图形的相似复习

图形的相似知识梳理一、比例线段1．比例线段的定义在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即__________________，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称__________．2．比例线段的根本性质eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)⇔ad＝bc.3．黄金分割把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，且使AC是AB和BC的__________，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点.二、相似多边形1．定义对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做________，相似比为1的两个多边形全等．2．性质(1)相似多边形的对应角________，对应边成________；(2)相似多边形周长的比等于________；(3)相似多边形面积的比等于__________．三、相似三角形1．定义各角对应________，各边对应成________的两个三角形叫做相似三角形．2．判定(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与________相似；(2)两角对应________，两三角形相似；(3)两边对应成________且夹角________，两三角形相似；(4)三边对应成________，两三角形相似；(5)斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．3．性质(1)相似三角形的对应角________，对应边成________；(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于________；(3)相似三角形周长的比等于________；(4)相似三角形面积的比等于____________．四、位似变换与位似图形1．定义取定一点O，把图形上任意一点P对应到射线OP(或它的反向延长线)上一点P′，使得线段OP′与OP的______等于常数k(k＞0)，点O对应到它自身，这种变换叫做位似变换，点O叫做________，常数k叫做________，一个图形经过位似变换得到的图形叫做与原图形位似的图形．2．性质两个位似的图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上，并且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于________．3．画位似图形的步骤(1)确定位似________；(2)连接图形各顶点与位似中心的线段(或延长线)；(3)按位似比进行取点；(4)顺次连接各点，所得的图形就是所求图形．命题点1比例线段1.假设eq\f(a,b)＝eq\f(1,2)，那么eq\f(a＋b,b)＝__________．2.如图，直线a∥b∥c，点B是线段AC的中点，假设DE＝2，那么EF＝________．第2题图第3题图第4题图命题点2eq\a\vs4\al(相似三角形的证明及相关计算)3.如图，以下条件不能判定△ADB∽△ABC的是()A.∠ABD＝∠ACBB.∠ADB＝∠ABC.AB2＝AD·ACD.eq\f(AD,AB)＝eq\f(AB,BC)4.如图，在△ABC中，DE∥BC，DB＝2AD，△ADE的面积为1，那么四边形DBCE的面积为()A.3B.5C.6D.85.如图，AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4)D.eq\f(4,5)第5题图第6题图6.如图，∠A＝∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是________________________．(只需写一个条件，不添加辅助线和字母)7.假设△ABC与△DEF相似且面积之比为25∶16，那么△ABC与△DEF的周长之比为________．8.如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD.∠ABD＝∠C，AB＝6，AD＝4.求线段CD的长．9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．(1)求证：△BDE∽△BAC；(2)AC＝6，BC＝8，求线段AD的长度．命题点3相似三角形的实际应用10.如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点O，此时O点与竹竿的距离OD＝6m，竹竿与旗杆的距离DB＝12m，那么旗杆AB的高为________m.第10题图图1),图2)11．，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4.点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图1)或线段AB的延长线(如图2)于点P.(1)当点P在线段AB上时，求证：△APQ∽△ACB.(2)当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．12．如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，以下结论：①=；②=；③=；④=其中正确的个数有个13．如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP＝BM，连接NP，BP.(1)求证：四边形BMNP是平行四边形．(2)线段MN与CD交于点Q，连接AQ，假设△MCQ∽△AMQ，那么BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．相似三角形的根本类型知识点1.“A〞型、“X〞型、“反A〞型、“反X〞型：例1.如图，在中，，点从点出发，以每秒的速度向运动，点从点出发，以每秒的速度向运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也停止运动，设运动时间为.〔1〕用含的代数式表示的长度；〔2〕当为何值时，以为顶点的三角形与相似.知识点2.“M〞型：例2.如图，点在一条直线上，，求证：.知识点3.“母子〞型、“射影〞型：例3.如图，在中，，假设，求的长.根底训练：一、解答题：1.如图，点为□边延长线上的一点，连结，交于，假设，，，求的长和□的周长.2.如图，在正方形中，点在上，于，求证：.3.如图，在矩形中，，点分别从点三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点的速度均为，点的速度为，当追上时，三个点随之停止移动，设移动时，的面积为.〔1〕当时，求的值；〔2〕求与之间的函数解析式，并指出自变量的取值范围；〔3〕假设点在矩形的边上移动，当为何值时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似，并说明理由.二．相似三角形的应用知识点1.相似三角形的性质：例1.如图，在正方形中，是上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点.〔1〕；〔2〕假设，求的长.知识点2.相似三角形的应用：例2.一块材料的形状是锐角，边，高，把它加工成矩形零件，使得长方形的一边在上，其余两个顶点分别在上.〔1〕求证：；〔2〕设，矩形的面积为，求关于的函数关系式.知识点3.函数中的相似三角形：例3.如图，□的一边，假设的长是的一元二次方程的两个根，.〔1〕求直线的解析式；〔2〕假设为轴上的点，且，求经过的直线的解析式，并判断与是否相似，并说明理由；〔3〕假设点在平面直角坐标系内，那么在直线上是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形，假设存在，求点的坐标；假设不存在，请说明理由.根底训练：一、解答题：1.将一盒足量的牛奶按如图1所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点时，停止倒入，图2是它的平面示意图，，请根据图中信息，求出容器中牛奶的高度.2.如图，小华在晚上由路灯走向路灯，当他走到点时，发现身后他的影子的顶端刚好接触路灯的底部，当他向前再走到达时，发现身后他的影子的顶部刚好接触到路灯的底部，小明的身高，两路灯的高，且.〔1〕求两路灯之间的距离；〔2〕当他走到路灯时，求他在路灯下的影长.3.如图，平分，，为的中点.〔1〕求证：；〔2〕求证：；〔3〕假设，求.三．重点题型总结题型一有关比例线段的计算a、b、c为的三边，且求的三边长。2.，那么一次函数与坐标轴围成的图形的面积是多少？题型二证明比例式或等积式如果比例式或等积式中的四条线段分布在两个三角形内，想方法证明两个三角形相似。3、如下图，AD、CE是的高，AD和CE相交于点F，请证明：AADECBF做平行线，构建相似三角形或寻找比例线段。ADECBP4、，如图，在中，，在边AB上取点D，在边AC上取点E，使，连接DE并延长，和BC的延长线交于点P，求证：ADECBP等线段代换或等比线段代换。5、如下图，在梯形中，，G是BC边上的任意一点，且，请证明：。AADFCBGPE题型三实际应用问题6、如下图是圆桌上方的灯泡〔可看做一个点〕发出的光线照射桌面后在地面上形成的阴影〔圆形〕的示意图，桌面的直径为1.2m，桌面距离地面1m，假设灯泡距离地面3m，那么地面上阴影局部的面积是多少？ADECB7、如下图，有一块三角形形状的铁板，其中ADECB8、(湖北恩施中考)宽与长之比为的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感。如下图，如果在一个黄金矩形里画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论。AADECBF9、如图，△ABC与△A1B1C1是位似图形，找出位似中心.CCABC1B1A1题型四相似三角形判定与性质的综合题10、如下图，在等腰梯形中，，，P为下底BC上一点〔不与点B、C重合〕，连接AP，过点P做PE交CD或其延长线于点E，使得.〔1〕求等腰梯形的腰AB的长。〔2〕试说明∽。ADCBADCBPE11、和是两个等腰直角三角形，，的顶点E位于边BC的中点上。〔1〕如下图，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：∽。ADECBFMNADE