2022年北京四中高二数学期末考试卷及答案(一)

2022年北京四中高二数学期末考试卷及答案（一）

考试时间：120分钟

姓名:班级：考号：

题号——总分

得分

-、选择题（本大题共10小题,每小题3分，共30分）

1.下列叙述不正确的是（）

A.已知a,占是空间中的两条直线，若则直线a与b平行或异面

B.己知I是空间中的一条直线，&是空间中的一个平面，若则lua或I与a

只有一个公共点

C.已知a,A是空间两个不同的平面，若则，必相交于一条直线

D.已知直线］与平面z相交，且J垂直于平面a内的无数条直线，则

2.已知直线4：》+"+7=°和12：（a—2A+3y+1=°互相平行，则（）

A.a=3B,a=-l

C.。=-1或a=3D.a=l或。=-3

3.若空间向量a,b不共线，且一a+（3x—y）b=xa+3b,则xy=

A.1B.2C.4D.6

4.已知向量^£不共线，、L'',rrr,如果r-,那么（）

a力c=d=a-bdid

A._f同向B._f反向

金=1目占d左=1日占id

C.*=一狙占4同向D.*=一狙_。与d反向

5.已知圆°二，+丁=4,从圆上任意一点M向V轴作垂线段MN,N为垂足，则线段MN

的中点P的轨迹方程为（)

心

A.44

工+匕=13-1

C.16D.416

6.某省新高考方案规定的选科要求为:学生先从物理、历史两科中任选一科，再从化学、生

物、政治、地理四门学科中任选两科.现有甲、乙两名学生按上面规定选科，则甲、乙

恰有一门学科相同的选科方法有（）

A.24种B.30种C.48种D.60种

2

7.已知一个圆柱的侧面积等于其表面积的M,且其轴截面的周长为24,则该圆柱的体积为

（）

A.B.27xC.36网D.54»

8.圆E：与圆F：＜廿一4工-4"4=0的公切线的条数为（）

A.1B.2C.3D.4

C._h_J

9.双曲线.42的右焦点为F,点P在椭圆C的一条渐近线上.（）为坐标原点，则

下列说法错误的是（）

£

A.该双曲线离心率为2

金21

B,双曲线42与双曲线C的渐近线相同

c,若尸”，则a/w的面积为0

D.吃I的最小值为2

10.设函数1一无，则函数的图像可能为（）

二、填空题（本大题共10小题,每小题3分，共30分）

11.若父=/则正整数”=.

12.在平行六面体幺睨*）—中，^RAD==N/七Z）=6QP,*=3,JLD=4,

H4'=5,则/C*=.

13.在I%）的二项展开式中，常数项为________.（用数字作答）

2

14.椭圆73的离心率为.

X2y3

—=■——=l(fl>0,6>0)m

15.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线炉«的右焦点到一条渐近

旦

线的距离为2,则其离心率的值是.

16.如图，梯形ABCD中，加〃"，AD=AB=1,ADLAR,ZBCD=45°,将^ABC

沿对角线BD折起，设折起后点A的位置为d',且平面♦即_L平面BCD,则下列四个

命题中正确的是.

①HZ)J_笈C；

②三棱锥d'-BCD的体积为

③CD■平面4'BD

④平面/，皿JL平面，OC

X2V2,

———=l(a>0)

17.若双曲线。16经过点(2,0),则该双曲线渐近线的方程为

18.寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A、B、C、

D、E五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人

坐对与自己车票相符座位的坐法有种.

x2v2

19.已知点F是双曲线ab的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F

且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若aABE是锐角三角形，则该双曲线的

离心率e的取值范围建.

x_1

~—snx+cosx=-$LPiKH一

20.已知2,5,则皿》一

、解答题(本大题共9小题,每小题10分,共90分)

txZPAB=2,tinZPKi=-

21.如图，设点A、B在五轴上，且关于原点0对称.点P满足2,

且△»，州的面积为20.

(n)以A、B为焦点，且过点P的椭圆记为C.设MQo，%)是c上一点，且T<9<3,

求此的取值范围.

i2—a2—c2CDS(J4+C)

22.在锐角三角形ABC中，角A,RC所对的边分别为&b,c,且皿sindcnsd

(1)求角A；

(2)若"=应，求6c的取值范围.

