2022年人教版新九年级暑期数学培优-第二十二讲 二次函数单元总结与达标（教师版）

第二十二讲二次函数单元总结与达标

【知识梳理】

1.二次函数的概念

一般地，形如y=ax?+bx+c(a,b,c是常数，a#0的函数，叫做二次函数.

注意：(1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b=0,c=0时，y=ax?是特殊的二次

函数.

2.二次函数的图象与性质

二次函数y=a(x-h)2+ky=ax2-\-bx-\-c

开

口a>0开口向上

方

向

a<0开口向下

b

对称轴x=—

x=h2(2

b4ac-b-

顶点坐标C_?)

(万，左)2a4a

4ac一夕

最

a>0T最小=上J'最小

值_4ac-b~

a<Qy最大=kJ最大一4〃

增

a>0

减在对称轴左边人/y、;在对称轴右边,x/y/

性

“VO在对称轴左边x/y/;在对称轴右边,x/

3.二次函数图像的平移

v=ax2—>.”车由看羽打jy=-ax1

,I।」

l左、，右平移左加右减

y=a(x+hy

［上、下平移上加下减

y=a(x±hf+k

1写成一般形式

y—ax1+区+。

4.二次函数表达式的求法

(1)一般式法：y=ax"+bx+c(aW0)

(2)顶点法：y=a(x—h)2+k(a^0)

(3)交点法：y=a(x—xi)(x—xz)(aWO)

5.二次函数与一元二次方程的关系

二次函数丫=@/+6乂+。的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点,有两个重合的交点,没有交点.当二次函

数y=axL'+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+

bx+c=O的根.

二次函数V=办2一兀一次方程一兀一次A程

十5x+c的图像和ax2+bx+c=O的aF+bx+c=0根的

X轴交点根判别式(*-4ac)

有两个相异的

b2-4ac>0

后两个交点实数根

有两个相等的

有两个重合b2-4ac=0

的交点实数根

没有交点没有实数根b2-4ac<0

6.二次函数的应用

二次函数的应用包括以下两个方面

(1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题(即最值问题);

(2)利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解.

(3)一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系；(2)列出函数关系式，并确定自变

量的取值范围；(3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义.

【考点总结与例题讲析】

考点一：求抛物线的顶点、对称轴、最值

【例题11抛物线y=x,—2x+3的顶点坐标为.

解决此类题目可以先把二次函数y=ax?+bx+c配方为顶点式y=a(x—h)?+k的形式，得到：对称轴是直

线x=h,最值为y=k,顶点坐标为(h,k)；也可以直接利用公式求解.

【答案】见解析。

【解析】方法一：配方，得y=x--2X+3=(X—1)2+2,则顶点坐标为(1,2).

方法二代入公式

<4c—廿4X1X3-22

4x1

则顶点坐标为(1,2).

考点二：二次函数的图像与性质及函数值的大小比较

方法总结：

1.可根据对称轴的位置确定b的符号：b=0=对称轴是y轴；a、b同号=对称轴在y轴左侧；a、b异号=

对称轴在y轴右侧.这个规律可简记为“左同右异”.

2.当x=l时，函数y=a+b+c.当图像上横坐标

x=l的点在x轴上方时，a+b+c>0：当图像上横坐标x=l的点在x轴上时，a+b+c=O；当图像上横坐

标x=l的点在x轴下方时，a+b+cVO.同理，可由图像上横坐标x=-1的点判断a—b+c的符号.

2

【例题2］二次函数y=-x+bx+c的图像如图所示，若点A(xi,yi),B(x2,y?)在此函数图像上，且xi<x2<l,

则外与yz的大小关系是()

A.yiWyzB.yi<y2C.yi^yaD.yi>y2

【答案】见解析。

【解析】由图像看出，抛物线开口向下，对称轴是x=l,当xVl时，y随x的增大而增大.

Vx1<x2<l,yi<ya.故选B.

