2022年广东省高考数学二模试卷及答案解析

2022年广东省高考数学二模测试卷

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号

条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标

号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在

试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.若集合A={x|x>l},B^{x\-l<x<2},则AUB=()

A.{x|l<x<2}B.{x|-l<x<2}C.{x\x>-15D.{x\x>-1}

2.已知i为虚数单位，复数z满足z(l-i)=4-3i,则2=()

7+i7-i1+i1-i

A.-----B.-----C.-----D.

2222

3.记S〃为等差数列{〃〃}的前〃项和，已知S5=0,优=6,则()

A.an=12-nB.〃io=16C.Sn=2r^-1(D.Sio=5O

4.已知sina=孚，ae(^,zr),则cos(a—看)=()

1V3

A.-1B.0C.-D.

22

5.某市场一摊位的买菜员发现顾客来此摊位买菜后选择只用现金支付的概率为0.2,选择既

用现金支付又用非现金支付的概率为0.1,且买菜后无赊账行为，则选择只用非现金支付

的概率为()

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

6.金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角

形组成的正八面体.若某金刚石的棱长为2,则它的体积为()

第1页共24页

4V2816

A.——B.-D.

33C・卡3

31

7.已知a—24,b=3玄,c=43,则a,b,c的大小关系为（)

A.a〈b〈cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a

8.已知函数/G）=ev+/+（〃-3）x+l在区间（0,1）上有最小值，则实数〃的取值范围

是（）

A.(-e,2)B.(-e,1-e)C.(1,2)D.(-1-e)

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得分。

（多选）9.某中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取150名同学参加数学史知

识测试，测试题共5道，每答对一题得20分，答错得0分得分不少于60分记为及格，

不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则（）

A.该次数学史知识测试及格率超过90%

B.该次数学史知识测试得满分的同学有15名

C.该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数

D.若该校共有1500名学生，则数学史知识测试成绩能得优秀的同学大约有720名

（多选）10.对于函数f（x）—sirucosx.x€R,则（）

A.f（x）的最大值为1B.直线％=-竽为其对称轴

C.f（x）在［0,总上单调递增D.点或，0）为其对称中心

第2页共24页

(多选)11.如图，平行四边形A8C。中，AB=2,AD=4,/.BAD=E为C。的中点,

AE与。8交于F,则()

A.而在6方向上的投影为0

T1T2T

B.AF=^AB+^AD

C.AF-AB=2

D.\AF\=25/7

(多选)12.在棱长为1的正方体ABCD-AiBiCiDi中,M为底面ABC。的中心,D：Q=

Ae(0,1),N为线段AQ的中点，则()

A'---------B

A.CN与QM共面

B.三棱锥4-OMN的体积跟入的取值无关

1472+2/13

C.±时，过A,Q,M三点的平面截正方体所得截面的周长为，。一

D.入=3寸，AMLQM

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知偶函数f(JC)在区间［0,+8)上单调递减，若/(-1)=0,则满足/(?«)>0的

实数m的取值范围是.

14.(x+y)(x-y)8的展开式中，//的系数为.(用数字填写答案)

15.“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史、

思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值.某校计划开

展“四书”经典诵读比赛活动，某班有A、8两位同学参赛，比赛时每位同学从这4本书

第3页共24页

中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则A、8两位同学抽到同一本书的概率为.

16.设数列｛“”｝满足m=l,。3=3且斯+2-2如+1+如=2,则“4-43=，数列｛的｝的

通项an=.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)已知正项等比数列｛所｝的前〃项和为S”52=4,a2a4=81.

(1)求数列｛劭｝的通项公式：

(2)数列｛氏｝满足4=1,当时，bn=Me.；…—，求数列｛加｝的前n项和

Log3anLog3an+1

Tn.

第4页共24页

18.(12分)在aABC中，角A,B,C所对的边分别a,h,c.已知26cosB=ccosA+acosC.

(1)求B；

(2)若a=2,b=石，设。为C8延长线上一点，5.ADLAC,求线段8。的长.

第5页共24页

19.（12分）某土特产超市为预估2022年元旦期间游客购买土特产的情况，对2021年元旦

期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表：

购买金额（元）[0,150）[150,300）[300,450）[450,600）[600,750）[750,900]

人数101520152010

（1）根据以上数据完成2X2列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于

600元与性别有关.