23.已知抛物线0：丁=23「>°),过抛物线C的焦点F且垂直于K轴的直线交抛物线C

于两点，闻=4

①求抛物线C的方程，并求其焦点F的坐标和准或的方程；

⑵过抛物线C的焦点F的直线与抛物线C交于不同的两点A、B,直线Q*与准线’

交于点M.连接过点F作访的垂线与准线'交于点N.求证：.“'处三点共线

24.已矢口长方体ABCD—ABCD，以=色，AB=2BC=2,E雌AB的中点，FM

>111

段4c的中点.

B

（1）求证：跳7/平面Ba通

（2）求直线皿与平面力印所成角的正弦值.

25.已知函数/8=丁一3工

⑴求函数f（x）的单调区间；

（2）求函数f（x）在区间［-1,3］上的最大值和最小值.

26.设S为数列｛a｝的前n项和，已知W€N*

nn

（D求珥，■,并求数列｛a｝的通项公式；

（II）求数列｛"｝的前n项和4.

士+且=1e=—

27.已知椭圆/*2（a>b>0）的左、右焦点分别为维，Fi,离心率2,椭

圆的短轴长为2.

（1）求椭圆的标准方程；

1

（2）已知直线4,弓过右焦点用，且它们的斜率乘积为2,设工勺分别与椭圆交

于点A,B和C,D.

①求3+8的值；

②设AB的中点M,CD的中点为N,求口面积的最大值.

28.已知“七M，»>2,给定“X"个整点（不，），其中IWK,KywW，

（1）当”=2时从上面的2X2个整点中任取两个不同的整点（不，“），（巧，％）,求不*〜

的所有可能值；

、5u.

I7X2---1

（2）从上面"X"个整点中任取m个不同的整点，2

⑴证明：存在互不相同的四个整点（小贝），（、㈤，匕』），佑吗），满足M",

4=区，4.

*»

（ii）证明：存在互不相同的四个整点由M）,《乂），（巧多），区外）,满足

29.袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个每次从袋中随机摸出1

个球，摸出的球不再放回.求：

（I）第一次摸到红球的概率；

（II）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；

（III）第二次摸到红球的概率.

2022年北京四中高二数学期末考试卷及答案（一）解析

0.

-'选择题

1.【答案解析】

D

【详解】

对于A,空间两直线没有公共点，由空间两直线位置关系的分类知，两直线平行或是异面

直线，A正确；

对于B,直线与平面有公共点，由直线与平面位置关系的分类知，直线与平面有无数个

公共点（直线在平面内）或仅只一个，即B正确；

对于C,两个不重合平面有公共点，由平面基本性质知，它们有且只有一条经过公共点

的公共直线，即C正确；

对于D,正三棱锥的侧棱垂直于底面三角形与该棱相对的边，而在底面三角形所在平面内

与该边平行的直线都垂直于这条棱，正三棱锥侧棱不垂直于底面，即D不正确.

故选：D

2.【答案解析】

C

【分析】

根据两直线平行的条件求解.

,a-231

//------=-3t-

【详解】a=°时.，两直线显然不平行，“#°时，则1"7,解得a=-L

或a=3.

故选：C.

3.【答案解析】

D

T（r—]

,解得.‘从而.”一6.

{3J3*ly=6.

4.D

5.【答案解析】

A

【分析】

利用相关点法即可求解.

【详解】设线段的中点.工同，皿与小），

1o+O户”

所以I2，解得卜。=即，

又点M在圆°：1+'=4上，

贝产即彳*…

故选：A

6.【答案解析】

I）

【分析】

以甲，乙所选相同学科是否在物理、历史两科中分为两类，每类中由排列组合公式和基本

原理可求.

【详解】解：分为两类，第一类物理、历史两科中是相同学科，则有中羽=匕种选

法；第二类物理、历史两科中没相同学科，则有种选法，

所以甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有12+48=60种，

故选：刀.

7.【答案解析】

D

【详解】

设圆柱的底面半径为高为.

2

♦.•圆柱的侧面积等于表面积的3,且其轴截面的周长是24,

2

2r/ft=^x2rA（*+2t）

4=3

,2h+4R=24,解得h=6

圆柱的体积为，=，展A="r，

故选:D.

8.【答案解析】

B

【分析】

求出两圆的圆心坐标与半径，由圆心距与半径间的关系可知两圆相交，从而得到两圆公

切线的条数.

