弹性与塑性力学基础－第五章屈服准则与塑性应力应变关系

弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-1屈服准那么的概念5.1.1屈服准那么的概念5.1.2屈服准那么(塑性条件)的表示方法5.1.3屈服准那么§5-2米塞斯屈服准那么5.2.1米塞斯屈服准那么5.2.2米塞斯屈服准的物理意义§5-3屈雷斯加屈服准那么5.3.1屈雷斯加屈服准那么5.3.2K值确实定弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-4米塞斯准那么及屈雷斯加准那么的几何图形5.4.1屈服外表5.4.2平面图形5.4.3空间图形§5-5屈服准那么的实验验证与比较5.5.1实验方法5.5.2罗德实验与罗德参数5.5.3泰勒及奎乃实验5.5.4两个准那么综合比较弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-6各向同性应变硬化材料的后继屈服外表与固表达实应力空间5.6.1后继屈服外表5.6.2各向同性应变硬化材料的屈服轨迹§5-7关于屈服准那么在塑性加工中的实际运用5.7.1关于屈服准那么的正确选用问题5.7.2关于控制变形在所需要的部位产生的实例§5-8塑性变形时应力应变关系概述5.8.1问题的引出5.8.2理论的开展5.8.3理论的类型弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-9增量理论5.9.1问题的背景及引出5.9.2列维—米塞斯(Levy-Mises)方程5.9.3普朗特—路埃斯(Prant-Reuss)方程§5-10全量理论5.10.1问题的背景及引出5.10.2亨盖理论(1924年)5.10.3那达依理论(1937年)5.10.4伊留申理论(1943年)5.10.5全量理论的问题与开展弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-1屈服准那么的概念5.1.1屈服准那么的概念屈服准那么(塑性条件或屈服条件)：描述不同应力状态下变形体某点进入塑性状态并使塑性变形继续进行所必须满足的条件弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-1屈服准那么的概念5.1.2屈服准那么(塑性条件)的表示方法单向应力状态屈服条件(T、、)：=s判断材料是否到达塑性状态的依据任意应力状态需要有六个应力分量或三个主应力分量来描述，屈服函数可以表达成如下形式(T、、)假定式中：C为与材料力学性能有关的常数。弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-1屈服准那么的概念5.1.2屈服准那么(塑性条件)的表示方法各向同性材料可用主应力来表示(由于坐标选择与屈服准那么无关)(5-1)可用应力张量不变量来表示(与坐标系选择无关)可用应力偏量不变量J2、J3表示(由于静液应力不影响屈服)(5-2)其中弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-1屈服准那么的概念5.1.2屈服准那么(塑性条件)的表示方法拉压性能相同的材料屈服准那么不应因应力偏量第三不变量J3的符号变化而变化1、2及3都为正，J3>0；1、2及3都为负，J3<0;屈服准那么或者与J3无关或者是J3的偶函数。弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-1屈服准那么的概念5.1.2屈服准那么(塑性条件)的表示方法拉压性能相同的材料屈服准那么不应因应力偏量第三不变量J3的符号变化而变化1、2及3都为正，J3>0；1、2及3都为负，J3<0;屈服准那么或者与J3无关或者是J3的偶函数。5.1.3屈服准那么标准：较符合实验米塞斯(Mises)屈服准那么和屈雷斯加(Tresca)屈服准那么弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-2米塞斯屈服准那么5.2.1米塞斯屈服准那么金属体内任一小局部发生由弹性状态向塑性状态过渡的条件是等效应力到达单向塑性应力状态下相应变形温度、应变速率及变形程度下的流动应力。(5-3)在塑性状态下等效应力总是等于流动应力注意：此时已不能将s理解为屈服极限而是单向应力状态下的对应于一定温度、一定变形程度及一定应变速率的流动应力。该应力不是以名义应力来表示而是用真实应力来表示，是把开始屈服后的整个真实应力曲线视作为确定后继屈服所需应力的依据.弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-2米塞斯屈服准那么5.2.1米塞斯屈服准那么

弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-2米塞斯屈服准那么5.2.1米塞斯屈服准那么塑性变形时主应力差的平方和等于流动应力平方的两倍(5-4)塑性变形时应力偏量第二不变量应等于流动应力平方的三分之一由于(5-5)塑性变形时八面体剪应力应等于流动应力的倍(5-6)弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-2米塞斯屈服准那么5.2.1米塞斯屈服准那么

弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-2米塞斯屈服准那么5.2.1米塞斯屈服准那么主剪应力的平方和应等于流动应力平方的一半(5-7)式中，1、2、3代表主剪应力弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-2米塞斯屈服准那么5.2.1米塞斯屈服准那么

弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-2米塞斯屈服准那么5.2.2米塞斯屈服准的物理意义能量准那么：反映把单位体积形状变化比能(畸变能)作为材料是否进入塑性状态的依据。总应变能U等于体积变化位能Uv与形状变化位能Uf之和U＝Uv＋Uf由弹性理论单位体积变形位能等于应力分量与相应的应变分量乘积之和的一半(主坐标系中)

弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-2米塞斯屈服准那么5.2.1米塞斯屈服准那么

弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-2米塞斯屈服准那么5.2.2米塞斯屈服准的物理意义由广义虎克定律式中，为波桑系数，于是可得

弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-2米塞斯屈服准那么5.2.1米塞斯屈服准那么

弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-2米塞斯屈服准那么5.2.2米塞斯屈服准的物理意义单位体积变化位能Uv确定取应力球张量及应变球张量由此得弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-2米塞斯屈服准那么5.2.1米塞斯屈服准那么

弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-2米塞斯屈服准那么5.2.2米塞斯屈服准的物理意义单位体积变化位能Uv确定将应力表示应变的虎克定律公式代入上式

因此

弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-2米塞斯屈服准那么5.2.1米塞斯屈服准那么

弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-2米塞斯屈服准那么5.2.2米塞斯屈服准的物理意义单位体积形状变化位能Uf确定化简可得(5-8)弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-2米塞斯屈服准那么5.2.1米塞斯屈服准那么

弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-2米塞斯屈服准那么5.2.2米塞斯屈服准的物理意义比照式(5-4)与式(5-8)(5-4)

(5-8)当塑性变形时将有(5-9)

塑性变形时单位形状变化弹性位能Uf它可以作为判断是否进入塑性状态的依据上述推证过程中所用的是弹性理论，应变是弹性局部的应变，不包括塑性应变弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-2米塞斯屈服准那么例题试用米塞斯屈服准那么判断图中的主应力状态是弹性状态还是塑性状态解利用米塞斯屈服准那么判别：(1)对于图(a)，用1=-4s，1=2=-5s代入得满足米塞斯屈服条件处于塑性状态弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-2米塞斯屈服准那么例题试判断图中的主应力状态是弹性状态还是塑性状态解:(2)对于图(b)1=-0.2s，1=2=-0.8s满足米塞斯屈服条件处于塑性状态(3)对于图(c)1=-s，1=2=-1.5s不满足米塞斯屈服条件处于弹性状态(4)对于图(d)1=-0.5s，2=-s，3=-1.5s不满足米塞斯屈服条件处于弹性状态弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-3屈雷斯加屈服准那么5.3.1屈雷斯加屈服准那么(最大剪应力准那么)最大剪应力到达某极限值尺时材料发生屈服max=(5-10)假设规定123时，上式可以写成1-3=2(5-11)如果不规定顺序，那么此条件可以写成(5-12)或(5-13)用应力偏量不变量J2、J3来表示(5-14)弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-3屈雷斯加屈服准那么5.3.2K值确实定K值可由简单拉伸，1=s，2=3=0确定。简单拉伸：2=3=0max=1/2于是有弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-3屈雷斯加屈服准那么例题一两端封闭的薄壁圆筒，半径为r，壁厚为t，受内压p的作用，试分别求此圆筒内壁开始屈服及整个壁厚进入屈服时的内压p(设材料单向拉伸时的屈服应力为s)。解：求应力分量：在筒壁选取一单元体，采用圆柱坐标，单元体上的应力分量如下图由平衡条件求应力分量为

