专题5.28 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)最值（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（苏科版）

专题5.28二次函数最值（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．已知实数，满足，则的最大值为（

）A．10 B．22 C．34 D．1422．已知二次函数，当时，y有最小值7，最大值11，则的值为（

）A．3 B．9 C． D．3．二次函数，当时，y的取值范围为（

）A． B． C． D．4．已知：二次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有2个交点时，的取值范围是（

）A． B．或 C．或 D．5．当时，二次函数的最小值为－1，则a的值为（

）A．-2 B．±2 C．2或 D．2或6．若式子不论取任何数总有意义，则的取值范围是（

）A． B． C．且 D．7．已知二次函数，当时，y的最大值与最小值的差为6，则m的值为（

）A． B． C． D．8．已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（

）A．5或 B．3或 C．5或3 D．3或19．如图，已知抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，下列结论不正确的是（

）A．抛物线的对称轴为直线B．若，则C．y的最大值为1D．若轴交抛物线于点D，则10．二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（

）A．函数的最大值为4B．函数图象关于直线对称C．当时，y随x的增大而减小D．x＝1或是方程的两个根11．二次函数y=ax2+2ax+3（a为常数，a≠0），当a-1≤x≤2时二次函数的函数值y恒小于4，则a的取值范围为（

）A． B． C．或 D．或12．已知二次函数（a、b是常数，）的图象经过点和，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．二、填空题13．如图，已知二次函数的图象经过点．（1）的值为______，图象的顶点坐标为______；（2）若点在该二次函数图象上，且点到轴的距离小于，则的取值范围为______．14．如图，P是抛物线y＝x2﹣2x﹣3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为______．15．如图，四边形的两条对角线互相垂直，且，则四边形面积的最大值为_____．16．一个斜抛物体的水平运动距离记为x（m），对应的高度记为y（m），y是关于x的二次函数．已知当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝3；当x=4时，y＝0．该斜抛物体的所能达到的最大高度是_______m．17．如图，点O是正方形ABCD的对称中心，射线OM，ON分别交正方形的边AD，CD于E，F两点，连接EF，已知，．（1）以点E，O，F，D为顶点的图形的面积为_________；（2）线段EF的最小值是_________．18．如图，正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积最大值为_______19．平面直角坐标系中，已知点，且实数m，n满足，则点P到原点O的距离的最小值为______．20．已知二次函数（是常数），当时，函数的最大值是，则的值为________．21．如图，已知抛物线与x轴相交于于点，，与轴的交于点．点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设的面积为．下列结论：①；②；③，其中，正确结论的序号是________．（所有正确的序号都填上）22．已知抛物线．（1）当m＝0时，点（2，4）_____（填“在”或“不在”）该抛物线上；（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，该抛物线的顶点坐标为____．23．若x＋y＝5，则xy＋1的最大值为______．24．已知抛物线过点，两点，若线段的长不大于2，则代数式的最小值是________．三、解答题25．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点，抛物线的对称轴是直线，连接、．(1)用含a的代数式求；(2)若，求抛物线的函数表达式：(3)在（2）的条件下，当时，y的最小值是-2，求m的值．26．已知关于的一元二次方程，有两个不相等的实数根，．(1)求的取值范围；(2)当时，解这个方程；(3)若，是方程的两个实数根，设，试求的最小值．参考答案1．C【分析】利用二次函数的性质求解即可．解：∵x+y=12，∴y=12-x，∴xy-2=x(12-x)-2=-x2+12x-2=-(x-6)2+34，∵-1＜0，∴当x=6时，xy-2有最大值，最大值为34，故选：C．【点拨】本题考查二次函数的性质，会利用二次函数的性质求最值是解答的关键．2．B【分析】先求出二次函数的对称轴为直线，再分①和②两种情况，然后利用二次函数的性质求出最大值与最小值，据此建立方程组求出的值，由此即可得．解：二次函数的对称轴为直线，①当时，则当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，所以当时，取得最小值；当时，取得最大值，所以，解得，符合题设，则此时；②当时，则当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，所以当时，取得最大值；当时，取得最小值，所以，解得，符合题设，则此时；综上，的值为9，故选：B．【点拨】本题考查了二次函数的性质，正确分两种情况讨论是解题关键．3．C【分析】根据二次函数的性质先求解函数的最大值，再分别计算当时，当时，从而可得答案．