【详解】解：化7+八4乂+4"4=。为6-毋"+2）2=4

可知圆尸的圆心坐标为（4一2）,半径为2:

又圆民，+产=1的圆心坐标为（。，0）,半径为1.

［匹卜依-+（-2-01=2立即2-14邱>2a<2+1

二圆芭与圆尸相交，则公切线条数为2.

故选：B

9.【答案解析】

D

【分析】

A.根据双曲线方程，求出a,b,c,利用离心率公式求解判断；B.分别求出两个双曲

线的渐近线方程判断；C.根据点P在渐近线上，又POLPF,利用直线P0与直线

PF的方程联立，求得点P的坐标求解判断；D.由1^1的最小值为点F到渐近线的距离

求解判断.

【详解】A.因为双曲线方程为,42，所以a=2,b=j2,c=^

c娓

o=—=___

则a2,故正确；

X2/^---=1=±当

B.双曲线C彳一亍二1与双曲线彳万一的渐近线方程都为“――了"，故正确；

=包五

C.设，住,），因为点P在渐近线上，不妨设渐近线方程由-2%,即为直线P0

的方程，又因为WP%所以直线PF的方程为彳"［一”），由

y=SR）尸，竽,竽）S=L辰组=&

I），解得I3,即I33人所以2V3,

故正确；

D.尸（废°）,其中一条渐近线小一了"则吃।的最小值为点F到渐近线的距离，

落遍

LT

即2）,故错误；

故选：D

10.【答案解析】

B

解析：

y(—x)=—xln^~—=—xln

=〃x)

所以,㈤为偶函数，排除A,C；

X-%-In—1=-ln3>0

W2j_l2

，排除D,故选B.

二'填空题

11.【答案解析】

5

【分析】

按组合数、排列数公式列出等式求解即可.

~~—=n(n—l)(n—2),(H>3)

【详解】由0=4得2x1'八1,

解得”=5

故答案为：5

12.【答案解析】

而

［分析］_____________________

在平行六面体中，利用对角线向量苻=7万+万土石\利用向量的平方等于向量模

的平方，结合向量数量积的运算律求得结果：_________

【详解】由平行六面体的特征可知d0'=3+牙，

所以

=(AB+AD+AA'f=AB+JD+"AD+2ABAA,+2JDAA,

=9+16+25+2x3x4xi+2x3x5xl+2x4x5xi

222

=50+12+15+20=97

所以蜀・=4，

故答案为：质.

13.【答案解析】

15

【分析】

由二项式展开式通项有m疝=."',可知常数项的值;

6-r।丝

%=11(与'=%丁

【详解】二项展开式通项为x

.•.当r=2时，常数项&=2=15

故答案为：15

14.【答案解析】

15.【答案解析】

2

分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.

y=±-x,

详解：因为双曲线的焦点尸到渐近线即版土卬=0的距离为

|*c±0|be6j/门232121

/,,--b=—c<r=tr-b=c—c=-c,a=-c,e=

八”c所以2,因此442

16.【答案解析】

③④

【分析】

利用线面垂直、面面垂直的判定定理以及性质定理可判断①的；利用三棱锥的体积公式

可判断②.

【详解】解：如图所示：

设中点为其，连接d'E,

对①，：加=幺&=1,即，Z)=，A=1,

二4EJJW),

又：平面/初J_平面才8,

:-HEJ_平面,

又；BCu平面58

：.A'E±BC,

若/'Z)_LZJC,

EDc屋=4,

二BC■平面dBD,

又Q刖u平面/的，

：.BC±BD

与已知矛盾，所以①错误；

，对②，JD=JS=1,ADLAR,

：.^E=—

2BD=①r

又；4CD=450

：.CD±BD

二坨ax?=jX、历=1

J=¥哼谱,所以②错误;

对③，•-•平面4如，平面公CD,

平面ABDn平面BCD=BD,

BC±BD

\m八平面幺'即.所以③正确；

对④，：COJ■平面幺'劝，

CDu平面4DC,

---平面平面劝C,所以④正确

故答案为：③④.

17.【答案解析】

y=i2r

【分析】

将点(2°)的坐标代入双曲线的方程，求出实数”的值，进而可得出该双曲线的渐近线

方程.

【详解】将点(2°)的坐标代入双曲线的方程得1一1，：a>°，可得。=2,

±-2=1

所以，双曲线的方程为416",因此，该双曲线的渐近线方程为>==12r.