不少于600元少于600元合计

男40

女18

合计

（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案：购买金额不少于600元可抽奖3次，每次

中奖概率为P（每次抽奖互不影响，且P的值等于人数分布表中购买金额不少于600元

的频率），中奖1次减50元，中奖2次减100元，中奖3次减150元.若游客甲计划购

买800元的土特产，请列出实际付款数X（元）的分布列并求其数学期望.

附：参考公式和数据：n=a+b+c+d.

附表:

to2.0722.7063.8416.6357.879

0.1500.1000.0500.0100.005

第6页共24页

20.（12分）如图，直三棱柱（即侧棱与底面质直的棱柱）4BC-AiBiCi内接于一个等边圆

柱（轴截面为正方形），是圆柱底面圆。的直径，点。在481上，且4。=3。朋.若

AC=BC.

（1）求证：平面COQ_L平面A8B14；

（2）求证：平面COO与平面CBBiCi所成锐二面角的余弦值.

第7页共24页

21.(12分)已知椭圆氏京+箕=1(Qb>0)的离心率为日，又点(坐，舞在椭圆E

上.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)若动直线/与椭圆E有且只有一个公共点，过点M(l,0)作直线/的垂线，垂足

为。，试探究：|0。|是否为定值，如果是，请求出该值；如果不是，请说明理由.

第8页共24页

22.(12分)已知函数/(x)—Inx,xG(0,+°°)；g(x)=/-x+l,AGR.

(1)求函数/?(x)—f(x)-g(x)在区间(0,+8)上的极值；

(2)证明：有且只有两条直线与函数/(x),g(%)的图象都相切.

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第10页共24页

2022年广东省高考数学二模测试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.若集合A={x|x>l},-l<x<2},则AU8=()

A.{x|l<x<2}B.{x\-\<x<2}C.{小>-1且xW2}D.{x\x>-1}

解：；A={x|x>l},8={x[-l<x<2},

；.AUB={x|x>l}U{x|-l〈xV2}={x|x>-1}.

故选：D.

2.已知i为虚数单位，复数z满足z(1-z)=4-3i,则z=()

7+i7-i1+i1-i

A.-----B.-----C.-----D.-----

2222

解：Vz(1-i)=4-3i,

・_4-3i_(4-3i)(l+0_71._7+i

-z==(l-i)(l+i)=2+21=-,

故选：A.

3.记为等差数列{板}的前〃项和，已知S5=0,46=6,贝ij()

A.an=l2-nB.mo=16C.Sn=2n2-iOnD.Sio=5O

解：设等差数列{〃〃}的首项为公差为d,

由S5=o,46=6,得卜a】+岁d=0,解得件=-4

(%+5d=6以=2

•\an=-4+2(n-1)=2n-6,aio=14,故A3错误；

22

Sn=-4n+.啜)x2=n-5n,S10=10-5x10=50.

故C错误，。正确.

故选：D.

4.已知sina=空，aeg,兀)，则cos(a-$=()

1V3

A.-1B.0C.-D.——

22

解：因为sina=亨，aG,TT),

所以。=学,

第11页共24页

故cos(a—1)=cos*=0，

故选：B.

5.某市场一摊位的买菜员发现顾客来此摊位买菜后选择只用现金支付的概率为0.2,选择既

用现金支付又用非现金支付的概率为0.1,且买菜后无赊账行为，则选择只用非现金支付

的概率为()

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

解：设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，事件C为既用现金支付又用

非现金支付，事件。为买菜后支付，

则P(D)=P(A)+P(B)+P(C)=1,

因为P(A)=0.2,P(C)=0.1,

所以P(B)=0.7.

故选：C.

6.金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角

形组成的正八面体.若某金刚石的棱长为2,则它的体积为()

解：如图，设底面中心为。，连接CO,EO,由几何关系知,

CO=V2,EO=y/EC2-OC2=^22-(V2)2=V2,

则正八面体的体积为V=2x|X22X&=竽.

故选：C.

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7.已知q=24,b—32,c=43,则a,b,c的大小关系为（)

A.a<h<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<h<a

31111

解：由于Q=24=84,%=32=94由于函数/（x）="在（0,+8）上单调递增，故

b>a；

1,,

由于c=43,所以《6=16,力6=27,所以b>c,

1248

同理32=29,C=4=2,故〃>C,

所以b>a>c,即c<a<b.

