA充分不必要条件C充分必要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.某校高三有1000人参加考试，统计发现数学成绩近似服从正态分布N(105，σ2)，且成绩优良（不低于120分）的人数为360，则此次考试数学成绩及格（不低于90分）的人数约为（）A.360B.640C.720D.780x22y21a3的左、右焦点分别为F1F2，A为上顶点，若1F的面积为3，则26.椭圆，a3F的周长为（）12A.8B.7C.6D.5第1页/共6页axxfx0（其中ea使得恒成fxaxe7.设函数x立，则实数m的取值范围是（）11e,,AeB.21ee2,,C.D.28.如图，在三棱锥S中，SASCAC22,ABBC2，二面角SB的正切值是S2，则三棱锥外接球的表面积是（）43A.12πB.4πC.43πD.π3二多选题（本大题共小题，每题分，共20分）､459.已知向量ab(2,4)，则下列结论正确的是（）.|2ab10B.A.(ab)aC.向量a,b的夹角为D.b在a方向上的投影向量是10a4的前项和为，前项积为，若满足，1，annSn01nn1aa10.设等比数列7，则下列选项正确的是（）1a0为递减数列1SaSA.B.nT1nn时，的最小值为4047C.当n时，T最小D.当n，则（）fxcos2x2sinx11.已知函数62A.函数在区间fx,上单调递增第2页/共6页B.直线x是函数图象的一条对称轴fx23C.函数fx2最多有8个根，且这些根之和为8πfxax2πD.方程l:ykx2交轴于点P，圆yM:x22y1，过点P作圆M的两条切线，切点分212.已知直线别为A，B，直线AB与交于点C，则（）15A.若直线l与圆M相切，则k15B.当k2时，四边形的面积为219C.直线AB经过一定点74Q,0CQ为定值D.已知点，则三填空题（本大题共题，每小题分，共20分）､4513.在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数e2.71828．小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有______个．1fxxae14.曲线xf0yxa垂直，则______.在点处的切线与直线215.底面ABCD为菱形且侧棱底面ABCD的四棱柱被一平面截取后得到如图所示的几何体.若CG3FBEG的体积为__________..则三棱雃x轴的直线l:yay2xy2x1和的图像交于点A，B，若函数16.设a0，平行于分别与函数y2x的图像上存在点C，满足为等边三角形，则a_________．四､解答题（本大题共6小题，共70分）第3页/共6页，ABAC1且cb．317.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为2（1）求角A的大小；3（2）设M为BC的中点，且，求a的长度．218.某工艺品加工厂加工某工艺品需要经过a，b，c三道工序，且每道工序的加工都相互独立，三道工序31212加工合格率分别为，，．三道工序都合格的工艺品为特等品；恰有两道工序合格的工艺品为一等4品；恰有一道工序合格的工艺品为二等品；其余为废品．（1）求加工一件工艺品不是废品的概率；（2）若每个工艺品为特等品可获利300元，一等品可获利100元，二等品将使工厂亏损20元，废品将使工厂亏损100元，记一件工艺品经过三道工序后最终获利X元，求X的分布列和数学期望．B=90°，AB22，ACD为等边三角形，O为AC边的19.在图1中，为等腰直角三角形，EC2BE中点，E在BC边上，且，沿AC将ACD进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，使得4．．（1）证明：平面（2）求二面角EFAC的余弦值．满足，则称数列为“平方递推数列．已知数列中，19，点An1n2Anan20.若数列nan,an1在函数f(x)x22x的图象上，其中n为正整数，（1）证明：数列a1是“平方递推数列，且数列a1为等比数列；nna,ab,a*bba1,c2n4db*c的前项和d，求数列n（2）设，定义，且记nnnnnnnb,ab,S．n第4页/共6页x22y221ab0的右焦点，右顶点分别为F，A，Bb，1，点21.已知双曲线C:abM在线段AB上，且满足3，直线OM的斜率为1，O为坐标原点.（1）求双曲线C的方程.（2）过点F的直线l与双曲线C的右支相交于P，Qx两点，在轴上是否存在与不同的定点，使得FEEPFQEQFP恒成立？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.1x，a0.fxxax22.