计算机图形学之Bezier 曲线与曲面

第七章Bezier曲线与曲面基础知识介绍Bezier曲线的定义Bezier曲线的性质Bezier曲面7.1基础知识介绍1插值、逼近、拟合给定一组有序的数据点Pi，i=0,1,…,n，构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值（Interpolatory），所构造的曲线称为插值曲线。逼近(Approximation)：提供的是存在误差的实验数据

–最小二乘法、回归分析提供的是构造曲线的轮廓线用的控制点

–Bezier曲线、B样条曲线等拟合(fitting)：指的是曲线、曲面的设计过程中，用插值或逼近方法使生成的曲线、曲面达到某些设计要求。2

参数曲线的代数形式和几何形式我们以三次参数曲线为例，讨论参数曲线的代数和几何形式。1）代数形式一条三次参数曲线的代数形式是方程组中12个系数唯一地确定了一条3次参数曲线的位置与形状。上述代数式写成矢量式是：其中a0,a1,a2,a3是代数系数矢量，P(t)是三次参数曲线上任一点的位置矢量。2）几何形式描述参数曲线的条件一般有端点位矢、端点切矢等。对三次参数曲线，我们应用两个端点以及对应的切矢量可得到下述四个方程：求解上述四个方程得到：参数曲线的几何形式，P是几何系数

把a0,a1,a2和a3代入代数矢量表达式，并令则有其中

我们选择曲线的二个端点及其切矢量构造参数曲线的几何形式，也可根据已知条件选择四个不同的点，或者四个点的切矢等。

1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier构造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法，并用这种方法完成了一种称为UNISURF的曲线和曲面设计系统。1972年，该系统被投入应用。7.1

Bezier曲线的定义Bezier曲线的形状是通过一组多边折线（特征多边形）的各顶点唯一地定义出来的。在这组顶点中：(1)只有第一个顶点和最后一个顶点在曲线上；

(2)第一条边和最后一条边则表示了曲线在两端点处的切线方向；(3)曲线的形状趋于多边形的形状。例：1、2和3次Bézier曲线1次Bézier曲线2次Bézier曲线332t

P++

3(1

-

t)t2

P2033(1

t)

tPP

(t)

(1

t)

P+

-=

-3次Bézier曲线11．定义给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，n），则Bezier曲线可定义为：其中，Pi构成该Bezier曲线的特征多边形，P0,P1…..Pn称为P(t)的控制顶点。Bi,n(t)是n次Bernstein基函数(basis

function)

：00=1,

0!=1Bézier曲线示例

Bézier曲线P(t)与其控制多边形的关系可以这样认为：控制多边形P0P1…Pn是P(t)的大致形状的勾画；P(t)是对P0P1…Pn的逼近；一次Bézier曲线当n=1时：矩阵表示是：Bézier曲线的矩阵表示一次Bezier曲线的两条基函数二次Bézier曲线当n=2时，Bézier曲线如下所示：矩阵形式是：此式说明二次Bézier曲线对应一条起点在P0，终点在P2处的抛物线，即有：二次Bézier曲线图示二次Bezier曲线的三条基函数三次Bézier曲线当n=3时，Bézier曲线如下所示：其中，令：则三次Bernstein基函数是：三次Bézier曲线的矩阵表示如下所示：图示1图示2三次Bezier曲线的四条基函数7.2

Bezier曲线的性质Betnstein基函数的性质正性端点性质（3）权性由二项式定理可知：（4）对称性因为（5）最大值。在处达到最大值。2．Bezier曲线的性质（1）端点性质由Bernstein基函数的端点性质可以推得，当t=0时，P(0)=P0；当t=1时，P(1)=Pn。由此可见，

Bezier曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合。（2）凸包性由于 ，且 ，这一结果说明当t在[0，1]区间变化时，对某一个t值，P(t)是特征多边形各顶点的加权平均，权因子依次是 。在几何图形上，意味着Bezier曲线P(t)在中各点是控制点Pi的凸线性组合，即曲线落在Pi构成的凸包之中，如图所示。凸包（3）几何不变性。这是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。Bezier曲线位置与形状与其特征多边形顶点 的位置有关，它不依赖坐标系的选择。XYX’Y’(4)对称性给定控制多边形P0,p1,…,pn，我们可以自P0出发构造Bezier曲线，也可以自Pn出发反向构造Bezier曲线，这两条曲线的形状完全相同，但参数化方向相反，亦即Bezier曲线具有对称性。曲线的对称性表明，由同一控制多边形定义的Bezier曲线唯一。（5）交互能力改变控制点的位置来改变曲线的形状。保凸性平面上的凸控制多边形产生凸曲线。变差缩减性Bezier曲线比控制多边形波动得少，更关顺。光顺(Fairing)指曲线的拐点不能太多。对平面曲线而言，相对光顺的条件是：–a.具有二阶几何连续性(G2)；–b.不存在多余拐点和奇异点；–c.曲率变化较小。7.3

Bezier曲面设 为一个4×4的空间点列其可以定义一张双三次Bezier曲面片。该空间点列用矩阵表示为依次用线段连接点列中相邻两点所形成的空间网格，称之为控制网格(control

net)。双三次Bezier曲面的形成过程为：(1)控制顶点的四个列阵生成四条三次Bezier曲线表示为(2)给定任一u,设u=u1,则可在上述四条曲线上分别得到点 它们构成一个新的多边形，该多边形在w向定义一条新的三次

Bezier曲线P(u1,w):