故选：B.

8.已知函数/(x)="+/+(a-3)x+l在区间(0,1)上有最小值，则实数a的取值范围

是()

A.(-e,2)B.(-e,1-e)C.(1,2)D.(-<«,I-e)

解：因为/(x)=d+3/+(a-3)在区间(0,1)上单调递增，

ff(0)<0]a-2Vo

由题意只需lf(l)>0(e+a>0解得■e<a<2,

这时存在刈€（0,1）,使得f（x）在（0,xo）上单调递减，在（xo,1）上单调递增，

即函数/（x）在（0,1）上有极小值也即最小值，

所以a的取值范围是（-e,2）.

故选：A.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得分。

（多选）9.某中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取150名同学参加数学史知

第13页共24页

识测试，测试题共5道，每答对一题得20分，答错得0分得分不少于60分记为及格,

不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则()

A.该次数学史知识测试及格率超过90%

B.该次数学史知识测试得满分的同学有15名

C.该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数

D.若该校共有1500名学生，则数学史知识测试成绩能得优秀的同学大约有720名

解：对于A,由图可知，及格率为1-8%=92%>90%,故A正确，

对于B,该测试满分同学的百分比为1-8%-32%-48%=12%,

则有12%X150=18名，故B错误，

对于C,由图可知，中位数为80分，平均数为40X8%+60X32%+80X48%+100X12%

=72.8分，故C正确，

对于D,由题意可得，1500名学生成绩能得到优秀的同学有1500X(48%+12%)=900,

故。错误.

故选：AC.

(多选)10.对于函数=siarcosx,xGR,贝I]()

A./(x)的最大值为1B,直线x=-竽为其对称轴

C./(x)在[0,身上单调递增D.点0)为其对称中心

解：""f(x)=sinxcosx=^sin2x,

.".(x)的最大值为3故A错误；

2

•••/(一亲=齐讥(一翔=麦•••直线X=一筹为其对称轴，故B正确；

当对0,另时，2xG[0,n],则/(x)在[0,刍上先增后减，故C错误;

'"f(-)=%讥(2x今)=%讥兀=0,点G，0)为其对称中心，故。正确.

第14页共24页

故选：BD.

(多选)11.如图，平行四边形ABC。中，AB=2,AD=4,/.BAD=J,E为C£＞的中点,

AE与交于F,贝!|()

A.晶在耘方向上的投影为0

T1T2T

B.4尸=抻+“0

—>—>

C.AF-AB=2

D.\AF\=2V7

解：平行四边形ABC。中，AB=2,AD=4,^LBAD=J,

所以DB=JAB2+AD2-2AB-ADcos^=-4+16-8=2亚

所以ABLBD,E为8的中点，AE与OB交于尸，所以余在A8方向上的投影为0,所

以A正确；

AF=1AE,AE=^AB+AD,：.AF=^AB+^AD.所以B正确：

AF-AB=4AF+|/1D)-/W=^AB2-AB=1x22+1x4x2xi=4,所以C

不正确；

因为8F=|DB=竽，所以4尸=1452+B尸2=/+竽=苧,所以。不正确.

故选:AB.

(多选)12.在棱长为1的正方体48cz)-4劭C1G中,M为底面ABCO的中心,D；Q=2D;

AG(0,1),N为线段AQ的中点，贝IJ()

第15页共24页

A.CN与QM共面

B.三棱锥A-DMN的体积跟人的取值无关

14V2+2V13

C.2=细寸，过A,Q,M三点的平面截正方体所得截面的周长为——

D.入=；时，AM1QM

解：显然MN〃CQ,所以CN与。M共面，所以A正确；

11

VA-DMN^V.ADM,N到平面A8C。的距离为定值-，的面积为定值一，所以2正

N24

确；

当4=:时，过A,。，历三点的正方体的截面ACEQ是等腰梯形，周长为L=近泻+2X

J1+5=4"2月,所以c正确；

当而斗，阳2=1+得=需。序=$2+$2+1=21；

所以4A/+QM2>AQ2,所以AMJ_QM不成立，所以。不正确.

故选：ABC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知偶函数/(x)在区间［0,+8)上单调递减，若f(-l)=0,则满足/(〃?)>0的

实数m的取值范围是(7,1).