已知函数（1）讨论极值点的个数；fx（2）若恰有三个零点和两个极值点x.12fxt,t,ttt2tx,xx1231312fxfx0（ⅰ）证明：；12m1memnmmnnnn1（ⅱ）若，且，证明：.ttt123第5页/共6页衡阳市八中2024届高三第2次月考数学试题注意事项：本试卷满分为150分，时量为120分钟一､单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分）1Ax0x2,Bxx2AB1.若集合，则（）x0x1x1xA.C.B.D.x0x2xx0x或【答案】A【解析】【分析】解集合B中的不等式，得到集合B，再求两个集合的交集.x1x1，1解得1x1，则B【详解】不等式x2Ax0xABx0x1，又，所以故选：A.2.在复平面内，复数12i对应的点的坐标为()435543550,1,,A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先进行复数的除法运算，进而可得对应点的坐标.2i2i112i2ii【详解】，所以对应点的坐标为．5故选：Af(x)f(x)xx)(xx)，有2210，则3.定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的，12121（ff(2)fff(2)fB.A.第1页/共27页f(2)fffff(2)D.C.【答案】A【解析】f1f2x1x2[0∞)(x≠x)<0f(x)在[0∞)1212ff(2)f(2)f，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行的公差为，前项和为，则d0是SnS”的（n）anSS2nS2n4.已知等差数列dn“”“3nA.充分不必要条件C.充分必要条件【答案】CB.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】n【分析】利用等差数列的前项公式，分别从充分性和必要性两个方面进行判断即可求解.【详解】因为数列是公差为的等差数列，所以andnn2n(2nnnSSnad21d1d，3n2n12222n(2nn(nnnSS2nad1d1d，2nn1222SS(SS)n2d所以，3n2n2nn若等差数列的公差d0SSSS，则n2d0，所以，故充分性成立；3n2n2nnanSSSSSS(SS)n2d0，所以，故必要性成立，d0若，则3n2n2nn3n2n2nn所以“d0”是“故选：C.SSSS”3n2n2nn5.某校高三有1000人参加考试，统计发现数学成绩近似服从正态分布N(105，σ2)，且成绩优良（不低于120分）的人数为360，则此次考试数学成绩及格（不低于90分）的人数约为（）A.360B.640C.720D.780【答案】B【解析】第2页/共27页【分析】利用正态分布的性质可解.360640P(X90)P(X120)P(X90)1P(X90)【详解】因为，所以，所以此次考10001000640试数学成绩及格（不低于90分）的人数约为1000故选：B640.1000x22y21a3的左、右焦点分别为F1F2，A为上顶点，若1F的面积为3，则26.椭圆，a3F的周长为（）12A.8B.7C.6D.5【答案】C【解析】【分析】设椭圆的半焦距为，由条件利用表示△F的面积，由条件列方程求，再由关系求a,b,cccc12AF，由此可求21F的周长.2aAF，根据椭圆定义求1x22y21a3的半短轴长为，半焦距为，bc【详解】设椭圆a31SFFbc3，AF12的面积12则b2由题知c3，所以c1，abAFAF2a42c2，2FF2c2，由椭圆的定义知，又1212所以△F的周长为426.12故选：C.axxfx0（其中ea使得恒成fxaxe7.设函数x立，则实数m的取值范围是（）11e,,A.B.e21ee2,,C.D.2【答案】A第3页/共27页【解析】exxxex)(a)0gx,h(x)ygx和函数yhx(axxxxyaya下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，即可得出答案．【详解】函数的定义域为(0,)，fxexx由fx0(axex)axx0，所以(a)(a)0，，得xxxex令g(x),h(x)，xxygx和函数yhx的图象，一个在直线yaya上方，一个在直下方，等价由题意知，函数于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，x1xg(x)(x0)g(x)，得由，xx2x0,e时，gxgx所以当单调递增，单调递减，x(e,)gxgx当时，ee1egxg(e)g(x)，没有最小值，所以exexxexe(xx由h(x)(x0)，得h(x)，xx2x2xhxhx上单调递增，当m0时，在x)hxhx在上单调递减，所以有最大值，无最小值，不合题意，hxhxhx单调递减，m0时，在x上当x)hxhx上在单调递增，h(x)hme所以，1h1ge所以即e，e11m(,)．