2022年全国高中数学联赛模拟试题一（含答案）

2022全国高中数学联赛模拟试题

一、填空题

1.

设集合A={1,2,3,…,99},集合8={2x|xcA},集合C={X|2xeA},则集合BDC的

元素个数为_____________

2.对任意闭区间/,用M,表示函数丁=$山》在/上的最大值.若正数。满足

%间=2综2勾，则。的值为--------------

3.已知数列{叫满足：q=2,a“=25+a,T),〃=2,3,….求数列{a“}的通项公式.

4.已知正实数a满足屋=(9〃)&‘，则log”(3a)的值为

0

5.设0<8<»，则sin](1+cos6)的最大值是.

6.设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3,且各项的和为97?,则这样的数

列共有_________________

7.如果在区间1,2]上，函数/(x)=/+px+q与g(x)=x+-4在同一点取相同的最小值,

X

那么了(幻在该区间上的最大值是.

8.设f(x)是定义在实数集上的周期为2的函数，且是偶函数，已知当无6[2,3]时，/(%)=x,

则当xe[-2,0]时，/(x)的解析式是()

二、解答题

9.

设正数列…满足"a,/*=2%-1(〃22)且%=%=1.求

{4,}的通项公式.

10.已知。，尸是方程4万2-4b一1=0(f>0)的两个不等实根，函数/。)=与二的定义

x+1

域为［a,冽。

⑴求g(t)=max/(x)-minf(x)；

⑵证明：对于%(i=1,2,3),若sin/+sin〃2+sin〃3=1，则

1113A/6

----------------1------------------1----------------V--------o

g(tan%)g(tan〃2)g(tan%)4

l

11.在AA5c中，BC=a,CA=h9AB=cf证明:

2(a2cosA+/?2cosB+c1cosC)<ab+hc+ca

加试

1.

在AABC中，BC=a,CA=b9AB=ct证明：

44

aAb，八c八，a+b+c

---------zr—rCOSAdzr—rCOSBHzz—rCOSC<.

1+/+吐31+/+。3/1+。3+。3036

2.若函数/(x)=—gf+T在区间鼠以上的最小值为2a，最大值为2。，求卜㈤.

3.

如下图，”是三个半径同为R的圆的共同交点，A,区。三点则是另外三个交点.

⑴试证明：”是AABC的垂心；

(2)证明：AA3C的外接圆半径等于R.

4.

对于整数〃24,求出最小的整数了(〃)，使得对于任何正整数机，集合

{m.机+1,m+2,…，m+〃-1}的任一个./■(“)元子集中，均至少有3个两两互素的元素。

2022年1月全国高中数学联赛模拟试题解析

1.

设集合A={1,2,3,…,99},集合6={2x|xeA},集合C={x|2xeA},则集合的

元素个数为_____________

答案：24

2.对任意闭区间/,用根表示函数丁=如%在/上的最大值.若正数。满足

知［。间=2叫3,则。的值为.

答案：包或由

612

4.已知数列{%}满足：q=2,a“=2(〃+a,T)，n=2,3,--.求数列{4}的通项公式.

答案

所以数列{%}的通项公式为%=2"+2-2H-4.

4.

已知正实数a满足废=(94"，则loga(3a)的值为.

答案：—

16

n

5.设0＜，＜不，则sin^Q+cos。)的最大值是

…473

答案：~~~~

6.

设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3,且各项的和为972,则这样的数列

共有_________________

答案：4个

7.

如果在区间［1,2］上，函数/(x)=x2+px+q与g(x)=x+=在同一点取相同的最小值，那

X

么/(X)在该区间上的最大值是.

不田.5^23/7

答案：4---+V4

2

8.设/(x)是定义在实数集上的周期为2的函数，且是偶函数，已知当xe［2,3］时，/(x)=x,

则当xe［—2,0］时，F(x)的解析式是()

答案：f(x)=2-x

三、解答题

9._____________

设正数列。0，。1，。2,…，凡，…满足,《4-2-=2。,1(〃22)且劭=。1=1.求

｛为｝的通项公式.

解:变形，同除以Ja“T《L2得:

令2_+1=。,，则得么=2口.即｛/｝是以匕=2为首项2为公比的等比数列.

VMt

•*,b“=2".

.•.JQT.

a„-l

fl(n=0)

n>l,ne

10.已知。,夕是方程4/一4次一1=0(，＞0)的两个不等实根，函数/(©=-^的定义

A-+1

域为［。,例。

⑴求g(f)=maxf(x)—minf(x)；

⑵证明：对于《(i=1,2,3)(若sin%+sin〃2+sin〃3=1，则

1113c

------------1--------------1------------v------

g(tan%)g(tanu2)g(tanw3)4

解：

(1)由题意得a+Q=f,a/3=--,a<p.故。<0<尸.

