2022-2023学年八年级数学上册专题1 1 .9 三角形章末重难点突破

专题11.9三角形章末重难点突破

【人教版】

三边都不相等的三角形

按边分底和腰不相等的三角形

等腰三角形

等边三角形

分类

直角三角形

按角分锐角三角形

斜三角形

钝角三角形

三角形的两边之和大于第三边

三条边

三角形的两边之差小于第三边

稳定性

角平分线三条角平分线交于一点叫内心

I与三角形有关的线段1中线三条中线交于一点叫重心

高线三条高线交于一点叫垂心

三角形的内角和定理三角形内角和是180。

概念三角形的一边与另一边的延长线组成的角

三角形的外角和为360。

与三角形有关的角

、三角形的外角出音/三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

性质L------------------------------------------

\三角形的一个外角大

I于和它不相邻的任何一个内角

n边形的内角和为(n-2)・18(F(n23)

n边形的外角和为360°(n23)

n边形的对角线为n(n-3)/2条

每条边都相等

正n边形/每个内角都相等为[(n-2)・180°]/n内23)

、每个外角都相等为36(F/n

(多边形具有不稳定性

物充1^三

【考点1三角形的三边关系】

【例1】（2021春•沙坪坝区校级期末）一个三角形两边长分别为3,7,若它的周长是小于16的整数，则

第三边的长为（）

A.1B.3C.5D.7

【分析】设第三边的长为/,再根据三角形的三边关系进行解答即可.

【解答】解：设第三边的长为/,贝II7-3＜/＜7+3,即

.♦.14〈周长〈20,

•••它的周长是小于16的整数，

周长为15,

第三边长为5,

故选：C.

【变式1-1］（2021春•九江期末）小明现有两根4c制、9c5的木棒，他想以这两根木棒为边钉一个三角形

木框，现从5cm,7cm,9cm,Wcm,\3cm,17cnz的木棒中选择第三根（木棒不能折断），则小明有

种选择方案.

【分析】根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差〈第三边，求得第三边的取值范围；再

从中找到符合条件的数值.

【解答】解：根据三角形的三边关系，得：第三根木棒应＞5。"，而＜13cm.故7a〃，9cm,llc/w能满

足，有三种选择方案.

故答案是：三.

【变式1-2］（2021春•西城区校级期中）长度为20厘米的木棍，截成三段，每段长度为整数厘米，请写出

一种可以构成三角形的截法，此时三段长度分别为9厘米，9厘米，2厘米（答案不唯一），能构成

三角形的截法共有8种.（只考虑三段木棍的长度）

【分析】已知三角形的周长，分别假设三角形的最长边，从而利用三角形三边关系进行验证即可求得不

同的截法.

【解答】解：•••木棍的长度为20厘米，即三角形的周长为20厘米，

...①当三角形的最长边为9厘米时，有4种截法，分别是：9厘米，9厘米，2厘米；9厘米，8厘米，3

厘米；9厘米，7厘米，4厘米；9厘米，6厘米，5厘米；

②当三角形的最长边为8厘米时，有3种截法，分别是：8厘米，8厘米，4厘米；8厘米，7厘米，5厘

米；8厘米，6厘米，6厘米：

③当三角形的最长边为7厘米时，有1种截法，是：7厘米，7厘米，6厘米；

能构成三角形的截法共有4+3+1=8种.

故答案为：9厘米，9厘米，2厘米（答案不唯一）；8.

【变式1-3］（2021春•嵩县期末）如图所示，力是△ABC的边4c上任意一点（不含端点），连结8。，请

判断A8+BC+AC与2B。的大小关系，并说明理由.

【分析】根据三角形两边之和大于第三边即可求解.

【解答】解：AB+BC+AO2BD.理由如下：

在△A8O中，AB+AD>BD,

在△BCD中，BC+CD>BD,

：.AB+AD+BC+CD>2BD,

即AB+BC+AO2BD.

【考点2三角形的稳定性】

【例2】（2021春•长春期末）下列图形中，具有稳定性的是（)

【分析】根据三角形具有稳定性进行解答即可.

【解答】解：4、图中没有三角形，不具有稳定性，故此选项不符合题意：

B、图中含有四边形，不具有稳定性，故此选项不符合题意；

C、图中含有四边形，不具有稳定性，故此选项不符合题意；

。、图中均是三角形，具有稳定性，故此选项符合题意；

故选：D.