所以，即m的取值范围为e2e2第4页/共27页故选：A．8.如图，在三棱锥S中，SASCAC22,ABBC2，二面角SB的正切值是S2，则三棱锥外接球的表面积是（）43A.12πB.4πC.43πD.π3【答案】A【解析】【分析】利用二面角SB的正切值求得SB，由此判断出2BS,,，且两两垂直，由此将三棱锥补形成正方体，利用正方体的外接球半径，求得外接球的表面积.【详解】设E是AC的中点，连接EB,ESSASC,ABBC，由于，ACSE,ACBESB所以，所以是二面角的平面角，所以2，sinSEBcosSEBtanSEB3.由得3sin2SEBSEB12在SAC中，SE22SA2AE22226，2，2SEBEcosSEB2，2在中，BEAB2AE2222在△SEB中，由余弦定理得：SBSE22BE2所以，由于SASCAC22，所以由此将三棱锥补形成正方体如下图所示，正方体的边长为2，则体对角线长为23.设正方体外接球的半径为R，则R3，所以外接球的表面积为BS,,两两垂直.4R2π，2第5页/共27页故选：A.二多选题（本大题共小题，每题分，共20分）､459.已知向量ab(2,4)，则下列结论正确的是（）.A.(ab)a|2ab10B.C.向量a,b的夹角为D.b在a方向上的投影向量是10a4【答案】AC【解析】【分析】对于A，根据向量的加法和数量积的坐标表示，可得答案；对于B，根据向量的数乘以及加法坐标公式，结合模长的坐标公式，可得答案；对于C，根据向量夹角公式，可得答案；对于D，根据投影的定义，结合向量数乘的几何意义，可得答案.ab1aba31130aba【详解】对于A，，由，则，故A正确；242，2ab422225，故B错误；对于B，2abab123410，a2210b224252对于C，，，则ab102a,b，即向量a,b的夹角为，故C正确；ab102524ab10aaa对于D，b在a方向上的投影向量是2，故D错误.10a故选：AC.的前项和为，前项积为，若满足，1，annSn01nn1aa10.设等比数列7，则下列选项正确的是（）1a0第6页/共27页为递减数列1SaSA.B.nT1nnC.当n时，T最小D.当时，的最小值为4047n【答案】BC【解析】a20241，判断BT的意义，结合ABn【分析】首先讨论数列的单调性，判断A选项的判断，再判断C；结合等比数列的性质，以及AB选项的判断，即可判断D.a0aa7a07a0，【详解】A.由条件可知，，与，同号，所以，则11a1q0，则公比q0而若0q1，数列单调递减，则07,1，那么71，与已知矛盾，若q1，则0aaa1，则那么71，与已知矛盾，17q，才存在，使1，所以等比数列q1aaa只有当单调递增，故A错误；7nB.因为，单调递增，所以1，1a0anaSS1，即S1S则，故B正确；C.因为q1，且a1，所以当n时，n最小，故C正确；aa11，1a21，D.根据等比数列的性质可知，7T1nn时，的最小值为4046，故D错误.所以当故选：BC，则（）fxcos2x2sinx11.已知函数62A.函数在区间fx,上单调递增B.直线x是函数图象的一条对称轴fx23C.函数的值域为fx2最多有8个根，且这些根之和为8πfxax2πD.方程【答案】BCD第7页/共27页【解析】【分析】根据函数的周期性与对称性，结合复合函数的单调性作出图象即可解决问题.fxcos2x2sinx,xR【详解】，f(x)cos(2x)2|sin(x)2x2|sinxf(x)，y则f(x)是偶函数，图象关于轴对称.f(x)2(x)2sin(x)2x2sinxf(x)，f(x)T.f(x)2(x)2sin(x)2x2x又222f(x)2(x)2sin(x)2x2x且，222f(x)f(x)，即f(x)图象关于x轴对称，222kx,kZ故直线都是f(x)的对称轴.22x时，sinx0当，13f(x)2x2sinx2sin2x2sinx12(sinx2)，则221232令tsinx，则可看成由yt)2tsinx与复合而成的函数，f(x)tsinx,x单调递增，2x1t132yt)2当，则，单调递增，则f(x)单调递增；62262113x,，则t,12yt)2当且，单调递减，则f(x)单调递减；2232f(x)f(0)f()f(x)f().26fxcos2x2sinx,x2π的大致图象.