求锐角三角函数值的常用方法及应用(教师版)

求锐角三角函数值的常用方法及应用一、知识要点：（一）锐角三角函数定义：在中，，设，，，则有：，，（二）同角三角函数的关系1.平方关系：：(三)互余两角的三角函数关系：（四）特殊角的三角函数值三角函数30°45°60°1二、求锐角三角函数值的常用方法（一）运用定义求锐角三角函数值例1.在中，的对边分别为a、b、c，且满足，则的值为___________．【分析】由，可得，求解，证明，再利用正弦的定义求解即可．解：∵，∴，∴，∴，，，解得：，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，算术平方根，绝对值，偶次方的非负性，勾股定理的逆定理的应用，锐角的正弦的含义，证明是解本题的关键．例2.我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则（

）A． B． C． D．解：∵大正方形的面积是25，小正方形面积是1，∴大正方形的边长，小正方形的边长，∵，∴，在中，，∴，解得（负值舍去）∴．故选A．例3.如图，在顶角为的等腰中，，若过点C作CD⊥AB于D，则，根据图形计算______分析：此题可设，由已知可求出CD和AD，那么也能求出BD=ABAD，从而求出tan∠BCD的值.解：由已知设，∵∠A=30°，CD⊥AB，∴CD=AC=x，则AD2=AC2CD2=（2x）2x2=3x2，∴AD=x，∴BD=ABAD=2xx=（2）x，∴tan∠BCD=．例4.如图，在△ABC中，DC平分∠ACB，于点D，，若，，则tan∠CBD的值为_____．【解析】由DC平分∠ACB，易证，然后依次求出BE、BC、CD的长即可根据求解．延长BD交AC于E，∵DC平分∠ACB，，∴，∴，，又，∴，∵，∴，∴，∴.【点睛】本题考查等腰三角形的性质、正切，根据DC平分∠ACB，看出是等腰三角形是解题的关键．例5.已知在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，、如图所示，则____________．解：连接DE，如图所示：在△ABC中，∠ABC=120°，BA=BC，∴∠α=30°，同理得：∠CDE=∠CED=30°=∠α．又∵∠AEC=60°，∴∠AED=∠AEC+∠CED=90°．设等边三角形的边长为a，则AE=2a，DE=2×sin60°•a=a，∴tan（α+β）==．故答案为：．（二）巧设参数求锐角三角函数值例1.在△ABC中，，，则等于()A.B.C.D.解：设所对的边分别为，，不妨设，由勾股定理得到，故选：B.例2.如图，在中，是高，是上一点，交于点，且，则的值是．解：过作于点，过点作于点，设，则，，，∴，，，∵，，∴∽，∴，即，∴，∵∠B＝∠B，∠BHC＝∠BDA，∴∽，∴，即，∴，∵FG∥CH，∴∽，∴，即，∴，∴，【答案】．（三）利用等角转换求锐角三角函数值例1.如图，在中，，AC=BC=4，将折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE＝3，则sin∠BFD的值为_______．解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，∴∠A=∠B，由折叠的性质得到：△AEF≌△DEF，∴∠EDF=∠A，∴∠EDF=∠B，∴∠CDE+∠BDF+∠EDF=∠BFD+∠BDF+∠B=180°，∴∠CDE=∠BFD．又∵AE=DE=3，∴CE=43=1，∴在直角△ECD中，sin∠CDE=；故答案是：．例2.如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，与相交于点P，则的正弦值为（

）A．B．C．D．解：取格点，连接、，设网格中每个小正方形的边长为1，则，，，∵，，∴，∴，在中，，由题意知，，∴，∴，∴，故选：.例3.如图，在中，，平分交于点，过作交于点，将沿折叠得到，交于点．若，则__________．解：如图所示，过点作于，∵平分交于点，∴,∴∴∵折叠，∴，∴,又∵∴∴∴∵，，则，∴∴，，∵设，，则，则，∵∴在中，在中，∴即；解得：∴，则∴故答案为：．（四）利用构造（直角三角形）法求锐角三角函数值（Ⅰ）化斜三角形为直角三角形求锐角三角函数值例1.在中,,,，则解：根据题意画出图形，如图所示，过作，交的延长于点，，在，，根据勾股定理得在中，根据勾股定理得则例2.在平面直角坐标系中，已知点和点，则等于________.分析：过A作AC⊥x轴于C，利用A点坐标为（2，1）可得到OC=2，AC=1，利用勾股定理可计算出OA，然后根据正弦的定义即可得到sin∠AOB的值．解：如图，过A作AC⊥x轴于C，∵A点坐标（2，1），∴OC=2，AC=1，∴OA=，∴sin∠AOB=．故答案为．【点睛】本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于这个角的对边与斜边的比值．也考查了点的坐标与勾股定理．（Ⅱ）利用网格构建直角三角形求锐角三角函数值例1.如图所示的网格是边长为1的正方形网格，，，是网格线交点，则____。【分析】作AD⊥BC于D点，在Rt△ABD中根据余弦的定义求解即可．【详解】如图，作AD⊥BC于D点，则△ABD为直角三角形，其中，AD=3，BD=4，由勾股定理可得AB=5，∴，故答案为：．【点睛】本题考查求余弦值，根据余弦的定义构造合适的直角三角形是解题关键．例2.如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC等于（）A．B．C．D．【解析】根据题意，做出合适的辅助线，然后根据勾股定理的逆定理，可以得到△ACD的形状，从而可以求得sin∠BAC的值．解：连接CD，点D在格点上，如右图所示：设每个小正方形的边长为a，则CDa，ACa，AD2a，∴CD2+AD2＝（a）2+（2a）2＝（a）2＝AC2，∴△ACD是直角三角形，∴sin∠BAC＝sin∠CAD，故选：A．本题考查解直角三角形、勾股定理，解答本题的关键是判断出△ACD的形状．例3.如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（）A、 B、 C、 D、解：延长到，连接，如图：，，，故选C解析：延长到，连接，由网格可得，即得，可求出答案。（五）利用同角三角函数关系求锐角三角函数值例1.若为锐角，，求的值．分析：要求的值，必须利用锐角三角函数之间的关系找出