解：二次函数，所以函数有最大值，而，当时，当时，当时，y的取值范围为故选C【点拨】本题考查的是二次函数的性质，掌握“二次函数的增减性”是解本题的关键．4．C【分析】画出翻折前后的图象，求出原图象的顶点坐标，利用翻折的性质求出原顶点翻折后对应点的坐标，上下移动，观察与新图象的交点情况，即可得出答案解：二次函数的图象及翻折后的图象如下图如所示，，二次函数图象的顶点C的坐标为，翻折后顶点C对应点的坐标为，观察图象可知，当或时，与新图象有2个交点，故答案为：C．【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质以及翻折的性质，解题的关键是求出原抛物线顶点翻折后对应点的坐标．5．A【分析】将二次函数化成顶点式，再分类讨论求最值即可．解：y=x2+2ax+3=（x+a）2+3-a2．抛物线开口向上，对称轴为直线x=-a．∴当-a≤1时，即a≥-1，当1≤x≤3时，y随x的增大而增大，当x=1时，y有最小值=1+2a+3=4+2a，∴4+2a=-1，∴a=-，不合题意，舍去．当1<-a<3时，x=-a，y有最小值3-a2．∴3-a2=-1．∴a2=4，∵1<-a<3，∴a=-2．当-a≥3时，即a≤-3，当1≤x≤3，y随x的增大而减少．∴当x=3时，y有最小值=9+6a+3=12+6a．∴12+6a=-1．∴a=-．∵a≤-3．∴不合题意，舍去．综上：a=-2．故选：A．【点拨】本题考查二次函数的最值，对a的范围进行分类讨论是求解本题的关键．6．D【分析】利用根号下的非负性，以及分母不为进行求解，只需恒成立，即只需函数的最小值大于．解：若对任意总有意义，则恒成立，的最小值为，，即．故选：D．【点拨】本题考查了二次函数的最值，根号下的非负性，分母不能为，解决本题的关键是求出二次函数的最小值．7．A【分析】将二次函数解析式配成顶点式，根据自变量的取值范围求出最大值和最小值，即可求解．解：由，可得，∵m＜0，∴当x=-1时，函数有最大值，且，在范围内，函数先递增再递减，则：当x=-3时，y=3+6m，当x=2时，y=3+16m，∵m＜0，∴函数的最小值为：，∵，∴，∴解得，故选：A．【点拨】本题考查了根据自变量的取值范围求解二次函数的最值的问题，将二次函数的解析式配成顶点式是解答本题的关键．8．A【分析】由解析式可知该函数在时取得最小值1、时，随的增大而增大、当时，随的增大而减小，根据时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若，时，取得最小值5；②若，当时，取得最小值5，分别列出关于的方程求解即可．解：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，①若，时，取得最小值5，可得：，解得：或（舍；②若，当时，取得最小值5，可得：，解得：或（舍．综上，的值为或5，故选：A．【点拨】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．9．B【分析】从图象得到、、，结合抛物线对称性求对称轴、利用待定系数法求表达式、根据抛物线图象和性质逐项判定即可．解：A、根据抛物线与x轴交于点、，可得出对称轴，该选项不符合题意；B、根据抛物线的对称轴为，开口向下可知：当时，随增大而增大；当时，随增大而减小，所以当，无法判断与的大小，该选项符合题意；C、根据抛物线与x轴交于点、，可设交点式，再根据抛物线与y轴交于点，代值求解得，即抛物线表达式为，当时，的最大值为1，该选项不符合题意；D、若轴交抛物线于点D，则、关于对称轴对称，从而得到，则，该选项不符合题意；故选：B．【点拨】本题考查二次函数的图象与性质，涉及到图象上点的对称性、待定系数法求表达式、二次函数增减性比较大小、二次函数最值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决问题的关键．10．C【分析】根据二次函数的图象结合二次函数的性质即可得出、二次函数对称轴为以及二次函数的顶点坐标，再逐项分析四个选项即可得出结论．解：观察二次函数图象，发现：开口向下，，抛物线的顶点坐标为，对称轴为，与轴的一个交点为．A、，二次函数的最大值为顶点的纵坐标，即函数的最大值是4，选项正确，不符合题意；B、二次函数的对称轴为，函数的图象关于直线对称，选项正确，不符合题意；C、当时，随的增大而增大，选项错误，符合题意；D、二次函数的图象关于直线对称，且函数图象与轴有一个交点，二次函数与轴的另一个交点为．x＝1或是方程的两个根，选项正确，不符合题意．故选：C．【点拨】本题考查了二次函数的图象以及二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的性质逐条分析四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合函数图象以及二次函数的性质求解．11．D【分析】先求得对称轴为x=-1，再分a>0和a<0两种情况讨论，利用二次函数的性质求解即可．解：对于二次函数y=ax2+2ax+3，其函数图象的对称轴为x=-=-1，当a>0时，a-1>-1，开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而减少，当a-1≤x≤2时，函数y的值在x=2时，取得最大值，∴a×22+2a×2+3<4，解得：a<，∴a的取值范围为；当a<0时，a-1<-1，开口向下，当a-1≤x≤2时，函数y的值在顶点时，取得最大值，∴a×(-1)2+2a×(-1)+3<4，解得：a>-1，∴a的取值范围为；综上，a的取值范围为或，故选：D．【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，利用已知条件画出函数的大致图象，结合图象利用数形结合的方法解答是解题的关键．12．C【分析】求出二次函数的解析式，确定函数的最值，根据所给函数的取值范围，结合函数的图象与性质进行求解即可．解：二次函数（、是常数，）的图象经过点和，∴，解得：，∴，∴二次函数的顶点坐标为，最大值为1，∵当时，函数的最小值为，最大值为1，∴令，则，解得：，，∴，故选：C．【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质．13．