结合以上性质，作出函数第8页/共27页62选项A，函数在区间fx,上单调递减，故A项错误；选项B，直线x是函数图象的一条对称轴，故B项正确；fx23232选项C，当x[0,]时，函数fx的值域为，函数的值域为，，由函数周期Tπfx故C项正确；选项D，如图可知，方程fxaxi,8)最多有8个根，设为，不妨设ixxxx，1238x2π时，函数f(x)的图象关于x当对称，8x(xx)(xx)(xx)(xx)428则，i18273645i1即这些根之和为8π，故D项正确.故选：BCD.l:ykx2交轴于点P，圆yM:x22y1，过点P作圆M的两条切线，切点分212.已知直线别为A，B，直线AB与交于点C，则（）15A.若直线l与圆M相切，则k15B.当k2时，四边形的面积为219C.直线AB经过一定点第9页/共27页74Q,0CQ为定值D.已知点，则【答案】ACD【解析】，进而求出P0,4【分析】根据圆心到直线距离等于半径建立等式，解出即可判断；根据求出kAkPM，根据相切可得四边形面积等于两个全等的直角三角形面积和，根据三角形面积公式即可求出结,M,B,P果；根据相切可知四点共圆，且为直径，求出圆的方程即可得弦所在的直线方程，进而判断C；根据直线AB过定点及可得90，即在以CMN为直径的圆上，求出圆的方程可发现圆心为点Q，即可判断D.4k1k【详解】解：对于A，若直线l与圆M相切，则圆心到直线的距离1，215解得k，所以A正确；15P0,4时，，，k2M2,0PM16425，对于B，当,PB为圆的两条切线，所以PAMPBM90，因为2119，所以四边形的面积S2△AMPA1PM所以B错误；对于C，因为，M0，且PAM，P2kPBM90,M,B,P所以四点共圆，且为直径，44k2所以该圆圆心为，半径为k1k2，2所以圆的方程为：x12yk21k，2因为AB是该圆和圆M的相交弦，所以直线AB的方程为两圆方程相减，即x12yk2x22y21k21，AB:2x230化简可得：，第10页/共27页32所以直线AB经过定点N,0，所以C正确；对于D，因为，所以90，32N,0上，所以90AB因为在直线32，，MNM2,0N,0即点C在以为直径的圆上，因为174,014所以圆心为，半径为，4227，圆心为Q,0，416741xy2所以圆的方程为：141CQ因为点C在该圆上，所以故选：ACD为定值，所以D正确．4三填空题（本大题共题，每小题分，共20分）､4513.在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数e2.71828．小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有______个．【答案】36【解析】【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解．【详解】如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，两个2捆绑看作一个元素与7，1全排列，排好后有4个空位，两个8插入其中的2个空位中，注意到两个2，两个8均为相同元素，A33C2436那么小明可以设置的不同密码共有．故答案为：36.1fxxae14.曲线xf0yxa垂直，则______.在点处的切线与直线2【答案】1【解析】第11页/共27页【分析】根据导数的几何意义和垂直关系可知f02，由此可构造方程求得结果.1fx在f0垂直，f02yx【详解】处的切线与直线，2又xxxa1exf0a12a1.，，解得：fxexae故答案为：1.15.底面ABCD为菱形且侧棱底面ABCD的四棱柱被一平面截取后得到如图所示的几何体.若CG3FBEG的体积为__________..则三棱雃838333【答案】【解析】##【分析】先证明四边形为平行四边形，可得BF2，进而证明EA//平面，进而利用FBEGEBGFVABGF求解即可.ACBD相交于点O，交EG于点P，，连接【详解】连接，连接ADHE//，由已知可得：平面平面BCGF平面，因为平面平面，平面EH//FGEF//为平行四边形，所以，同理可得：，所以四边形的中点，所以P为EG的中点，O为AC所以OP//AE，所以4，所以BF2.1S△4所以.2EA//FB,FBBCGF,女平面，因为所以平面EA//，平面所以点A到平面的距离等于点到平面E的距离，为23.第12页/共27页13833所以FEVAS△23.833故答案为：.【点睛】求三棱锥的体积的时候，要注意利用图形的特点，看把哪个点当成顶点更好计算.x轴的直线l:yay2xy2x1和的图像交于点A，B，若函数16.设a0，平行于分别与函数y2x的图像上存在点C，满足为等边三角形，则a_________．6【答案】32【解析】,BAB的中点D的坐标，进而表示出【分析】根据给定条件，利用指数、对数互化关系求出点C的坐标，及的坐标即可求解作答.