r沿壁厚线性分布，内外表r=p，外外表r=0圆筒内外表首先产生屈服，然后向外层扩展弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-3屈雷斯加屈服准那么解：(1)在外外表由Mises屈服准那么即可求得由Tresca屈服准那么：1-3=s即可求得弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-3屈雷斯加屈服准那么解：(2)在内外表用同样的方法也可以求出内外表开始屈服时的p值由3=r=-p按Mises准那么按Tresca屈服准那么弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-4米塞斯准那么及屈雷斯加准那么的几何图形5.4.1屈服外表屈服函数式在应力空间中的几何图形假设描述应力状态的点在屈服外表上那么开始屈服各向同性的理想塑性材料屈服面是连续的屈服外表不随塑性流动而变化应变强化不同塑性变形阶段要用到后继屈服外表弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-4米塞斯准那么及屈雷斯加准那么的几何图形5.4.1平面图形(1)米塞斯屈服准那么各向同性的理想塑性金属用于两向应力状态或平面应力状态假定3=0，米塞斯屈服准那么方程式(5-4)可得因此或写成无量纲形式

上式为1，2平面的椭圆方程－－米塞斯椭圆弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-4米塞斯准那么及屈雷斯加准那么的几何图形5.4.1平面图形(2)屈雷斯加屈服准那么当下述六个条件中任何一个得到满足，那么发生屈服(5-15)

对于平面应力状态3=0，那么(5-16)弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-4米塞斯准那么及屈雷斯加准那么的几何图形5.4.1平面图形将屈服准那么在平面应力状态平面内绘制

平面应力状态下的米塞斯屈服准那么及屈雷斯加屈服准那么图形弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-4米塞斯准那么及屈雷斯加准那么的几何图形5.4.2空间图形三向应力在主应力空间(1、2、3)描述物体内某点P的主应力(1、2、3)P的坐标是1，2和3应力状态由应力向量OP表示应力状态可以写成三个向量的和(OA=1OB=2及OC=3)(5-17)

弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-4米塞斯准那么及屈雷斯加准那么的几何图形5.4.2空间图形现考察一个过原点与三个主应力轴等倾斜轴线OE它的方向余弦是l=m=n=OE轴与三个主应力轴间等倾角是这个轴上的每一点应力状态为等同于静液应力状态此时偏应力等于零弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-4米塞斯准那么及屈雷斯加准那么的几何图形5.4.2空间图形垂直于OE的任意平面的方程式为(5-18)式中：d—沿OE线从原点到平面距离静液应力或应力张量球分量随着从原点到平面的距离的增加而线性增加平面：过原点等静应力为零的平面弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-4米塞斯准那么及屈雷斯加准那么的几何图形5.4.2空间图形任一应力状态由OP向量确定，可以分解为两个分量，沿OE方向的ON分量垂直于ON平行于平面的分量NP，代表(5-19)而且(5-20)弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-4米塞斯准那么及屈雷斯加准那么的几何图形5.4.2空间图形由式(5-5)塑性变形时所以(5-21)过P点平行于OE的直线上全部点至OE线有相同的距离满足式(5-21)动点的轨迹为与OE线等距离的圆柱面圆柱的半径等于圆柱轴线与三坐标轴等倾斜弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-4米塞斯准那么及屈雷斯加准那么的几何图形5.4.2空间图形屈雷斯加准那么(5-15)在主应力空间代表三对互相平行的平面1－2＝s平面平行于3轴2－3＝s平面平行于1轴3－1＝s平面平行于2轴主应力空间中屈雷斯加屈服外表是一正六棱柱弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-4米塞斯准那么及屈雷斯加准那么的几何图形5.4.2空间图形反映如下概念：(1)

屈服面内为弹性区；(2)

屈服面上为塑性区；(3)当物体承受三向等拉或三向等压应力状态时，如图中OE线，不管其绝对值多大，都不可能发生塑性变形。弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-5屈服准那么的实验验证与比较5.5.1实验方法薄壁管承受轴向拉力及内压力(液压)或轴向力及扭矩的试验方法5.5.2罗德实验与罗德参数薄管加轴向拉力P和内压力p试验分析出发点：两个准那么是否考虑中间主应力影响，引入参数分析条件：主应力方向是固定不变的，应力次序给定(123)屈雷斯加屈服条件可写为(5-22)米塞斯屈服准那么为

弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-5屈服准那么的实验验证与比较5.5.2罗德实验与罗德参数为了将米塞斯准那么写成类似式(5-22)的形式，罗德引入参数(5-23)那么