【分析】（1）把P（−2，3）代入中，即可求解；（2）由|m|＜2，结合二次函数的图像和性质，即可求n的范围．解：（1）把P（−2，3）代入中，得：，∴a＝2，∴＝（x＋1）2＋2；∴图象的顶点坐标为（−1，2）；

（2）点Q到y轴的距离小于2，∴|m|＜2，∴−2＜m＜2，∴当m=-1时，y的最小值=2，当m=2时，y的最大值=11，∴2≤n＜11．【点拨】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，找到二次函数图像的对称轴，是解题的关键．14．．【分析】设P（x，x2−2x−3）（0<x<3），根据矩形的周长公式得到C＝−2＋．根据二次函数的性质来求最值即可．解：∵y＝x2﹣2x﹣3，∴当y＝0时，x2﹣2x﹣3=0即（x+1）（x-3）＝0，解得

x＝-1或x＝3故设P（x，y），设P（x，x2﹣2x-3）（0<x<3），∵过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，∴四边形OAPB为矩形，∴四边形OAPB周长C＝2PA+2OA＝﹣2（x2﹣2x﹣3）+2x＝﹣2x2+6x+6＝﹣2（x2﹣3x）+6，＝﹣2+．∴当x＝时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为．故答案为：．【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．15．8【分析】设BD=x，则AC=8－x，而四边形的面积为S=，根据二次函数的性质即可求得面积的最大值．解：如图，设AC、BD交于点O设BD=x，则AC=8－x，其中0<x<8∵∴∵∴当x=4时，S有最大值8故答案为：8【点拨】本题考查了二次函数的性质，四边形的面积，当四边形的两条对角线垂直时，其面积与菱形面积一样，等于两条对角线乘积的一半．把面积最大值转化为函数问题是关键．16．4【分析】设二次函数的解析式为，根据x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝3；当x﹣4时，y＝0列方程组，可求出a、b、c的值，可得二次函数解析式，转化为顶点式即可得答案．解：设二次函数的解析式为，∵x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝3；当x﹣4时，y＝0，∴，解得：，∴二次函数的解析式为，∴该斜抛物体的所能达到的最大高度是4m，故答案为：4【点拨】本题考查二次函数的最值，利用待定系数法求出二次函数解析式，熟练掌握二次函数各种形式解析式的转化是解题关键．17．