【详解】直线l:ya，由2xa，得xlog2a，Aa,a，即点2xa1a，得，即点2Blog2aa，于是AB1，由2x13，得CDAB，CD如图，取AB的中点D，连接CD，由正，213显然点C不可能在直线l上方，因此点Ca,a)，而点C在函数y2x的图象上，222第13页/共27页3223123aa22a，即a36则，解得a3，222422226所以a3.26故答案为：32四､解答题（本大题共6小题，共70分），ABAC1且cb．317.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为2（1）求角A的大小；3（2）设M为BC的中点，且，求a的长度．2A【答案】（1），3（2）a=7【解析】1）由三角形的面积公式，向量的数量积公式列方程，两方程相除，可求出出角A的大小；tanA31a2c244（2）在ABC中由余弦定理得a，2b22c2，在△ABM中由余弦定理得31a22231a2b244cosAMC可求出的值.在△ACM中由余弦定理得0a31a222【小问1详解】3因为△ABC的面积为，213所以bcsinA，即bcsinA3，22因为ABAC1，所以bcA1，第14页/共27页bcsinAbccosA33，所以因为，得tanAA0,，所以A3【小问2详解】A，所以bcsin3，得bc2，因为33在ABC中，由余弦定理得a2b2c2bcAb2c22，311在△ABM中，，a,c，2223144a2c2AM2BM2AB2cos由余弦定理得，2AMBM31a2223112在△ACM中，，CMBCa,ACb，2231a2b22CM2244由余弦定理得，2CM31a222因为所以，0，3131a44a2c22b2440，所以31312a2a222231a2231a2c2b20，得b2c22所以所以，2231a2a22，得a27，22所以a=7第15页/共27页18.某工艺品加工厂加工某工艺品需要经过a，b，c三道工序，且每道工序的加工都相互独立，三道工序31212加工合格率分别为，，．三道工序都合格的工艺品为特等品；恰有两道工序合格的工艺品为一等4品；恰有一道工序合格的工艺品为二等品；其余为废品．（1）求加工一件工艺品不是废品的概率；（2）若每个工艺品为特等品可获利300元，一等品可获利100元，二等品将使工厂亏损20元，废品将使工厂亏损100元，记一件工艺品经过三道工序后最终获利X元，求X的分布列和数学期望．【答案】（1）；2（2）分布列见解析，数学期望为.【解析】1）三道工序都不合格为废品，求事件的概率，利用对立事件，求不是废品的概率；（2）由X的取值，计算相应的概率，列出分布列，由公式求数学期望.【小问1详解】记“加工一件工艺品为废品”为事件A，311422161PA111则，1516PA1PA则加工一件工艺品不是废品的的概率．【小问2详解】由题意可知随机变量X的所有可能取值为-100，-20，100，300，1100PX，16311111111520PX，，422422422163113111117PX100422422422163113PX300，42216则随机变量X的分布列为：XP-100-201003001573161573175100300EX20100故．161616162第16页/共27页B=90°，AB22，ACD为等边三角形，O为AC边的19.在图1中，为等腰直角三角形，EC2BE中点，E在BC边上，且，沿AC将ACD进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，使得4．．（1）证明：平面（2）求二面角EFAC的余弦值．【答案】（1）证明见解析3（2）2【解析】FOAC，即可证明；1）由等边三角形三线合一，得出，再由勾股定理逆定理得出（2）方法一：建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量法计算即可；方法二：作EMAC，垂足为M，ENAFNEEFAC，则二面角的平面角为作，垂足为N，连接，首先由线面垂直得出ENM，在△中，求出cosENM即可．【小问1详解】证明：连接OB，为等腰直角三角形，B=90°因为所以，AB22，AC4，因为O为AC边的中点，1所以AC2，2AFACFC4，在等边三角形中，因为O为AC边的中点，FOAC所以，则FOAFAO223，2又4，第17页/共27页所以22FB2，即，，OB平面，因为所以O，AC平面．