(5-24)以式(5-24)代入式(5-4)即得(5-25)(5-4)弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-5屈服准那么的实验验证与比较5.5.2罗德实验与罗德参数取纵坐标为，横坐标实验中采用不同轴向拉力P与内压p可得各种应力状态下及服点应力值当＝1时，两者重合当＝0时，相对误差最大为15.4%试验结果如所示与米塞斯屈服准那么比较符合弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系罗德实验资料1-米塞斯准那么，2-屈雷斯加准那么§5-5屈服准那么的实验验证与比较5.5.3泰勒及奎乃实验1931年(Taylor)(Quinney)用铜、铝、钢的薄壁管承受轴向拉力及扭矩做试验(5-26)

弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-5屈服准那么的实验验证与比较5.5.3泰勒及奎乃实验把式(5-26)代入式(5-22)及式(5-4)得到屈雷斯加准那么(5-27)米塞斯准那么(5-28)方程(5-27)及(5-28)为椭圆方程。用不同的拉力与扭矩之比作试验结果试验点仍在米塞斯条件的曲线附近弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系泰勒及奎乃实验资料1-米塞斯准那么，2-屈雷斯加准那么§5-5屈服准那么的实验验证与比较5.5.4两个准那么综合比较：

实验说明一般韧性金属材料(如铜、镍、铝、中碳钢、铝合金、铜合金等)与米塞斯条件符合较好总的说来多数金属符合米塞斯准那么当应力的次序预知时，屈雷斯加屈服函数为线性的，使用起来很方便，在工程设计中常常采用修正系数来考虑中间主应力的影响或作为米塞斯条件的近似即米塞斯条件可以写成或表达为(5-29)式中，称中间主应力影响系数弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-5屈服准那么的实验验证与比较5.5.4两个准那么综合比较：

上式与屈雷斯加条件1－3＝s在形式上仅差一个系数应用中当应力状态确定时，为一常量，根据应力状态所得值加以修正即可。单向受压或受拉时，＝1两个准那么重合纯剪时，＝1.154，两者差异最大在1～1.154范围内，其平均值为1.077，总的讲相差不太大。板料冲压中为简化计算，通常取=1.1。弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-5屈服准那么的实验验证与比较5.5.4两个准那么综合比较：

两个准那么在单向拉伸及单向压缩(或更准确地说=±1)时相符合纯剪(或平面应变)时差异最大平面应力情况为例纯剪时，按屈雷斯加条件按米塞斯条件说明纯剪时两个准那么的剪切屈服应力比值为弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-5屈服准那么的实验验证与比较5.5.4两个准那么综合比较：

两个准那么在单向拉伸及单向压缩(或更准确地说=±1)时相符合纯剪(或平面应变)时差异最大平面应力情况为例纯剪时，按屈雷斯加条件按米塞斯条件说明纯剪时两个准那么的剪切屈服应力比值为弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-6各向同性应变硬化材料的后继屈服外表与固表达实应力空间5.6.1后继屈服外表