【变式2-1］（2021春•道里区期末）工程师设计屋顶时通常把钢架屋顶设计成三角形，这样做应用的数学

原理是.

【分析】根据三角形的稳定性解答即可.

【解答】解：工程师设计屋顶时通常把钢架屋顶设计成三角形是利用三角形具有稳定性，

故答案为：三角形具有稳定性.

【变式2-2］（2021春•洛江区期末）要使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，至少要再钉2根木条.

C

【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会

改变.

【解答】解：再钉上两根木条，就可以使五边形分成三个三角形.故至少要再钉两根木条.

【变式2-3］（2021秋•岳池县期末）如图这是一个由七根长度相等木条钉成的七边形木框.为使其稳定，

请用四根木条（长短不限）将这个木框固定不变形，请你设计出三种方案.

方案一方案二方案三

【分析】将七边形分成三角形，根据三角形具有稳定性进行画图即可.

【解答】解：三种方案如图所示：

【例3】（2021春•迁安市期末）如图，在AABC中，AD,AE分别是边CB上的中线和高，AE=6cm,

ABD=\2cm2,则BC的长是（）

【分析】由AC为CB边上的中线可得SAABC=25AABO=24a”2,再根据三角形ABC的面积计算公式［BC•

AE=24,可解出BC的长.

【解答】解：为C8边上的中线，

:.S/\ABC=2s△ABQ=24cm2,

即工BC.AE=24,

2

又AE=6cmf

解得：BC=8cm,

故选：C.

【变式3・1】（2021春•贵阳期末）如图，AO为△ABC的中线，BE为△A3。的中线.若△ABC的面积为

60,BD=5,则△8DE的8。边上的高是()

【分析】由中线AO推出△A3。的面积，再由中线8E推出的面积，最后结合80=5求出边

上的高.

【解答】解：是△A8C的中线，5AABC=60,

',­S^ABD=*SAABC=*x60=30,

8E是△ABO的中线，

:.S&BDE=：SAABD=x30=15,

设5。边上的高为〃，80=5,

11

-BD-h=~x5X/?=15,

22

故选：D.

【变式3-2](2021春•宽城区期末)如图，△ABC的面积为30,A。是AABC的中线，BE是△A3。的中

线，EF上BC于点、F.

(1)求aBOE的面积.

(2)若EF=5,求CQ的长.

11

【分析】(1)由中线性质可得S^ABD=2s△A8C，S&BED=金＞ABD,即可得答案；

1155

(2)由三角形面积公式S△曲=加0,环，即三=5加可得80=3,从而由中线性质可得。=5。

=3.

【解答】解：(1)是8c的中线，

•,-S&ABD=^SMBC=/x30=15，

是△A8O的中线，

•♦SABED=2sZ\AB0=3X15=.

(2)'：EFLBC,

1155

:.S^BDE=5BD•EF,即——=-BD,

222

：.BD=3,

是△ABC的中线，

：.CD=BD^3.

【变式3-3](2021春•江都区期末)如图，在△ABC中，NA=NBCD,CDLAB于点D,BE平分N4BC

交CD、CA于点F、E.

(1)求/ACB的度数；

(2)说明：ZCEF=ZCFE.

(3)若AC=3CE、AB=4BD,△ABC、/XCEF.△BDF的面积分别表示为SAABC、SKEF、SABDF,且S

△ABC=36,则SACEF-S/\B£>F=(仅填结果).

【分析】（1）由CQ_LAB得/A+NAC£）=90°,结合NA=NBCQ,从而得NBCQ+NACQ=90°,即

ZACB=90a；

（2）由（1）可知乙4c3=90°,则有NCEF=90°-NCBE,再由COJ_A8得N8FD=90°-NDBF,

结合BE是NA8c的平分线，有NCBE=NDBF,从而有NCEB=NBFD,最后由对顶角/CFE=/8FQ,

即可求解；

（3）由已知条件可得：CE=%C,BD=；BD,由的面积为36,可得：。=焉，«C=^|,再由

SACEF-S&BDF=SABCE-SABCF-(S&BCD-SABCF).整理得S&CEF-S&BDF=S&BCE-SABCD,结合三角形

的面积公式即可求解.