平面【小问2详解】是等腰直角三角形，90，OAC中点，方法一：因为为边所以OBAC，由（1）得平面，则以O为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建，，立空间直角坐标系，42,,0则A2,0，EF0,0,23，，3348AE,,0AF0,2,23所以，，33，设平面FAE的法向量为nx,y,z2y23z0AFn0，得，令，得3,1，z1n23,由483AEn0x3y01,0,0易知平面的一个法向量为m，设二面角EFAC的大小为θ，第18页/共27页mn3则|cos，2mn由图可知二面角EFAC为锐角，3所以二面角EFAC的余弦值为．2方法二：作EMAC，垂足为M，作，垂足为N，连接EN，，平面因为平面，所以，ACFOO，AC,平面，又因为所以EM平面ACF，又平面，所以EMAF，MMN,EM又，，平面，所以AF平面，又EN平面所以，AFC，AEFAF，又平面平面所以二面角EFAC的平面角为ENM，EMECCM23因为EM∥，所以，BC412所以，，333238RtAMNFAC60AMAO，2在中，，38433所以sin60，324243383所以ENEM22，333所以ENM，即二面角EFAC余弦值为．22第19页/共27页满足，则称数列为“平方递推数列．已知数列中，19，点An1n2Anan20.若数列nan,an1在函数f(x)x22x的图象上，其中n为正整数，（1）证明：数列a1是“平方递推数列，且数列a1为等比数列；nna,ab,a*bba1,c2n4db*c的前项和dnn（2）设，定义，且记，求数列nnnnnnb,ab,S．n【答案】（1）证明见解析n*2n4且nN,S（2）nn25nn4且nN.*【解析】【分析】(1)根据“平方递推数列”的定义和等比数列的定义进行证明a,ab,a*bdb*cdS(2)由的新定义和，可得出表达式，再分段求前n项和即可.b,ab,nnnnn【小问1详解】a,a在函数f(x)x22x的图象上，n1a2n2a，n点nn1n11n是“平方递推数列．1,a1n2因为a110，1对aa2两边同时取对数得lga111，2lgan1nn1n是以1为首项，2为公比的等比数列．a1∴数列n【小问2详解】由（1）知ban12n12n1，n第20页/共27页由数列的通项公式得，bcnnn4时，bcnn4时，bc当；当．nnna,ab,a*b2n1,n，nNd**,db*c又由，得b,ab,nnnn2nn，nN12nn4且nN*Sbn2n1；当当时，时，n112*Sb123456nn4且nNn(n2n4)241n5n21，22n*2n4且nN,S综上，nn25nn4且nN.*x22y221ab0的右焦点，右顶点分别为F，A，Bb，1，点21.已知双曲线C:abM在线段AB上，且满足3，直线OM的斜率为1，O为坐标原点.（1）求双曲线C的方程.（2）过点F的直线l与双曲线C的右支相交于P，Qx两点，在轴上是否存在与不同的定点，使得FEEPFQEQFP恒成立？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.y2【答案】（1）x21312E,0（2）存在，【解析】1，3，直线OM的斜率为1，求得a,b,ca,b之间的关系式，解得1）由的值，进而求出双曲线的方程；（2）设直线的方程，与双曲线的方程联立，可得两根之和及两根之积，由等式成立，可得EF为EP,EQ的斜率之和为0，整理可得参数的值，即求出E的坐标．的角平分线，可得直线【小问1详解】c2a2b2c0，所以Fc,0，，，Aa,0Bb设第21页/共27页313Ma,b，因为点M在线段AB上，且满足因为直线OM的斜率为1，所以，所以点31311313bab1，所以3，a31因为1，所以ca1，解得a1，b3，c2.y2所以双曲线Cx21.的方程为3【小问2详解】x假设在轴上存在与不同的定点，使得FEEPFQEQFP恒成立，EPFQEQFP当直线l的斜率不存在时，E在x轴上任意位置，都有；当直线l的斜率存在且不为0时，设，直线l的方程为x2，Et,033直线l与双曲线C的右支相交于P，Q两点，则kk0且，33设，，Qx,y2Px,y1122yx21，得k1y1290k，322210，36k360，2由x212k9yyyy所以因为，，1221221k1kEPFQEQFPkk0，，，即，所以EF平分第22页/共27页1y21y20，即02y2tyy0有，得，1t2t12tky22t1212912k12所以0k0，解得t，由.2k2tk21k1212EPFQEQFPE,0综上所述，存在与F不同的定点E，使得恒成立，且.【点睛】方法点睛：解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，要强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、