故答案为：y=±2x

18.【答案解析】

45

【分析】

先选出坐对位置的人，再对剩下四人进行错排，最后利用分布计数乘法原理求结果.

【详解】先选出坐对位置的人，即从5人中选1人，有5种可能；

剩下四人进行错排，设四人座位为123,4,则四人都不坐在自己位置上有

2143.23412413,3142,341X3421412X4312,43219种可能

所以恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有5x9=45种

故答案为：45

19.【答案解析】

(1,2)

20.【答案解析】

7

三、解答题

2L【答案解析】

(I)(-X4)(„)[-2^,-4)0(12^]

【分析】

（1）设典c，0）,根据点P满足2,得到直泌4的方程

l、

xy=—（zx-c）

为,=4x+cj,直线PR的方程为2,两方程联立用c表示点P的坐标，

2S=-|^UJ||y,|=20

再根据△A我州的面积为20,由2*求得c即可.

（1D由⑴得4T唳G叫P（T»从而由口+四出网）求得a,进而得

到椭圆C的方程，然后根据一1</<3求解.

则直线’”的方程为y=WG,直线网的方程为2

r3c

jr=2(jc+c),x=——

户T

由

、PMs=$网-3-1

故的面积25.

-<?=20

所以5,

解得。=5.

所以点P的坐标为（3②.

w由⑴色竺丝色°）,___________

所以|口|=7（-5+5）2+42=2,\PB\=7（-3-=玷

fy2

-Cl今*彳=1

设以46为焦点且过点尸的椭圆方程为Qb.

但皿1+1网）=",2,2M

则2,又b=<r-c=20

"=1

所以椭圆C的方程为4520

W+区=1即…造

所以4520

因为-1<与<3,所以<9.

所以16<就《叫

所以％的取值范围是卜2而.T）U（4,2/1.

22.【答案解析】

（1）q(2)

【分析】

b2—a2—c2cos(Z+C)

（1）由余弦定理结合皿sin/cosd可得2sin幺cosd=lg|jan2j4=l,

0<A<—

又因为2,即可得解:

b

sinAsinCsind'反

（2）由正弦定理可得~2

*c=4sm5smC=4sii5sm(--J)=2sin(2JJ--)+^

由44再结合三角形幺8c为

nn

—<B<—

锐角三角形可得42,即可得解.

CBSB=

【详解】（1）由余弦定理可得lac

b^-^-c2

—2cos5=

所以ac,

cos(d+C)

又Hsindcosd

cos(^4+C)—cx)sB

—2cosB=―—----------=---------------

所以An/cos/sindcosd,

因为4RC为锐角三角形，所以2sindcos/=l,

c▲K/露

0<d<—d=—

即-24=1,又因为2,所以4

A=-j-

(2)由(1)知4,由“=虫，

b

anBsinCanjl也

可得

A=-

由4,且三角形幺8°为锐角三角形,

jr_jr

C=--B—<B<—

所以4，且42

be=4saiBsnC=4smBdn^^--S)=2x/2sinA(cosB+smjB)

4

=&sin2B+&Q-cos2B)=2sin(22-马+&

4

x-x龙•"»无'3"

—<S<——<25—<—

又42,所以444

—<sin(25--)<l2&<2dn(2S-与+&K2+应

所以244

“(班,2+&]

所以加的取值范围为'」.

23.t答案解析】

(1)抛物线°的方程为「=",焦点"坐标为(1,0),准4方程疔=T⑵证明

见解析

【分析】

p=2

(1)根据抛物线通径的性质，得出，即可求出抛物线的标准方程，即可得出焦

点坐标和准线方程；

(2)根据题意，设直线,，与抛物线方程联立，求出则口，

-41

M—L—,、=—

uv,=-4I稣九1乂)..Jif

,通过直线相交分别求出和，从而求出和

%。凡N

,通过化简求出，即可证出三点共线.

|坦=2p=4p=1

【详解】解：(1),贝I

y2=4x

故抛物线的方程为:

F(X0)

其焦点坐标为，准线方程为:

X=£JF+1

AB:x=fy+l

(24设直线，联立，

/-4^-4=0A=lft2+16>0

得，贝！J，

〃(鼻乂)典巧/2)凶+M="卬2=^

设，，贝J,

OA:y=—x

法1：直线

则直线网的斜率

直产,"一"7则点可』）

直线叩的斜率％=-M.