考点三：二次函数y=ax2+bx+c(aW0)的图像与系数a,b,c的关系

【例题3】已知二次函数y=ax'+bx+c的图像如图所示，下列结论：①abc>0；②2a-b<0；③4a-2b+

c<0；@(a+c)2<b2.其中正确的个数是()

【解析】由图像开口向下可得a<0,由对称轴在y轴左侧可得b<0,由图像与y轴交于正半轴可得c

>0,则abc>0,故①正确;

由对称轴x>—1可得2a—b<0,故②正确；

由图像上横坐标为x=-2的点在第三象限可得4a—2b+cV0,故③正确；

由图像上横坐标为x=l的点在第四象限得出a+b+c<0,由图像上横坐标为x=-l的点在第二象限得出

a—b+c>0,则(a+b+c)(a—b+c)<0,

即(a+c)2—b'<0,可得(a+c)2Vb

故④正确.故选D.

考点四：二次函数表达式的确定

【例题4］已知关于x的二次函数，当x=-l时，函数值为10,当x=l时，函数值为4,当x=2时，函数值为7,

求这个二次函数的解析式.

【答案】见解析。

【解析】设所求的二次函数为y=ax、bx+c,由题意得：

a—b+c=10

va+办+c=4

4a+2b+c=7

解得，a=2,b=-3,c=5

/.所求的二次函数为y=2x?—3x+5.

考点五：二次函数与一元二次方程

［例题5］若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3,则关于x的方程x2+mx=7的解为()

A.xi=0,X2~6B.Xi=l,X2=7

C.Xi=l,X2=-7D.xi=-1,X2=7

【答案】D

【解析】•.•二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3,

~m/2=3,解得m=-6,

.,.关于x的方程x2+mx=7可化为X2-6X-7=0,

BP(x+1)(x—7)=0,解得Xi=-1,X2=7.故选D.

考点六：二次函数的应用

【例题6】某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得

高于45%,经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y=kx+b,且x=65时，y=55；x=

75时，y=45.

(1)求一次函数的表达式；

(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可

获得最大利润，最大利润是多少元？

【答案】见解析。

【解析】(1)根据题意，得

J65k+b=55

[75k+。=45

解得k=-l,b=120.故所求一次函数的表达式为y=-x+120

(2)W=(x-60)•(-x+120)=-X2+180X-7200=-(X-90)2+900,

•.•抛物线的开口向下，，当x<90时，W随x的增大而增大，

而60WxW60X(1+45%),即60WxW87,

,当x=87时,W有最大值,此时W=-(87-90)2+900=891.

二次函数单元总结与达标过关检测

注意：满分120分，答题时间90分钟

一、单选题(每个小题4分，共24分)

1.函数y=ax°+bx+c(a,b,c为常数)是二次函数的条件是()

A.或cwOB.C.力#0且cwOD.a+b+c^O

【答案】B

【解析】结合二次函数的定义判断，即可得到答案.

由二次函数定义可知，自变量x和应变量y满足y=ax2+0x+c(a,b,c为常数，且。工0)的函数叫做二

次函数。

2.下列关于二次函数y=21的说法正确的是()

A.它的图象经过点(—1,—2)B.当尤<00寸，y随X的增大而减小

C.当x=0时，y有最大值为0D.它的图象的对称轴是直线x=2

【答案】B

【解析】根据二次函数作出示意图，然后根据示意图逐一判断即可.

由题意得：

当x=・l时，y=2,故A选项错误；

当X<()时，V随工的增大而减小，故B选项正确；

当x=o时，y有小值为o,故c选项错误；

图象的对称轴是直线X=0,故D选项错误.

3.若二次函数尸ax2+l的图象经过点(-2,0),则关于x的方程a(x-2)2+1=0的实数根为()

A.X]=0,X2=4B.x।=—2,x2=6

35八

x=f=

C.i22Xj=-4,x2=0

【答案】A

【解析】二次函数y=ax2+l的图象经过点(-2,0),得到4a+l=0,求得a二代入方程a(x-2)2+1=0

4

即可得到结论.

・・•二次函数y=ax2+l的图象经过点(-2,0),

4a+l=0,

1

/.a=--,

4

方程a(x-2)2+1=0为：方程--(x-2)1=0,

4

解得：xi=0,X2=4

4.在正比例函数y=履中，y随X的增大而减小，则二次函数y=&(x-1)2的图象大致是()

【答案】B

【解析】•.•在正比例函数》，=依中，y随工的增大而减小

/•k<0

.•.二次函数y=k(x—1『，开口向下，对称轴为x=l

5.设二次函数y=-(x—3)2—4,点M在该函数对称轴上，则点M的坐标可能是()

A.(1,0)B.(一3,0)C.(3,0)D.(0,-4)

【答案】C

【解析】由抛物线解析式可求得其对称轴，则可求得M点的横坐标，可求得答案.