【解答】解：(1)'：CD±AB,

・・・NA+NAO)=90°,

・・•NA=NBC。，

AZBCD+ZACD=90°,

即NAC8=90°；

(2)由(1)可知NAC8=90°,

：.ZCEF=90Q-NCBE,

u：CDLAB,

：.ZBFD=90°-/DBF,

〈BE是/ABC的平分线，

：.NCBE=NDBF,

:.NCEB=NBFD,

•：NCFE=/BFD,

:・NCEF=NCFE；

(3)VAC=3CE>A8=48O,

：.CE=^AC,BD=%B,

*/S^ABC=36,/XABC是直角三角形，

179

：.-AB-CD=36,得：CD=着，

179

-AC*BC=36,得：BC=浣,

・・,由(1)可得△BCE,△BOb是直角三角形，

:.SdCEF-SABDF=S&BCE-S^BCF-(S^BCD-S2BCF),

整理得：S^CEF-S^BDF—S^BCE-S8BCD

11

=^BC-CE-^BD-CD

1721"1I4。72

=2、而x^AC-zX/Bx而

=12-9

=3.

故答案为：3.

【考点4三角形内角和定理的应用】

【例4】（2021春•道里区期末）如图，在△ABC中，。是4c上一点，E是AB上一点，BD,CE相交于点

F,ZA=60°,NA8O=20°,ZACE=35°,则NEFQ的度数是（）

;

A.115°B.120°C.135°D.105°

【分析】由的内角和为180°,可以求NAO8,由△AEC内角和为180°,可以求ZAEC,再根

据四边形AEFD内角和为360°,可求NEED

【解答】解：在△AEC中，ZA+ZACE+ZAEC=\S0°,

：.Z/l£C=180o-ZA-ZACE=180°-60°-35°=85°,

在△ABQ中NA+NA8Q+NADB=180°,

.•./AZ）B=180°-/A-NABO=180°-60°-20°=100°,

在四边形中，ZA+ZAEC+ZADB+2ZEFD^360e,

AZEFD=360°-ZX-ZAEC-ZADB=360°-60°-85°-100°=115°,

故选：A.

【变式4-1］（2021春•高州市期末）如图，小明从一张三角形纸片ABC的4c边上选取一点M将纸片沿

着BN对折一次使得点A落在A'处后，再将纸片沿着8A'对折一次，使得点C落在BN上的C'处，

已知NCMB=68°,/A=18°,则原三角形的/C的度数为（）

C.75°D.72°

【分析】己知乙4=18°,欲求ZC,需求NA8c.如图，由题意得：△ABVgZWBN,XCBN9丛

CBM,得N1=/2=N3,ZCMB=ZCMB=68°,则需求/3.根据三角形内角和定理，得/3+/C

=112°,NA8C+NC+18°=180°,即3N3+NC=162°,故求得N3=25°

【解答】解：如图，

由题意得：BN,/\CBN^/XCBM.

二/1=/2,/2=/3,/CMB=NCMB=6S°.

N1=N2=N3.

ZABC=3Z3.

又・・・N3+NC+NCM8=180°,

・・・N3+NC=1800-NCM8=180°-68°=112°.

又・・・NA+NABC+NC=180°,

A180+2N3+(Z3+ZC)=180°.

/.180+2/3+112°=180°.

・・・N3=25°.

.\ZC=112°-Z3=112°-25°=87°.

故选：A.

【变式4-2](2021春•兴隆县期末)在△ABC中，ZBAC=90°,ZACB=60°,点P为8C上任意一点,

可以与C重合但不与点3重合，A。平分NB4P,5。平分NA3P.

(1)当点尸与。重合时，求NADB的度数；

(2)当AP,5c时,直接写出NAO3的度数；

(3)直接写出NAO3的取值范围.

D

B

PC

【分析】(1)由三角形的内角和定理求得NABC的度数，利用角平分线的定义可求解NA8O的度数，

结合点P与C重合时/BAP=90°,利用角平分线的定义可求解/84O的度数，再利用三角形的内角定

理可求解

(2)由当8c可得NAP8=90°,利用角平分线的定义可求解NA8Q,N8AO的度数，再利用三角

形的内角定理可求解；

(3)先利用三角形的内角和定理可得/ADB=165°-ZBAD,利用户点分别于8点，C点重合时分别

求解的度数，进而可求解的取值范围.