应变硬化材料塑性流动的应力应随着塑性应变的增加而增加，变化后的屈服外表。如果初始屈服应力用s0表示，那么在平面内的初始屈服轨迹是半径为的圆。如果在超过初始屈服条件后继续变形，这时所需应力设为s，假设进一步塑性变形并不引起材料的各向异性，那么屈服轨迹仍是圆，其半径为。弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-6各向同性应变硬化材料的后继屈服外表与固表达实应力空间5.6.2各向同性应变硬化材料的屈服轨迹后继屈服轨迹包围初始屈服轨迹两者同轴，平面上同心圆或六边形如果材料应变硬化时保持各向同性，屈服轴迹就随着应力及应变的进程而胀大，屈服外表一定沿某种途径向外运动。各向同性应变硬化材料在平面上的后继屈服轨迹(a)米塞斯屈服准那么(b)屈雷斯加屈服准那么弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-6各向同性应变硬化材料的后继屈服外表与固表达实应力空间5.6.2各向同性应变硬化材料的屈服轨迹理想塑性材料屈服函数可由下式确定(5-30)函数Φ变到常数s时产生屈服，主应力空间中用初始屈服外表表示应变硬化材料s值的变化取决于材料的应变硬化特性函数Φ是加载函数代表应力的施加函数函数Φ是应变硬化屈服函数，取决于先前的材料的应变过程，也取决于材料的应变硬化特性。弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-6各向同性应变硬化材料的后继屈服外表与固表达实应力空间5.6.2各向同性应变硬化材料的屈服轨迹应变硬化材料区别三种不同的情况(当Φ＝s时)应力状态由屈服外表上一点表示，如果加载过程，应力状态由初始屈服外表向外运动并产生塑性流动dΦ=0时，中性变载。应力状态在屈服外表上(假设此时应力分量在改变)，应变硬化材料不产生塑性流动。dΦ<0时，弹性卸载。应力状态从屈服外表向内运动。当Φ<s时，表示弹性应力状态理想塑性材料，Φ＝s，dΦ=0塑性流动，dΦ>0情况不可能弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-6各向同性应变硬化材料的后继屈服外表与固表达实应力空间5.6.2各向同性应变硬化材料的屈服轨迹各向同性应变硬化材料的概念数学上很简单，初步近似。没有考虑鲍辛格(Bausehinger)效应。这个效应使屈服轨迹一边收缩另一边膨胀，塑性变形过程中，屈服外表形状变化。1950年，纳迪(Naghdi)、艾生伯格(Essenburg)和柯夫(Koff)用实验证明了鲍辛格效应。用铝合金管进行的试验。开始只施加轴拉力，而后施加各种比例的扭矩和轴向拉力，以获得后继屈服轨迹。弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-6各向同性应变硬化材料的后继屈服外表与固表达实应力空间5.6.2各向同性应变硬化材料的屈服轨迹通过特定的卸载和加载方式获得后继屈服轨迹试验结果表示米塞斯椭圆屈服轨迹呈不对称膨胀例如，反向扭转所需的屈服应力不断减少实际工程材料塑性变形各向同性应变硬化材料是初步近似弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-6各向同性应变硬化材料的后继屈服外表与固表达实应力空间5.6.2各向同性应变硬化材料的屈服轨迹工程材料承受抗拉强度是有限的拉应力作用下所能承受的塑变形小于压应力作用下所能到达的数值刘叔仪将恒温断裂条件引入后现实应力空间如钟罩盖在米塞斯圆柱上钟罩代表断裂面，钟罩与柱面间为塑性变形区，圆柱面为初始屈服曲面，柱内为弹性区对于三向压应力状态随着流体静压力增加，可以承受很大的塑性变形而不致断裂弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-7关于屈服准那么在塑性加工中的实际运用5.7.1关于屈服准那么的正确选用问题确定变形区的性质分析塑性区还是弹性区(可借助于网格法)只能用在塑性区如挤压时的P区弹性区或刚性区不能用屈服准那么如死区D及冲头下的金属A区以及模口附近的C