:y=-(x-3)--4，

.•.抛物线对称轴为x=3，

•.•点M在抛物线对称轴上，

；•点M的横坐标为3

6.把二次函数y=—4x—3化成y=a(x—〃了+左的形式是下列中的()

A.y=(x-2)2-1B.y=-(x-2)2-1

C.y——(x+2)'+1D.y=—(x+2)'-1

【答案】C

【解析】先提取二次项系数，然后再进行配方即可.

y=-x2-4x-3=-(x2+4x+4)-3+4=-(x+2)2+1.

二、填空题(每空4分，共24分)

7.二次函数)，=(左+1)N-2X+1的图象与x轴有两个交点，则A的取值范围是.

【答案】&V0且AW-I.

【解析】令y=0,可得(Z+1)x2-2r+l=0,

,二次函数y=(k+1)x2-2x+l的图象与x轴有两个交点，

二方程(氏+1)炉-2%+1=0有两个不相等的实数根，

.,.△>0,即4-4(%+1)>0,

解得k<0,且k于-1,

的取值范围为％<0且k#-1.

8.如图，。。的半径为2,Ci是函数y=gx2的图象，C2是函数y=x2的图象，则阴影部分的面积

是________

y

【答案】2n

【解析】根据二次函数的性质可知&与C的图象关于x轴对称，从而得到x轴下方阴影部分的面积正好等

于x轴上方空白部分的面积，所以，阴影部分的面积等于。。的面积的一半，然后列式计算即可得解.

•..L与一1互为相反数，

22

•••G与理的图象关于x轴对称，

.♦.X轴下方阴影部分的面积正好等于x轴上方空白部分的面积，

,阴影部分的面积=lXL2三2m

2

9.已知二次函数y=2/+2020,当x分别取小工2(石时，函数值相等，则当x取2%+2%时，函

数值为.

【答案】2020

【解析】•.•二次函数y=2x2+2020,当x分别取xi,x2(X|#x2)时，函数值相等,

...2xi2+2020=2x22+2020,

/.Xl=-X2>

.•.2xi+2x2=2(X1+X2)=0»

・•・当X=2XI+2X2时，y=2x0+2020=0+2020=2020

10.己知点P(x,y)在二次函数y=2(x+1)2-3的图象上，当-2<xgl时，y的取值范围是.

【答案】-3<y<5

【解析】•.,二次函数y=2(x+1)2-3,

.••该函数对称轴是直线x=-1,当x=-l时，取得最小值，此时y=-3,

,；点P(x,y)在二次函数y=2(x+1)2-3的图象上，

当x=-2时，y=2x(-2+1)~—3=—1

当x=l时，y=2x(l+l)2-3=5

V-2<-l<l

...当-2VxWl时，y的取值范围是：-3三蜉5

11.将二次函数y=x2-6x+8化成y=a（x+m）2+k的形式是.

【答案】y=（x-3）2-1

（解析】直接利用配方法将原式变形进而得出答案.

-6x+8

=/-6x+9-1

=（x-3）2-1.

12.已知二次函数的图象经过原点及点（-3,-2）,且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1,则该二

次函数的解析式为―.

［答案］y=一=/_?1或卜=

3366

【解析】根据函数图像过原点、（-3,-2）,（-1,0）,代入求解即可；

•••二次函数图象与x轴的另一交点到原点的距离为1,

.•.这个点的坐标为（-1,0）或（1,0）,

设该二次函数的解析式为>>="2+陵+0,

当该函数过原点、（-3,-2）,（-1,0）时，

'c=0

<9a-3h+c--2,

a-b+c=0

1

a=——

6

解得，|匕=），

6

c=0

即该二次函数的解析式为y=-gx2_lv.

当该函数过原点、（-3,-2）,（1,0）时，

c=0

<9〃一3b+c=-2,

〃+h+c=0

£

6

解得，，b=-

o

c=0

即该二次函数的解析式为y=—/+上

66

由上可得，该二次函数的解析式为y=--.r2-Li或j=——A-2+—A%

3366

三、解答题（共72分）

13.（8分）已知y二（机之一〃。/〃2―2时|+（加一3）1+加2是乂的二次函数，求出它的解析式.