【解答】解：(1)'：ZBAC=90°,ZC=60°,

...NA8C=180°-90°-60°=30°,

平分乙48C,

AZABD=I5a,

当点P与点C重合时，NBAP=N84C=90°,

：A£＞平分/54尸，

：.ZBAD=45°,

：.ZADB^\S00-15°-45°=120°；

(2)当AP1.8C时，ZAPB=90°,

：.ZBAP=\S00-90°-30°=60°,

平分NA8C,

.../A8D=15°,

,：AD平分N8AP,

：.ZBAD=30°,

/.1800-15°-30°=135°；

(3)VZABD=15°,

ZADB=180°-ABAD-15°=165°-/BAD,

当P点与8点重合时，ZBAD=O0,

：.ZADB=165°,

当P点与C点重合时，ZBAD=45°,

：.ZADB=\20°,

120°^ZAZ)B<165°.

【变式4-3](2021春•铁西区期末)在△ABC中，点。，E分别在边AC,8c上，点尸是边A8上的一个

动点，

(1)如图，若NACB=90°,

①当NDPE=75°时，求NAOP+/8EP的度数；

②当/£)PE=60°时，则N4OP+/8EP=°；

(2)若当NOPE=〃时，请直接用含机，"的式子表示NAOP+NBEP的度数.

【分析】(1)①由三角形的内角和定理可得：/A+/B=180°-NC=90°,NA+/APO+NAOP=180°,

ZB+ZBPE+ZBEP=}80a,结合/4PC+/BPE=180°-NQPE=105°,从而可求得/AOP+N8EP

的度数；

②根据①的方式进行求解即可；

(2)结合(1)的过程，进行求解即可.

【解答】解:(1)®VZACB=90°,

/.ZA+ZB=180o-NC=90°,

VZA+ZAPD+ZADP=]S0°,NB+NBPE+NBEP=180°,乙4PO+NBPE=180°-NDPE=105°,

AZA+ZAPD+ZADP+ZB+ZBPE+ZBEP^\80Q+180°,

(Z-4+ZB)+(ZAPD+ZBPE)+(NAOP+NBEP)=360°,

900+105°+(NADP+NBEP)=360°,

解得：ZADP+ZBEP^\65°；

②同理①可得：ZAPD+ZBPE^]S0°-/DPE=120°,

可求得：NADP+NBEP=150。；

故答案为：150；

(2)©VZACB=ni,

AZA+ZB=180°-/??,

VZA+ZAPD+ZADP=180°,ZB+ZBPE+ZBEP=180°,ZAPD+ZBPE=180°-ZDPE=180°-

n,

：.ZA+ZAPD+ZADP+ZB+ZBPE+ZBEP^\SO°+180°,

(ZA+ZB)+QAPD+NBPE)+(NADP+NBEP)=360°,

180°-m+1800-n+(ZADP+ZBEP)=360°,

解得；NADP+NBEP=m+n.

【考点5直角三角形性质的应用】

【例5】如图，AB1BC,BCLCD,ACLBD,垂足为尸，如果NA=a,那么NA8P和NPCQ分别等于多少？

【分析】在直角△ABP中,根据直角三角形两锐角互余可得NA8P=90°-ZA=90°-a；利用同角的

余角相等可得NPCQ=90°-ZACB=ZA=a.

【解答】W：'JAC^BD,

，/APB=90°,

/.ZABP=900-ZA=90°-a；

,：AB±BC,BCLCD,

：.NABC=NBCD=90°

AZPCD=90°-ZACB=ZA=a.

【变式5-1］如图，ZVIBC中，ADLBC,CEVAB,垂足分别为£)、E,AD,CE交于点H,已知/B=48°,

ZBAC=72°,求/C4O与/£>HE的度数.

【分析】根据直角三角形两锐角互余求出NBA。，再根据NCAO=NBAC-NBA。代入数据计算即可得

解；然后根据三角形的个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得计算即可

得解.

【解答】解：•.•AO_LBC,

：.ZADB^90°,

：.ZBAD=90°-ZB=90°-48°=42°,

：.ZCAD=ZBAC-ZBAD=30°,

,：CELAB,

.../AEC=90°,

由三角形的外角性质得，NDHE=NBAD+NAEH=42°+90°=132°.