挤压分区图弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-7关于屈服准那么在塑性加工中的实际运用5.7.1关于屈服准那么的正确选用问题屈服准那么表达式选择较简单问题米塞斯准那么选用其简化表达式(5-29)，即1－3＝s(123)与屈雷斯加准那么：1－3＝s根本一致仅差一个系数确定1、3针对具体工序确定1、3异号应力状态容易判断，如拉拔，轴向拉应力为1，径向压应力为3平面应力同号应力状态，确定两个同号应力相对大小，运用应力分析定性判断，如筒形件径向应力r绝对值总是小于切向应力绝对值。对于双拉应力状态(如胀球侧壁受压，径向及轴向受拉)1＝，3＝0对于双压应力状态，例如缩口工序1＝0，3＝弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-7关于屈服准那么在塑性加工中的实际运用5.7.1关于屈服准那么的正确选用问题的选择如果变形接近于平面变形变形为简单拉伸类(=-1)或简单压缩类(=+1)时取=1应力状态连续变化的变形区，如板料冲压多数工序近似地取＝1.1。三向同号应力状态应力分量判断根据“应力应变顺序对应规律〞由应变(或应变增量)可以反推应力顺序对应于主伸长方向的应力是1，对应于主缩短方向的应力是3按代数值代入屈服准那么例如，镦粗是r－z＝s式中r、z分别代表径向及轴向应力弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-7关于屈服准那么在塑性加工中的实际运用5.7.2关于控制变形在所需要的部位产生的实例控制原那么在需要变形局部的应力状态让其先满足屈服准那么控制材料的硬度差异可以使硬度低的先变形用模具钢冲头反挤模具型腔，将冲头淬硬，被挤模具软化处理用In100制成的冲头可以对In100材料进行超塑加工，使材料处于超塑态，流动应力比非超塑态的冲头低很多。控制不同温度就可以使变形仅在高温部位产生电热镦粗及差温拉深弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-7关于屈服准那么在塑性加工中的实际运用5.7.2关于控制变形在所需要的部位产生的实例控制不同的应力状态可以使变形产生的先后及开展程度不同实例：采用凹砧镦粗与凸砧镦粗变形工件形状差异大原因：各处的应力状态不同中心部位B及B'单向压缩靠近凸砧处A点三向压应力较B处难于满足屈服准那么对于近凸砧点A‘两压一拉异号应力状态，比中心部位更易满足屈服准那么，因而先变形造成两头大中间小弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-7关于屈服准那么在塑性加工中的实际运用5.7.2关于控制变形在所需要的部位产生的实例利用摩擦力对主作用力传播的减弱作用造成变形上的差异实例：管材进行闭式镦粗力是由冲头传下来的近A点处先满足屈服准那么侧壁有摩擦力作用A点以下金属所承受的压应力要较A点小，后满足屈服准那么所得工件口部厚度大于下部B点附近所传应力不满足屈服准那么壁厚无变化弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-7关于屈服准那么在塑性加工中的实际运用5.7.2关于控制变形在所需要的部位产生的实例利用摩擦力对主作用力传播的减弱作用造成变形上的差异实例：局部承载接触面小的部位，如A点附近压强高先满足屈服准那么，该处变形先产生接触面大的部位，由于压力被分散如B点后产生变形，甚至未变形。弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-7关于屈服准那么在塑性加工中的实际运用5.7.2关于控制变形在所需要的部位产生的实例复合变形工序变形顺序及开展取决于哪一个工序先易满足屈服条件实例：杯杆件复合挤压一局部反挤向上流动形成杯另一局部正挤向下流动形成杆当冲头直径2D1增大使靠近冲头局部的金属产生反挤式变形所需的力比下金属产生正挤式变形所需的变形力大时，较多的金属按正挤的方式变形，杆就长些假设模托直径d2很少那么冲头下部金属满足反挤变形所需力小于按正挤变形所需力，较多金属按反挤方式变形，杯就高些。弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-7关于屈服准那么在塑性加工中的实际运用5.7.2关于控制变形在所需要的部位产生的实例复合变形工序变形顺序及开展取决于哪一个工序先易满足屈服条件实例：薄管一头缩口另一端扩口锥角1及2及摩擦、润滑情况对变形有很大影响当2<1时，C区先变形，当2=1时，D区先变形弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-8塑性变形时应力应变关系概述5.8.1问题的引出阐述了变形体中一点所处的应力状态

阐述了变形体中一点所处的应变状态没有引进变形材料的性能，有关公式对弹性问题及塑性问题是通用的

屈服准那么研究由弹性向塑性过渡及其变形继续进行必须满足的条件尚未涉及塑性变形时应力与应变之间存在什么关系，塑性变形时应力与应变之间不存在线性关系，但究竟是什么关系，有哪几种理论，为工程上应用方便能否给出一些定性的判据，本节所要讨论的问题。弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-8塑性变形时应力应变关系概述5.8.2理论的开展(1870年以来提出的各种不同的理论假说)理想塑性材料1870年圣文南将屈雷斯加屈服条件用于平面应变问题，并提出了应变增量的主轴和应力主轴重合的假定。1871年列维应用前假定提出三维情况下应变增量分量与它所对应的应力偏量分量成比例的假定。1913年米塞斯独立提出同一假定，并提出了米塞斯屈服条件，它被广泛应用于作为塑性理论的根底。米塞斯忽略了弹性局部。1924年普朗特、路埃斯提出了考虑弹性变形的增量理论。1924年亨盖采用了类似列维、米塞斯的假定，提出了应变偏量分量与对应的应力偏量的分量成比例。弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-8塑性变形时应力应变关系概述5.8.2理论的开展(1870年以来提出的各种不同的理论假说)非理想塑性材料1937年那达依用大变形概念，考虑了硬化材料在大变形情况下的应力偏量分量与应变分量之间的关系，在总的应变中忽略了弹性局部。1943年伊留申提出了小弹塑性应变理论。1949年巴道尔夫—布第相斯基又提出了滑移理论，其根本假定是材料中沿着某一滑移面上某一方向产生塑性的剪切应变完全取决于所对应的剪切应力分量的过程。弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-8塑性变形时应力应变关系概述5.8.3理论的类型增量理论(流动理论)上述前三类属于增量理论所建立的应力应变关系以应变增量为根底全量理论(形变理论)4、5、6三类属于全量理论所建立的应力应变关系都是以应变全量为根底弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-9增量理论