4

当为,》2e[a/]时，由于//(x)=可±2,知洌时，x2-tx<Q,

'EG_+l]

于是r(x)>0,即/(x)在[a,/?]上单调递增。

所以“八=20T_"—t=(月一a》(a+£)—24+2],把a+/?=1，a夕=-：代入

^-Z?2+1«2+r(^)2+«2+^2l

+a2++

得

8Jtan2x+lQtan2尢+5)_16+24cos2x〉16屈

⑵注意到g(tanx)

16tan2x+2516cosx+9cos3x16+9cos2x

222

所以---------1-------------1-----------<—[16-3+9(cosu,+cos%+cosw3)]

g(tan%)g(tanu2)^(tanw3)16J6

="-9(sM%22

+sinu2+sinw3)],

222

sin%+sinu2+sinw3〉sinwj+sinw2+sinw3।_1

<3)=3

222

所以---------+----?----+--------<―^=卜5-9(sinu,+sinw2+sinM3)1

g(tan%)g(tan〃2)g(tan%)16〃

376

75-9--

-16763~1~

又等号不可能同时成立，故一］一+——?—+—］一＜侦

g(tan%)g(tan“2)g(tanw3)4

11.在AA3C中，BC=a,CA=byAB=cf证明:

2(/cosA+Z?2cos8+c?cosC)<ab+bc+ca

证明：

b2^c2-a2

由cosA-知只要证明

2bc

b2+c2

2+

2hc

22

+abc^ab-^(b+c)>0....①(这是一个齐5次不等式)

不妨设cNa,人之口则①。

0-c)2(/?+c-2a^b-a1+(Z?—a^b-c)+(c-a)2)+

+50-c)4a+18(〃-a\c-a^b-cp〃+0-of(c-a+

+8(/?-c)(/?+c-2a)a~+2(/?-ci^c-ci^b+c-+

+4(h-c)~o'，+4(h-Q/C-a)。'，>0,

上述不等式显然成立，

故

"2cosA+/72cosB+c2cosC)<ah+bc+ca.

2

加试

1.证明：

根据3元均值不等式，欲证原不等式，只要证明

a'b+c-ab，a+c-hc3a+h-c,a+b+c

---------------------1-----------------------1---------------------<---------------，

he2bcca2acablab2

不等式两边同时乘以2〃％2c2,化简得

a1-i-b1+C1^a2b2c2(a^b-vc)>a5(a2+Z?2)+Z?5(Z?2+c2)+c5(c2+tz2),...①(这是一

个齐7次不等式)

不妨设cNa,方之。.则①o

(b-c)2(c+/?-2Q)((C-a)’+(c—a]{b-a)+{c-a)2(b-a)2+(c—a\b-af+0—a)4)+

+la(h-c)6+40a(b-4(/?-Q)(C_a)+50a(b-tz)2(c-力(b-c)2+

+19df2(/?-c)2(/?+c-2a^h-a)24-(c-«)2)+9a2(h-a\c-a\b+c-2a\h-c)2+

+25Q，伍-c)2((Z?-c)2+20-a^c-Q))+7Q。(b-a\c-a^b-c)2+〃，(〃-(c-+

+16〃4(Z?-c)~(b+c-2〃)+2/(Z?--ci^h4-c-2〃)+

+4a5(b-c)2+4/(h-a\c-a)>0.

上述不等式显然成立，

故

/.b4c4d+b+c

----ZCOSAd---------Z7—rCOSBH----zz-yCOSC<.

3

1+4?+/73c314-^4-eV1+C+4ZV6

iiQ

2.解析：⑴若。《匕<0,则/(©的最大值为/S)=—/〃+］=2最小值为

1130

/(。)=-5。o2+标=2。.即兄。是方程了2+4%-13二0的两个根，而此方程两根异号.故

不可能.

⑵若avOv/?,当尤=0时.，/(x)取最大值，故2/7=',得。=亍.

当x=a或x=。时/(x)取最小值，①/(a)=—(。2+装=2。时.。=-2±如，但。<0,

故取。=一2—JI7.此时科>|4,从而/(a)是最小值.@f(b)=-^b2+^=2a,显

然a>0.与a<0矛盾.故舍.

(3)Q<a<b.此时，最大值为/(“)=»,最小值为/(0)=2a.

1.2^130

——b+—=2。

：.\22.两式相减得a+b=4.解得.=1,0=3.

--a2+—=2b

22

/.符合条件的［a,“有［1,3］或-而，?

3.

证明：设。1,。2，。3分别是三个圆的圆心，如下图:

四边形AO2HO^O2BO3H的边都等于R,所以它们是菱形.所以AOJ/O?"HBO.且相

等，所以四边形AB。,。1是一个平行四边形，即AB〃Qa且长度相等。

(1)由于C"与是菱形的两条对角线，所以它们互相垂直，则C”_LA8。

同理AH1BC,BH1AC,即H是AABC的垂心；

(2)由于0。3=A3，同理可知BC=O。?，AC=O2O3，所以A4BC=△0。。2，又H

到三个圆心的距离都是R,所以AOs。。2的外接圆半径就是R。即AA8C的外接圆半径等

于R

4.

解：

(1)当“24时，对集合={帆/九+1,加+2,•一,机+“-1},

当阳为奇数时，m,m+l,〃z+2互质，当阳为偶数时，n;+l,/找+2,加+3互质.即

M的子集中存在3个两两互质的元素，故/(“)存在且/(〃)<〃.①

取集合，={/|2亿或3亿+则7为M(2,")={2,3,…,〃+1}的一个子集，且其中任

3个数无不能两两互质.故/(〃)引1+1.(同表示元素个数)

「九+1〕「〃+1〕+辽”、、「〃+1〕「〃+1〕「〃+1I-

但T=--+—-------•故/(〃》二厂+工-------r+1②

23623o

由①与②得，/(4)=4,/(5)=5,5</(6)<6,6</(7)<7,7</(8)<8,8</(9)<9.

现计算/(6),Af={m,m+l,m+2,m+3,m+4,m+5},若取其中任意5个数，当这5

个数中有3个奇数时，这3个奇数互质；当这3个数中有3个偶数人次+2,上+4