【变式5-2](1)如图①，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,CDLAB,垂足为£>,/ACD与有什么关

系？为什么？

(2)如图②，在RtZL48C中，ZC=90°,。、E分别在AC,AB±,且NAOE=NB,判断△4OE的

形状是什么？为什么？

(3)如图③，在Rtz^ABC和中，NC=90°,ZE=90°,AB_LB£>,点C,B,E在同一直线

上，NA与NO有什么关系？为什么？

【分析】(1)根据直角三角形的性质得出/48+乙4=/8+/。。8=90°,再解答即可;

（2）根据直角三角形的性质得出/4。耳/4=//1+/8=90°,再解答即可；

（3）根据直角三角形的性质得出乙48。+/4=/4配'+/。8£=/。8比/。=90°,再解答即可.

【解答】解：（1）ZACD^ZB,理由如下：

\•在RtZ\48C中，ZACB=90°，CDLAB,

：.ZACD+ZDCB=ZB+ZDCB=90°,

：.ZACD=ZB；

（2）△ADE是直角三角形.

•在RtZiABC中，ZC=90°,。、E分别在AC,AB上，且NAOE=NB,乙4为公共角，

.•./AE£>=/4CB=90°,

...△AOE是直角三角新；

（3）ZA+ZD=90°.

;在Rt/XABC和RtZ\OBE中，NC=90°,Z£=90",ABLBD,

：.ZABC+ZA^ZABC+ZDBE^ZDBE+ZD=900,

二NA+N£>=90°.

【变式5-3]（2021春•兴化市期末）如图，在△ABC中，ZACB=90°,AE平分NC4B,CD±AB,AE、

CD相交于点F.

（1）若/OCB=50°,求/CEF的度数；

（2）求证：ZCEF=ZCFE.

【分析】（1）根据直角三角形的性质得到/OC8+NB=90°,ZCAB+ZB=90°,进而得到NCA8=/

DCB,根据角平分线的定义计算即可；

（2）根据角平分线的定义得到/8AE=/CAE,根据直角三角形的性质得到/CEF=/AFC,根据对顶

角相等证明结论.

【解答】（1）解：•.•CO_L48,

：.ZDCB+ZB=90Q,

VZACB=90°,

:.NCAB+NB=90°,

：.ZCAB=ZDCB=50°,

平分/C48,

：.ZCAE=^ZCAB=25°,

；.NCEF=90°-NC4E=65°；

（2）证明：平分NC4B,

:.NBAE=NCAE,

VZCAE+ZCEF=90°,NRAE+/4F£>=90°,

:.NCEF=NAFD,

'：ZCFE=NAFD,

：.ZCEF^ZCFE.

【考点6三角形外角性质的应用】

【例6】（2021春•淮阳区期末）如图，在△ABC中，BP平分NABC,AP平分NNAC,CP平分△ABC的

外角/ACM,连接AP,若N8PC=40°,则/NA尸的度数是（）

【分析】根据三角形外角性质和角平分线的定义解答即可.

【解答】解：：8P平分/ABC,CP平分△4BC的外角/ACM,

：.ZPCM=^zACM,ZPBC=^Z-ABC,

/ACM=ZABC+ZBAC,NPCM=/PBC+/BPC,

111

・•・ZPCM=|ZL4BC+Z-BAC=专乙ABC+N8PC,

.•.ZBPC=izBAC=40°，

：.ZBAC=80°,

・・・NN4C=100°,

：.ZNAP=50°,

故选：c.

【变式6-1](2021春•曲周县期末)如图，在△ABC中，NBAC=48°,点/是NA8C,NACB的平分线

的交点.

(1)ZBIC=.

(2)若点E是内角/ABC、外角/AC£＞的平分线的交点，则/BEC与/区4c的数量关系为；

(3)在(2)的条件下，当N4CB=时，CEHAB.

【分析】(1)想办法求出//8C+//CB即可解决问题.

(2)设/ACE=NECG=x,NAB/=NIBC=y,利用三角形的外角的性质构建方程组即可解决问题.

(3)利用平行线的性质即可解决问题.

【解答】解：(1)：/A=48°,

ZABC+ZACB=]SOa-48°=132°,

•.•点/是两角NA8C、NACB的平分线的交点，

AZIBC+ZICB^|(NABC+/ACB)=66°,

AZB/C=180°-66°=114°.

故答案为114。.