5.9.1

问题的背景及引出

理想塑性材料应力应变的非单值性对于不同的应变值

1、

2，可以有同一应力

弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-9增量理论5.9.1问题的背景及引出硬化材料在复杂应力状态下应力应变的非单值性应变不能单值的由应力决定而与加载历史过程有关设AB代表初始屈服轨迹，单向拉伸OAC，卸载至原点，扭转至F点，这时并没有产生新的剪切应变，应变状态为假设先扭转经OBD点，沿DGFF点最终应力状态一样，加载途径不同，应变不同一般如果加载途径不确定，只从最终的应力状态无法反求总的应变。弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-9增量理论

5.9.1

问题的背景及引出增量理论都是与每一瞬时的应变增量与当时的应力状态有关5.9.2列维—米塞斯(Levy-Mises)方程

理论内容塑性变形时应变增量dij与相应的应力偏量成比例(列维于1871年，米塞斯于1913年分别提出)(5-36)或(5-37)式中，d为正的瞬时常数;为应力偏张量，、…为其分量

弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-9增量理论5.9.2列维—米塞斯(Levy-Mises)方程

适用范围严格地应用于理想刚塑性材料，即全应变增量中的弹性量为零。

方程张量表达式的概念

塑性应变增量偏量与应力偏量主轴重合，即塑性应变增量与应力的主轴方向重合；

塑性应变增量偏量的分量与应力偏量的分量成比例；应力莫尔圆及全应变增量莫尔圆是相似的。弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-9增量理论5.9.2列维—米塞斯(Levy-Mises)方程d的求法。对于理想刚塑性材料，按米塞斯屈服准那么将有及将式(5-36)两者相减代入米塞斯屈服方程(5-3)即得令称其为“等效塑性应变增量〞弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-9增量理论5.9.2列维—米塞斯(Levy-Mises)方程

d的求法。

d

代入上述

i的公式中，即得而

I=

s

所以有(5-38)弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-9增量理论5.9.2列维—米塞斯(Levy-Mises)方程列维—米塞斯理论完整的应力应变关系方程式弹性应变忽略不计，总应变增量等于塑性应变增量，d

角标p可略去得到

(5-39)上式中线应变增量间还应满足以下关系式

弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-9增量理论5.9.2列维—米塞斯(Levy-Mises)方程列维—米塞斯理论完整的应力应变关系方程式式(5-39)也可以写成用应变速率表达的形式

(5-40)写成张量形式(5-40a)式中表示比例因子

0，其数值为弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-9增量理论5.9.2列维—米塞斯(Levy-Mises)方程列维—米塞斯方程的应用应变增量分量且对于特定材料(s可知)，可以求得应力偏量分量或正应力之差(1-2)，(2-3)，(3-1)，但一般不能求出1、2、3因为这时平均应力不知道。应力分量，能求得应力偏量，只能求得应变增量的比值但不能求得应变增量的数值。原因是对于理想塑性材料，应变分量的增量与应力分量之间无单值关系(即使求得也往往有很多解)。假设两正应力相等，由于应力偏量分量相同，应变增量也相同，反之亦然。假设某一方向的应变增量为零，那么该方向的正应力应等于平均应力m，在平面应变时，假设有123，以及沿2的应变增量为零，那么有弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-9增量理论5.9.3普朗特—路埃斯(Prant-Reuss)方程理论内容在列维—米塞斯理论的根底上开展起来的，考虑了弹性变形局部，即总应变增量的分量由弹塑性两局部组成。弹性局部弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-9增量理论5.9.3普朗特—路埃斯(Prant-Reuss)方程理论内容弹性局部即

(5-41)弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-9增量理论5.9.3普朗特—路埃斯(Prant-Reuss)方程理论内容塑性应变局部为应变分量的总增量表达式为d仍可由式(5-38)确定

(5-42)弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-9增量理论5.9.3普朗特—路埃斯(Prant-Reuss)方程理论内容式(5-42)亦可写成用应变速率表达的公式(5-43)式中，

