2023年新高一数学暑假课程（人教A版2019）第二十四讲基本不等式的应用（二）（原卷版）

第二十四讲：基本不等式的应用（二）【教学目标】1．掌握对应的基本不等式求解最值；2．通过分析实际问题，建立函数方程，通过基本不等式求解最优解.【基础知识】一、基本不等式：（1）；（2）.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.二、恒成立与能成立问题若恒成立，则；若恒成立，则.若有解，则；若有解，则.【题型目录】考点一：基本不等式求参（恒成立与能成立问题）考点二：基本不等式实际应用（一）考点三：基本不等式拓展【考点剖析】考点一：基本不等式求参（恒成立与能成立问题）例1．若对，，有恒成立，则的取值范围是（） A． B． C． D．变式训练1．若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（） A． B． C． D．变式训练2．若时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（） A． B． C． D．变式训练3．若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围（） A． B． C． D．考点二：基本不等式实际应用（一）例1．近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣在国庆期间加班追产提供（万元）的专项补贴．波司登制衣在收到高邮政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）．同时波司登制衣生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额政府专项补贴成本．(1)求波司登制衣国庆期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式；(2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣国庆期间加班追产所获收益（万元）最大？变式训练1．某游泳馆拟建一座占地面积为200平方米的矩形泳池，其平面图形如图所示，池深1米，四周的池壁造价为400元/米，泳池中间设置一条隔离墙，其造价为100元/米，泳池底面造价为60元/平方米（池壁厚忽略不计），设泳池的长为x米，写出泳池的总造价，问泳池的长为多少米时，可使总造价最低，并求出泳池的最低造价．变式训练2．常州在中国工业大奖和工业强基工程项目双双位列全国地级市第一，已知常州某零件装备生产企业2023年的固定成本为2500万元，每生产100x件零件，需另投资(单位：万元)，经计算与市场评估得，调查发现，零件装备售价5万元，且全年内生产的零件装备当年能全部销售完(其中).(1)预测出2023年的利润(单位：万元)的函数表达式(利润=销售额—成本)；(2)当2023年装备产量为多少时，常州该企业所获利润最大？并求出最大利润.变式训练3．如图设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为40cm，把△ABC沿AC向△ADC翻折成为△AEC，AE交DC于点P．设．(1)若，求x的取值范围；(2)设△ADP面积为S，求S的最大值及相应的x的值．考点三：基本不等式拓展例1．均值不等式可以推广成均值不等式链，在不等式证明和求最值中有广泛的应用，具体为：.(1)证明不等式.(2)上面给出的均值不等式链是二元形式，其中指的是两个正数的平方平均数不小它们的算数平均数，类比这个不等式给出对应的三元形式，即三个正数的平方平均数不小于它们的算数平均数，并尝试用分析法证明猜想.（个数的平方平均数为）变式训练1．根据高一课本基本不等式章节知识所学，我们知道基本不等式，那么类比可得，那么根据上述结论，则的最大值为________.变式训练2．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（） A．16 B．25 C．36 D．49变式训练3．我们学习了二元基本不等式：设,,,当且仅当时，等号成立利用基本不等式可以证明不等式，也可以利用“和定积最大，积定和最小”求最值.（1）对于三元基本不等式请猜想：设当且仅当时，等号成立（把横线补全）.(2)利用（1）猜想的三元基本不等式证明：设求证：(3)利用（1）猜想的三元基本不等式求最值：设求的最大值.【课堂小结】1．知识清单：(1)利用基本不等式求最值．(2)利用基本不等式求解取值范围．(3)实际应用问题，基本不等式求解最优解．2．方法归纳：配凑法．3．常见误区：忽略应用基本不等式求最值的条件(一正、二定、三相等)．【课后作业】1、当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（） A． B． C． D．2、若对于任意，恒成立，则a的取值范围为（） A． B． C． D．3、若关于的不等式在区间上恒成立，则的取值范围为（） A． B． C． D．4、已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（） A． B． C． D．5、已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数t的取值范围是（） A． B． C． D．6、若正数满足，且不等式恒成立，则实数的最大值为（） A． B． C． D．7、设，，不等式恒成立，则实数m的最小值是（） A． B．2 C．1 D．8、若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立．则实数m的取值范围是（） A． B． C． D．9、已知，若恒成立，则m的最大值为（） A．3 B．4 C．8 D．910、某单位建造一间地面面积为的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度不超过米，房屋正面的造价为400元，房屋侧面的造价为150元，屋顶和地面的造价费用合计为元．(1)把房屋总造价表示成的函数，并写出该函数的定义域．(2)当侧面的长度为多少时，总造价最低，最低总造价是多少？11、如图所示，有一批材料长为24m，如果用材料在一边靠墙（墙足够长）的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成两个面积相等的矩形，那么围成的矩形场地的最大面积是多少？12、为提高隧道车辆通行能力，研究了隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）所满足的关系式：．研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时．(1)若车流速度千米/小时，求车流密度的取值范围；(2)隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值，并指出车流量最大时的车流密度辆/千米．13、志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD，已知点E在边CD上，AE＝CE，AB＞AD，且矩形的周长为8cm.(1)设AB＝xcm，试用x表示出图中DE