(2)设/4CE=/ECG=x,NABI=N1BC=y,

：.2x=2y+ZBAC®,

x=y+ZBEC®,

①+2-②可得/BEC=|ZBAC,

故答案为：ZBEC=^ZBAC.

(3)当NACB=84°时，CE//AB,

理由：'：CE//AB,

：.ZECA=ZA=4S°,

.../ECG=/EC4=/A8C=48°,

...NACB=180°-48°-48°=84°

故答案为84°.

【变式6-2](2021春•沙坪坝区期中)如图，CE是△ABC的外角/ACO的平分线，且CE交84的延长线

于点E.

(1)若NB=35°,ZE=25°,求/BAC的度数；

(2)证明：/BAC=NB+2NE.

【分析】(1)根据三角形的外角性质求出NEC。，根据角平分线的定义求出NACE,再根据三角形的外

角性质计算，得到答案；

(2)根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，证明结论.

【解答】(1)解：VZff=35°,ZE=25",

/.ZECD=ZB+ZE=60°,

平分/AC。，

AZACE=ZECD=60<,,

AZBAC=ZACE+ZE=S5°；

(2)证明：平分NAC£),

/./ECD=ZACE,

"：ZBAC=ZE+ZACE,

NBAC=NE+NECD,

,：ZECD=ZB+ZE,

：.ZBAC^ZE+ZB+ZE,

：.ZBAC=2ZE+ZH.

【变式6-3]（2021春•宽城区期末）如图，在AABC中，点E是边AC上一点，ZAEB=ZABC.

（1）如图1,作/8AC的平分线交CB、BE于D、F两点.求证：ZEFD^ZADC.

（2）如图2,作△ABC的外角/BAG的平分线，交CB的延长线于点力，延长BE、DA交于点F,试探

究（1）中的结论是否成立？请说明理由.

图1图2

【分析】（1）首先根据角平分线的性质可得/BAO=ND4C,再根据内角与外角的性质可得

DAC+ZAEB,ZADC=ZABC+ZBAD,进而得到/£尸。=NAOC；

（2）首先根据角平分线的性质可得NBAO=/D4G,再根据等量代换可得/以£=/84Z）,然后再根据

内角与外角的性质可得NEFZ）=NAE8-/必后，ZADC=ZABC-ABAD,进而得NEED=NADC.

【解答】解：（1）平分NBAC,

：.ZBAD=ZDAC,

,：/EFD=ZDAC+ZAEB,NADC=ZABC+ZBAD,

XVZAEB=ZABC,

：.ZEFD=ZADC；

（2）探究（1）中结论仍成立；

理由：：AD平分NBAG,

：.ZBAD=ZGAD,

'：ZFAE=ZGAD,

：.ZFAE^ZBAD,

"：NEFD=NAEB-ZFAE,/AOC=ZABC-ZBAD,

又：NAEB=NABC,

，NEFD=NADC.

【考点7多边形的内角与外角综合】

1

【例7】（2021春•漂阳市期末）若多边形的每个内角都相等，且它的每一个外角是它的邻补角的g,则该

多边形是（）

A.十边形B.十二边形C.十五边形D.十六边形

【分析】根据多边形的一个内角与一个外角的和为180°,一个外角等于与它相邻的内角的g列出方程

组，从而求得外角的度数，最后根据任意多边形的外角和是360。求解即可.

【解答】解：设这个多边形的一个内角为x,则外角为彳，

根据题意得:x+1x=180°,

解得：x=150°,

1

-x=30°,

5

36004-30°=12,

故选：B.

【变式7・1】（2021春•宝丰县期末）如图，CG平分正五边形ABCQE的外角NQCR并与NE4B的平分线

交于点O,则NAOG的度数为（）

A.144°B.126°C.120°D.108°

【分析】欲求/AOG,可求NAOC,则需求NBCO、ZOAB.ZB.因为五边形A8CDE是正五边形，所

以NE4B=NE=N3CQ=108°.又因为AO平分NE4B,CG平分NOCR所以可求得NOA8=54°,

1

Z5CG=108°+1zDCF=144°.

【解答】解：•••任意多边形的外角和等于360。，

/.ZDCF=360°+5=72°.

,这个正五边形的每个内角为180°-72°=108°.

/.ZB=ZEAB=ZBCD=108°.