0表示比例系数弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-9增量理论5.9.3普朗特—路埃斯(Prant-Reuss)方程理论特点普朗特—路埃斯理论与列维－米塞斯理论的差异就在于前者考虑了弹性变形而后者不考虑弹性变形，实际上后者是前者特殊情况。列维－米塞斯理论仅适应于大应变，无法求回弹及剩余应力场问题。前者主要用于小应变及求解弹性回跳及剩余应力问题。

弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-9增量理论5.9.3普朗特—路埃斯(Prant-Reuss)方程理论特点两理论都着重指出了塑性应变增量与应力偏量之间关系。如用几何图形来表示，应力偏量的矢量为S，恒在平面内沿着米塞斯屈服轨迹的径向，由于应力(偏量)主轴与应变分量的瞬时增量主轴重合，在数量上仅差一比例常数，假设用自由矢量表示塑性应变增量，那么必平行于矢量S且沿屈服曲面的径向，而弹性应变增量那么与应力张量的矢量平行。弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系第五章屈服准那么与塑性应力应变关系d

p平行于S沿着屈服面法线方向§5-9增量理论5.9.3普朗特—路埃斯(Prant-Reuss)方程理论特点整个变形过程可由各瞬时段的变形积累而得，因此增量理论能表达加载过程对变形的影响，能反映出复杂加载情况。加载途径由①、②、③、④段组成，要得到最终的应力或应变解，首先根据第一段加载情况，运用该段方程组求解，把此解化为第二段加载的初值继续求解，如此连续进行，得到第④段的积分解，即所需求解。对于大变形问题求全量解，应变应采用大应变表达式。弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系第五章屈服准那么与塑性应力应变关系复杂加载途径

§5-9增量理论5.9.3普朗特—路埃斯(Prant-Reuss)方程理论特点这理论仅适用于加载情况(即变形功大于零的情况)，并没有给出卸载规律，卸载情况下仍按虎克定律进行。还要说明的是如何将上述结果应用于分析硬化材料的问题，这时要采用沿着应变路径积分的“等效塑性应变总量〞来描述硬化程度，即(5-44)等效塑性应变总量与塑性应变强度一般不等，唯有在简单加载(比例加载)情况下两者才相等，对于一般情况可以理解为瞬时屈服圆柱半径是随“等效塑性应变总量〞而变。这时方程(5-1)中的C应表示为当屈服面上某应力点的应力增量大于零时才会产生新的塑性变形。弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-9增量理论5.9.3普朗特—路埃斯(Prant-Reuss)方程对式(5-44)求导可得表示应力强度

i与塑性应变强度曲线上某点的斜率，在应力点M处于是得(5-45)这时，列维—米塞斯表达式变为

(5-46)弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系第五章屈服准那么与塑性应力应变关系为曲线上的斜率§5-9增量理论例题某点应力状态三个主应力如下所示，试求塑性应变增量的比值。(a)；(b)；(c)；(d).解:(a)平均应力为应力偏量的分量为;;由Levy-Mises方程(5-37)，得塑性应变增量比值为弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-9增量理论例题某点应力状态三个主应力如下所示，试求塑性应变增量的比值。(a)；(b)；(c)；(d).解:(b)平均应力为应力偏量的分量为

塑性应变增量比值为弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-9增量理论例题某点应力状态三个主应力如下所示，试求塑性应变增量的比值。(a)；(b)；(c)；(d).解:(c)平均应力为应力偏量的分量为

塑性应变增量比值为弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-9增量理论例题某点应力状态三个主应力如下所示，试求塑性应变增量的比值。(a)；(b)；(c)；(d).解:(d)平均应力为应力偏量的分量为

塑性应变增量比值为弹性与塑性力学根底第五章屈服准那么与塑性应力应变关系第五章屈服准那么与塑性应力应变关系§5-9增量理论例题某点应力状态三个主应力如下所示，试求塑性应变增量的比值。(a)；(b)；(c)；(d).解:虽然应力状态(a)和(b)应力分量与应力球张量均不相同，但其塑性应变增量的比值却是相同，说明两者(即单向拉伸与双向压缩)的塑性变形方式相同；应力状态(c)和(d)也有同样结果，说明单向压缩与双向拉伸的变形方式相同。弹