解：根据偶函数/(x)在区间［0,+°°)上单调递减，若/(-I)=0,则/(I)=0；

故函数的图象如图所示：

当"1=0时，满足条件；

则满足的实数机的取值范围为(-1,1).

故答案为：(7,1).

第16页共24页

14.(x+y)(x-y)8的展开式中，的系数为20.(用数字填写答案)

解：(x-y)8的展开式的通项公式为7Q=(-1)'C^ryr,

含孙7的系数是一弓=一8；

含xY的系数是(-1)2鬣=28；

，(x+y)(x-y)8的展开式中//的系数为-8+28=20.

故答案为：20.

15.“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史、

思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值.某校计划开

展“四书”经典诵读比赛活动，某班有A、8两位同学参赛，比赛时每位同学从这4本书

中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则A、8两位同学抽到同一本书的概率为-.

-4-

解：每位同学从这4本书中随机抽取/本，基本事件总数为42=16个，

其中A、8两位同学抽到同一本书，包含的基本事件有4个，

所以两位同学抽到同一本书的概率为尸=2=/

故答案为：

4

16.设数列｛〃〃｝满足〃1=1,03=3且4〃+2-2G?+I+Z=2,则44-a3=4,数列｛〃〃｝的通

项-〃=几2-33+3.

解：由。1=1,43=3且4〃+2-2-八+1+即=2,

得〃3-2。2+〃1=2,即3-2Q2+1=2,即〃2=1,

当〃=2时，。4-2。3+。2=2,即。4=1+2X3=7,

贝！J5-03=7-3=4；

•Ctn+2~2。〃+1+板=2,

••dn+2-Cln+1-(1一)=2,

可得数列｛板+L是以。2-0=0为首项，以2为公差的等差数列，

第17页共24页

*,•<2/?+1-67,7—0+2(H-1)=2n-2.

an—(an-an0+(M1-M2)+...++。1

=2(H-1)-2+2(〃-2)-2+...+2X1-2+1

=(n-l)(2n-4)+1=n2_3n+3

故答案为：4；“2-3〃+3.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)已知正项等比数列｛%｝的前"项和为S"，52=4,a2a4=81.

(1)求数列｛“"｝的通项公式：

(2)数列｛仇｝满足"=1,当时，除=I”-L“—，求数列｛尻｝的前n项和

Tn.

解：(1)设数列｛板｝,公比为必因为数列｛斯｝正项等比数列，所以q>0,

因为。2。4=a3=81，所以的=Qi6?2=9,

1+q4c

又由S2=m+〃2=m(l+q)=4,所以不-=g,即4/-9夕-9=0,

解得4=3或勺=一,(舍去)，所以m=l,

nrl

所以数列｛。〃｝的通项公式an=QiQT=3T.

(2)由即=？"-'所以an+i=3%

当介2时，可得小=函获诉=』=占-右"=1.

111111

所以〃22时，7；=%+尻+…+%=1+1—义+&一4+…+后一；=2—；，

乙乙。fIJLfI»I

当〃=1时，Ti=ai=l,适合〃=2—小

1

所以7n=2—右

18.(12分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别a,b,c.已知2反osB=ccosA+acosC.

(1)求B；

(2)若a=2,b=屉,设。为C8延长线上一点，且AZ)_LAC,求线段8。的长.

解：(1)V2bcosB—ccosA+acosC,

由正弦定理可得，2sin8cosB=sinCcosA+sin4cosc=sin(C+4)=sin8,

V0<B<n,

sinBWO,

第18页共24页

：.cosB=；,

（2）由（1）知乙48C=亨,

；a=BC=2,b=CA=瓜

BCCA2V6

二由正弦定理可得,---------,即nn----------=----亓，

sinZ-BACsinZ.ABCsinZ.BACsin3-

；.sin乙BAC=芋,

・"B4C=5或4B4C=竽（舍去）,

.「TT7157r

..“=兀一，一4=逅,

VAD±AC,

CA

・•.COSZ.C=器，CD=CB+BD=

...2+BD=cos潟）=6+26，

：.BD=4+2V3.

19.（12分）某土特产超市为预估2022年元旦期间游客购买土特产的情况，对2021年元旦

期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表：

购买金额（元）[0,150）[150,300）[300,450）[450,600）[600,750）[750,900J

人数101520152010

（1）根据以上数据完成2X2列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于

600元与性别有关.