又〈AO平分N£48,

JZOAB=^1Z-EAB=*1x108°=54°.

又•・,CG平分NOCF,

ZDCG="iDCF=*1x72。=36°.

/.ZBCO=ZBCD+ZDCG=108°+36°=144°.

AZAOC=360°-(N84O+N6+/8CG)=360°-(54°+108°+144°)=54°.

AZAOG=180°-ZAOC=180°-54°=126°.

故选：B.

【变式7-2](2020秋•东川区期中)一个多边形的内角和比外角和的3倍少180°,求

(1)这个多边形的边数；

(2)该多边形共有多少条对角线.

【分析】(1)任意多边形的外角和均为360。，然后依据多边形的内角和公式列方程求解即可;

(2)多边形的对角线公式为：空二2.

2

【解答】解：(1)设这个多边形的边数为〃.

根据题意得：180°X(n-2)=360°X3-180°,

解得：〃=7；

7X(7-3)7X4

(2)---=—=14.

22

答：(1)该多边形为七边形；(2)七边形共有14条对角线.

【变式7-3](2020秋•大武口区期末)如果一个多边形的各边都相等且各角也都相等，那么这样的多边形

叫做正多边形，如正三角形就是等边三角形，正四边形就是正方形，如下图，就是一组正多边形,

(1)观察上面每个正多边形中的Na,填写下表：

正多边形边数3456…〃

Na的度数…

(2)根据规律，计算正八边形中的Na的度数；

(3)是否存在正〃边形使得Na=21°?若存在，请求出〃的值，若不存在，请说明理由.

【分析】(1)根据计算、观察，可发现规律：正〃边形中的/a=-

(2)根据规律，可得正八边形中的Na的度数;

(3)根据正〃边形中的可得答案.

【解答】解：(1)观察上面每个正多边形中的Na,填写下表：

正多边形边数3456…〃

180

Za的度数60°45°36°30°…(

n

(2)根据规律，计算正八边形中的Na=(―)°=22.5°；

(3)不存在，理由如下:

设存在正"边形使得/a=21°,

180

得/a=21°（一

n

44

解得〃=8-，〃是正整数，〃=8-(不符合题意要舍去)，

不存在正〃边形使得/a=21°.

【考点8角度计算探究题】

【例8】(2021春•迁安市期末)嘉琪在学习过程中，对教材的一个有趣的问题做如下探究:

【习题回顾】

已知：如图1,在AABC中，乙4=40°,角平分线8。、CO交于点O.求N8OC的度数.

【变式思考】

(2)若NA=a,请猜想NBOC与a的关系，并说明理由;

【拓展延伸】

(3)已知I：如图2,在△ABC中，角平分线80、C0交于点。，ODLOB,交边BC于点。，作NA8E

的平分线交CO的延长线于点F.若NF=0,猜想NBAC与B的关系，并说明理由.

【分析】①利用内角和和角平分线性质，可求得角度大小，

②将定角换成动角，同样利用内角和和角平分线性质，将角之间关系表示出来，

③在②结论基础上，通过角平分线性质可求证阳〃0。，然后角的关系就能够表达出来.

【解答】解：(I)110°

理由为；/4=40°,

/.ZB+ZC=180°-40°=140°,

1,角平分线80、CO分别平分NB、ZC,

11

：・4OBC=±/B,/OCB=RC,

：.ZOBC+ZOCB=1(ZB+ZC)=70°,

在△O2C中，N8OC=180°-(ZOBC+ZOCB)=110°,

故答案为：110°,

(2)ZBOC=90°+1,

理由为；NA=a,

AZB+ZC=180°-a,

•角平分线80、CO分别平分/B、ZC,

AZOBC=|ZB,NOCB=^NC，

：.ZOBC+ZOCB=1zB+izC=I(ZB+ZC)=1(1800-a)=90°

在△O8C中，ZSOC=1800-(NOBC+NOCB)=90+j,

故答案为：NBOC=90°+当

⑶ZSAC=2p,

由(2)结论可知NBOC=90°+等生，

：.ZBAC=2ZBOC-180°,

VOB.B尸分别平分NA8C和NABE,

11

ZABO=^ZABC,NABF=a/ABE,

AZOBF=ZABO+ZABF=(/4BC+Z48E)=1xl80°=90°,

ODVOB,

：.ZBOD=90°,

：.BF//OD,

...NCOQ=/F=B，

ZBOC=ZBOD+ZCOD=900+0,

ZBAC=2ZBOC-180°,

：.ZBAC=2ZBOC-1800=20,

故答案为：/BAC=20.