【答案］y=6x2+9或y=2x2-4x+l.

【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可.

【详解】解：根据二次函数的定义可得：m2-2m-1=2,且m?-mrO,

解得，m=3或m=-l；

当m=3时，y=6x2+9；

当m=-1时，y=2x2-4x+l；

综上所述，该二次函数的解析式为：y=6x?+9或y=2x2-4x+l.

【点评】本题考查二次函数的定义.一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，aWO）的函数，叫做二次

函数.其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.y=ax2+bx+c（a、

b、c是常数，a，0）也叫做二次函数的一般形式.

14.（12分）已知函数y=G"+3）x"'2+3，"-2是关于*的二次函数.

（1）求m的值.

（2）当m为何值时，该函数图像的开口向下？

（3）当m为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？

【答案】（l）mi=-4,m2=l；（2）当m=-4时，该函数图象的开口向下；（3）当m=l时，函数为y=4/,

该函数有最小值，最小值为0.

【解析】（1）•..函数y=（加+3）/+3吁2是关于x的二次函数，

m2+3m-2=2,m+3#0,

解得：mi=-4,m2=l；

（2）,・,函数图象的开口向下，

/.m+3<0,

/.m<-3,

.•.当m=-4时，该函数图象的开口向下；

（3）・・・m=-4或1,

・・,当m+3>0时，抛物线有最低点，函数有最小值，

/.m>-3,

•：m=-4或1,

.•.当m=l时，函数为y=4尤2,该函数有最小值，最小值为0.

【点睛】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题；牢固掌握定义及其性质是解题的关键.

15.（12分）请在同一坐标系中画出二次函数①丁=,/；②y=,（x—2）2的图象.说出两条抛物线的位

置关系，指出②的开口方向、对称轴和顶点.

【答案】画图见解析；①向左平移两个单位得到②；②的开口方向向上，对称轴是x=2,顶点坐标为（2,0）.

【分析】根据描点法，可得函数图象，根据。>0,图象开口向上，对称轴是％=-上b~,顶点坐标是（一b一,

2a2a

--b2-），可得答案.

4a

【详解】解：列表:

X-2-101234

12

20.500.52

2

y=^(x-2)2

20.500.52

描点：

连线，如图.

由图像可知，①向左平移两个单位得到②，

，②的开口方向向上，对称轴是x=2,顶点坐标为（2,0）.

b

【点评】本题考察了二次函数图象，利用描点法画函数图象，根据图象开口向上，对称轴是x=-一，

2a

顶点坐标是（-二，处二C）是解题关键.

16.（12分）已知点（0,3）在二次函数旷=依2+加+。的图象上，且当x=l时，函数y有最小值2.

（1）求这个二次函数的表达式.

（2）如果两个不同的点,6）,6）也在这个函数的图象上，求m+八的值.

【答案】（1）y=x2-2x+3；（2）m+n=2

【分析】（1）把点（0,3）代入y=o?+版+c可得c的值，再将点（1,2）代入，与对称轴等于1联立，即

可求解；

（2）易知点C（m,6）,。（〃,6）纵坐标相同，即其关于对称轴对称，即可求解.

【详解】解：（1）把点（0,3）代入y=o?+bx+c,可得c=3，

•..当x=l时，函数》有最小值2,

a+b+3=2

a=l

b।,解得＜

----=1b=—2

、2a

二次函数解析式为y=x2-2x+3；

（2）•.•点C（〃?,6）,。（〃,6）纵坐标相同,

二点。（以6）,。（〃,6）关于二次函数图象的对称轴x=1对称,

m+n八

---=1,即加+〃=2・

2

【点睛】本题考查二次函数的性质、求二次函数解析式，掌握二次函数的对称性是解题的关键.

17.（12分）如图1,单孔拱桥的形状近似抛物线形，如图2建立所示的平面直角坐标系，在正常水位时,

水面宽度AB为12m,拱桥的最高点C到水面AB的距离为6m.

（1）求抛物线的解析式；

（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为10加，求水面上涨的高度.

111

【答案】（1）y——x9+6；（2）—m

66

【分析】（1）根据题意，C点是抛物线的顶点且位于y轴上，A、B点是抛物线与c轴交点，所以抛物线的

对称轴为y轴，得A（-6,0）、B（6,0）、C（0,