不少于600元少于600元合计

男40

第19页共24页

女18

合计

（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案：购买金额不少于600元可抽奖3次，每次

中奖概率为P（每次抽奖互不影响，且P的值等于人数分布表中购买金额不少于600元

的频率），中奖1次减50元，中奖2次减100元，中奖3次减150元.若游客甲计划购

买800元的土特产，请列出实际付款数X（元）的分布列并求其数学期望.

附：参考公式和数据：K2=（。+或黑涕：）（.），n=a+b+c+d.

附表：

to2.0722.7063.8416.6357.879

P(心口)0.1500.1000.0500.0100.005

解：（1）2X2列联表如下：

不少于600元少于600元合计

男124052

女182038

合计306090

K2=则祟祟次贷)2=解“5.830>3,841,

OUXOUXDZXDO

因此有95%的把握认为购买金额是否少于600元与性别有关.

(2)X的所有取值可能为650,700,750,800,且P=吗e=5,

P(X=650)=R&)3=克，

P(X=700)=Cf(j)2x|=|,

P(X=750)=ClX|X(j)2=小

P(X=800)=以(|)3=3

所以X的分布列为

X650700750800

P124_8_

279927

第20页共24页

48

I2-

E(X)=650x^+700x5+9750.

27

20.(12分)如图，直三棱柱(即侧棱与底面质直的棱柱)ABC-A向。内接于一个等边圆

柱(轴截面为正方形)，AB是圆柱底面圆O的直径，点。在4B1上，且AiO=3O8i.若

AC=BC.

(1)求证：平面COZ)_L平面A8Bi4；

(2)求证：平面COO与平面CBBQ所成锐二面角的余弦值.

(1)证明：在△A8C中，AC=BC,

且AB是圆柱底面圆。的直径，即OA=O8,COLAB,

又由已知A4i_L平面ABC,COu平面ABC,COLAA},

且.ABnA4i=A,CO_L平面

又COu平面COD,所以平面COD_L平面

(2)解：因为三棱柱ABC-Ai81cl是直三棱柱且AB是圆柱底面圆。的直径，

所以C4,CB,CC1两两垂直.以C为坐标原点，CA,CB,CC1所在直线为坐标轴建立

如图所示的空间直角坐标系，

设4C=8C=4,则48=44=4衣，所以C(0,0,0),A(4,0,0),O(2,2,0),

D(1,3,4V2),

显然&=(4,0,0)是平面CBB\C\的一个法向量，

设平面C。。的一个法向量为蔡=(x,y,z),

'：C0=(2,2,0),CD=(1,3,4⑸，

An-CO=2%4-2y=0

(n♦CD=%+3y+4>/2z=0

令z=l,得x=2&,y=-2&,.,.平面C。。的一个法向量为I=(2鱼，-242,1),

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设平面COD与平面CBB6所成锐二面角为0,则cos6=||=巾==袈

平面COD与平面CBB6所成锐二面角的余弦值为等.

1=1（a>b>0）的离心率为乎，又点（华，》在椭圆E

（1）求椭圆E的标准方程;

（2）若动直线/与椭圆E有且只有一个公共点，过点仞（1,0）作直线/的垂线，垂足

为Q,试探究：IOQI是否为定值，如果是，请求出该值；如果不是，请说明理由.

(c42

e=一a=丁2(a=42

解：（1）由己知得<3,1_1解得b=1

#+==1'

乙Q4bc=1

<a2=b2+c2

因此，椭圆E的标准方程为万+）2=1.

（2）①当切线/的斜率存在且不为0时，设/的方程为>=依+，*,

y=kx+m

联立直线/和椭圆E的方程得“2,

弓+产?=1

消去y并整理，得（2必+1）/+4hwx+2〃?2-2=0,

因为直线/和椭圆E有且仅有一个公共点，即方程有两个相等的根，

所以A=16/层-4（2必+1）（2m2-2）=0,化简并整理，得》?=2必+1,

因为直线MQ与/垂直，所以直线的方程为y=—2（x-1）,

K

，_1-km

x2

y=-i(x-l)；解得~iibclM.1-kmk+m

联立•壮位,即点。(——,——)

k+m[1+k21+H

y=fcx+my-w