【变式8-1](2021春•桥西区期末)请认真思考，完成下面的探究过程.

已知在△ABC中，AE是NBAC的角平分线，ZB=60°,ZC=40°.

【解决问题】

如图1,若AO_L8C于点。，求ND4E的度数；

图1图2

【变式探究】

如图2,若下为AE上一个动点（/不与E重合），且FQJ_8c于点。时，则NDFE=为°；

【拓展延伸】

如图2,aABC中，ZB=x°,ZC=y°,（且NB>NC）,若尸为线段AE上一个动点（尸不与E重

合），且FOLBC于点。时，试用x,y表示/DFE的度数，并说明理由.

【分析】（1）由NB=60°,ZC=40°,得/8AC=180°-ZB-ZC=80°.由角平分线的定义，得

Z£AC=40°.根据三角形外角的性质，得NFEO=80°.由FDA.BC,根据三角形内角和定理，故可

求得/DFE.

（2）与（1）同理.

(3)与(I)同理.

【解答】解：(1)解决问题：••,NB=60°,ZC=40°,

.♦.NA4c=180°-N8-NC=80°.

又：AE是N8AC的角平分线，

：.ZEAC=^BAC=40°.

AZAED=ZC+ZEAC=40a+40°=80°.

,：AD1BC,

/A£>E=90°.

.•.ZDAE=180°-AADE-Z；4ED=180°-90°-80°=10°.

(2)变式探究：由(1)知：ZAED=S0°.

•：FDLBC,

：.ZFDE=90°.

.,.ZDF£=180°-ZFDE-ZFED=180°-90°-80°=10°.

故答案为：10°.

11

(3)拓展延伸：NDFE=#_*y。,理由如下：

,NC=y°,

.../B4C=180°-x°-/.

又：AE是NBAC的角平分线，

11i1

ZCAE=iZ.BAC=(180°-x°-y°)=90。一>。一打。.

/.ZAED=ZC+ZCAE=y0+90。-1x°-1y°=9O°-1x°+!y°.

,:FD1.BC,

：.ZFDE=90°.

iiii

：.ZDFE=1SO°-ZFDE-ZFED=180°-90°-(90。一•。+"。)=/。一*y。.

【变式8-2](2020春•福山区期中)直线在同一平面内有平行和相交两种位置关系，线段首尾连接可以变

换出很多不同的图形，这些不同的角又有很多不同关系，今天我们就来探究一下这些奇妙的图形吧！

【问题探究】

(1)如图1,请直接写出NA+/B+NC+NQ+NE=；

(2)将图1变形为图2,NA+NOBE+NC+ND+NE的结果如何？请写出证明过程；

(3)将图1变形为图3,则NA+/B+NC+NO+/E的结果如何？请写出证明过程.

【变式拓展】

(4)将图3变形为图4,己知NBGF=160°,那么乙4+NB+NC+/D+NE+NF的度数是

【分析】(1)根据三角形外角的性质，得到/2=/C+/E,/l=NA+/2,根据三角形内角和等于180°

即可求解.

(2)根据三角形外角的性质，得到NA8E=NC+/£,ZDBC=ZA+ZD,即可证明此结论.

(3)根据三角形外角的性质，得到/OFG=N8+NE,ZFGD^ZA+ZC,即可证明此结论；

(4)根据三角形外角的性质，得到/BG尸=/8+N2=160°,/2=/E>+NF,NBGF=/l+NE=160",

Z1=ZA+ZC,即可得到结论.

【解答】(1)解：如图1,VZ2=ZC+ZE,/l=/A+/2,

.•./A+/8+NC+/O+/E=/l+NB+/D=180°,

故答案为：180°；

(2)证明：VZABE^ZC+ZE,ZDBC=ZA+ZD,

ZABE+ZDBE+ZDBC^]SO°,

ZA+ZDBE+ZC+ZD+ZE=\SO°

将图①变形成图②/A+NOBE+NC+/D+/E仍然为180°：

(3)证明：•.,在△FG。中，/DFG+/FGD+/D=180°,

NDFG=NB