所以a旦"三点共线,

OA:y=—x

法2：直线不，

2.y=­xM

由M=4不得%,故点

由叩2=T,得M(T%)

*—2=

直线W的斜率9-1-1

FN.y=—[x-^N

直线外,得点

由卬2=T,得N（-LX）

直线卯的斜率%=F.

%=&Ikm=—

直线的斜率、，由艮=4巧得“一点

由Wi=T,得々》=一乂，

则有b=%.所以°＞况W三点共线.

/去3：（]）,♦♦II,2,,.OF=1p=2

,抛物线C的标准方程为：/=4%，

则焦点坐标为:尸（1°）,准线方程为:Z:x=-1

（2）设直线％：工=**1,联立得：/-4^-4=0

八=]#+16>0

孰+必=4£

耳片=y

设/（不，乂），A（巧,1y2）,

网:尸-在任-1）

...直线队

N

y=—。.

当£=—1时，乂，••

%—*啜

皿2+4凝巧y1yz+4（+膏+1）（+必+1）

（4+2+1）^+4+（^+^）+4

-4（4+2+1）+16+2+4

=--------------------------------=0

.kw=iwo

：.3*共线.

24.【答案解析】

CC.

解：，、（1）如图：取r的中点G,连接GF,GB,

EBH-AB

2=2：.FGHERF<^E

则,又­,则四边形为平行四边形,

JEFIIGB,又班也面38^,GBu面B8tsi二.〃平面

(2)如果建立空间直角坐标系，

£(UO),F|1,L1)题LO,O)，V@O,⑹

则

DE=(UO),DF=0,L科巫=(T0,⑹

设面的的法向量为'=(%""),

[x+jr=O

"争=。,令f可一阳网

则

设直线皿与平面”质所成角为0,

-6一四T_卜色：动|辰

|西|洞4+373+3+2220

则LIII,

回

所以直线A一D.与平面"DEXF所成角的正弦值7小0

25.t答案解析】

〃“)(-»,-1)Q9(U)

(1)函数的单调递增区间为和，单调递减区间为(2)

最大值为18,最小值为一？.

【分析】

(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

(2)根据函数的单调性求出函数的极值点，从而求出函数的最值即可.

33=7-3x=3X2-3

【详解】(1)因为，所以

)=0凝=T5=1

令，解得，

r(x)/(X)

ST…(-U)(L*®)

X—11

r㈤+0—0+

〃工)□极大值□极小值□

所以，函数，(无)的单调递增区间为(T°bD和Q1®),单调递减区间为(T4)

(2)因为函数〃")在区间【—Ui上单调递减，在区间【Ui上单调递增，

又f(—D=270)=-2,/(3)=18

所以，函数,㈤在区间[F]上的最大值为18,最小值为-2.

26.【答案解析】

⑴1,2,,M2"1；(]])霏=ST)2°+1

【分析】

⑴代入数据计算得到♦，.，利用公式q=S「邑4得到%=%,计算得到答

案

(II)直接利用错位相加法得到答案.

[详解]⑴：缄=/二当”=1时，2._.=sr5»

:4,0二，=1

当”=2时2.-1=1+.二4=2

以一42%一4

=S「Sz==况-2^

A

二值｝是首项为4=1公比为1=2的等比数列

(II)设工=1-.+2-勺+3-Oj+…+

则0工=1勺4+2/4+3goj+-Tn£4

即0工=1，+2%+3%+…+a〜

上式错位相减：

(1-M=4+«2+/—

l-ga

—=2a-l—H-2R

1-g

二焉=01-。2”“次

27.【答案解析】

-+/=1厂在

(1)2；(2)①3也；②8

分析：

①由短轴长为2,得到占=1,再由离心率结合臣=笳+，计算可得椭圆方程;

②①由直线〃，co过右焦点耳，设出直线〃的方程与椭圆方程联立，列出韦

达定理，计算出弦长乂笈，再由两直线的斜率乘积为2,将弦长〃中的斜率变为

2t可得弦8,相加即可得解；

②由中点坐标公式求出M、"的坐标，观察坐标知MW的中点T在工轴上，所以

整理后利用基本不等式即可得到面积的最值;

2b=2

c梃ft=1

a2a=^2

3

C=1—+J=1

解答：解：(1)依题意可得解得一，故椭圆的方程为2

(2)①设々的方程为了=无任-1),/(OM),典巧」2)

y=i(x-l)

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