1

【分析】（1）连接AO，DO，证明，可得，求出即可求解；（2）设，则，由勾股定理可得，即可求EF的最小值．解：（1）连接AO，DO，∵，∴，∵四边形ABCD是正方形，O是中心，∴，，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴故答案为：1；（2）设，则，，在中，，∴当时，EF有最小值，故答案为：．【点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的性质，熟练掌握二次函数求最值的方法是解题的关键．18．4【分析】作PM⊥AD与M，根据正方形的性质易得PM＝DM，设PM＝DM＝x，则AM＝4−x，根据等腰三角形的性质即可得出AF＝2（4−x），由三角形面积公式得出S△APF，进而根据二次函数的性质即可求得结果．解：作PM⊥AD与M，∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ADB＝45°，∴△PDM是等腰直角三角形，∴PM＝DM，设PM＝DM＝x，则AM＝4−x，∵AP＝PF，∴AM＝FM＝4−x，∴AF＝2（4−x），∵S△APF＝AF•PM，∴S△APF＝×2（4−x）•x＝−x2＋4x＝−（x−2）2＋4，∴当x＝2时，S△APF有最大值4，故答案为：4【点拨】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．19．【分析】根据，可得，进而可知，由，进而根据两点间距离公式进行求解即可．解：∵，∴，∴，∵，∴点P到原点距离为：，∴点P到原点O的距离的最小值为：，故答案为：．【点拨】本题考查二次函数的最值问题，点到原点的距离，能够掌握数形结合的思想是解决本题的关键．20．3或-6【分析】根据题目中的函数解析式和当0≤x≤2时，y的最大值是2，利用分类讨论的方法可以求得m的值，本题得以解决．解：二次函数y=-x2+mx+=-（x-）2+，当时，即m＞4，在0≤x≤2时，x=2时取得最大值，则2=-22+2m+，得（舍去）；当＜0时，即m＜0，在0≤x≤2时，x=0时取得最大值，则，得；当0≤≤2时，即0≤m≤4，在0≤x≤2时，x=时取得最大值，则，得，（舍去），由上可得，m的值是3或．故答案为：3或．【点拨】本题主要考查考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答．21．①②③【分析】中令y=0得：，得A（-1，0），B（3，0），从而判断①；中令x=0得：y=6，得C（0，6），从而判断②；过点作轴，交于点，求出BC的函数关系式，得出点的坐标为，点的坐标为，再列出S关于m的函数关系式，最后求出其最大值，从而判断③．解：∵抛物线与x轴相交于于点，，∴令y=0得：，解得：，∴A（-1，0），B（3，0），∴AB=4故①正确；∵抛物线与y轴相交于于点C，∴令x=0得：y=6，∴C（0，6），∴OC=6，故②正确；过点作轴，交于点，如图1所示．设直线的解析式为，将、代入，得，解得，直线的解析式为．点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，点的坐标为，则点的坐标为，，，当时，面积取最大值，最大值为．故③正确，故答案为：①②③．【点拨】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，二次函数的性质，坐标与图形的性质等知识，熟练运用方程思想及分类讨论思想是解题的关键．22．

不在

（2，5）【分析】（1）将代入计算即可；（2）先用m表示出顶点坐标，然后确定顶点坐标纵坐标的最大时m的值，进而确定顶点坐标即可．解：（1）∵m＝0，∴抛物线解析式为将代入可得：．∴当m＝0时，点（2，4）不在抛物线上，故答案为：不在．（2）即∴抛物线的顶点坐标为：（,）∵当顶点移动到最高处时，即纵坐标取最大值而．∴当m=3时，纵坐标最大，即顶点移动到了最高处，此时顶点坐标为（2,5）．故答案为：（2，5）【点拨】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的最值等知识点，确定二次函数的顶点坐标成为解答本题的关键．23．【分析】由x＋y＝5得x＝5-y，代入xy＋1得（5-y）y＋1=-y2+5y+1，进而求出最值．解：由x＋y＝5得x＝5-y，∴xy＋1=（5-y）y＋1=-y2+5y+1=-（y-）2+，∵-1<0，∴当y=时，xy＋1有最大值，且最大值为．故答案为：．【点拨】本题考查一元二次方程的最值问题，用一个未知数表示另一个未知数进而求最值解决问题的关键．24．【分析】根据二次函数的性质求出对称轴，然后结合线段的长不大于2，求出的取值范围，再根据的增减性，求出最小值．解：∵抛物线过点，两点，∴对称轴为：，∴顶点为，∴由题意可知，∵线段的长不大于2，∴，∴，∵当时，随着的增大而增大．∴当时，有最小值，最小值为；故答案为：.【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得出，求出a的取值范围是解题的关键．25．(1)(2)y=x2+2x-3(3)【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线表达式列等式，再根据对称轴列等式，依此分别把b、c用含a的代数式表示，即可解答；（2）利用（1）的结果，根据面积为6，建立方程求解即可；（3）分两种情况讨论，即①当m-1≥-1时，②当m-1＜-1时