北京市2022-2023学年高二数学上学期期中题含解析

Page14北京市2022-2023学年高二数学上学期期中试题考试时间90分钟一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.直线的倾斜角的大小为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】由直线方程,可知直线斜率，设直线的倾斜角为，则，又，所以，故选．2.已知i为虚数单位，则（）A.1 B. C.i D.【答案】C【解析】【分析】利用复数乘法和除法运算法则计算即可.【详解】.故选：C.3.在四面体中，点为棱的中点.设,，，那么向量用基底可表示为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据点为棱的中点，则，然后利用空间向量的基本定理，用表示向量即可.【详解】点为棱的中点，，，又，，故选B.【点睛】本题主要考查空间向量的基本定理，以及向量的中点公式，要求熟练掌握，同时考查了转化与划归的思想的应用，属于基础题.4.在平面直角坐标系xOy中，半径为2且过原点的圆的方程可以是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用圆的标准方程，采用排除法得出结论．【详解】在平面直角坐标系中，由于圆的半径为，故排除A、B；再把原点代入，只有满足，不满足本题正确选项：【点睛】本题主要考查圆的标准方程，属于基础题．5.已知直线的方程为，则直线（）A.恒过点且不垂直轴 B.恒过点且不垂直轴C.恒过点且不垂直轴 D.恒过点且不垂直轴【答案】D【解析】【分析】令求出，即可求出直线过定点坐标，再分和两种情况讨论，判断直线与坐标轴的关系，即可得解.【详解】解：直线的方程为，令，可得，所以直线恒过点，当时直线方程为，此时直线垂直轴，当时直线方程为，，显然直线不与轴垂直.故选：D6.已知点P是正方体的棱上的一个动点，设异面直线与所成的角为，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由正方体的性质可知所求为的最小值，又因为，可知当点在处时，有最小值，计算可得结果.【详解】解：由正方体的性质可知：，则异面直线与所成的角为直线与直线所成的角，即或其补角.又因为平面，所以，即求的最小值.，当点在处时，.故选：A.7.已知直线和直线互相平行，则a的值是（）A.0 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】由两直线平行直接列方程求解即可.详解】由题意可知，因为直线和直线互相平行，所以，解得，故选：B8.已知三棱锥中，两两垂直，且，则点P到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】可根据等体积求解，即，根据三棱锥中，三条侧棱两两垂直，且侧棱长为1，即可求得【详解】设点到平面的距离为，∵两两垂直，且，∴，，∴，∵，即∴，∴，即点到平面的距离为，故选：C9.已知直线与圆交于两点M，N，当面积最大时，斜率k值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，当，面积最大，分析可得此时圆心到直线的距离，利用点到直线距离公式即得解.【详解】由题意，圆，故圆心，半径，，故当时，的面积取得最大值，此时圆心到直线的距离，即，即，解得.故选：D10.在棱长为2的正方体中，E为的中点，点P在底面上移动，且满足，则线段的长度的最大值为()A.2 B.3 C. D.【答案】B【解析】【分析】以为原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设，根据求出a、b之间的关系，利用两点间距离公式结合二次函数性质可求长度的最大值．【详解】以为原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设，，，则，，，，，则易求，，由二次函数的性质可知，当时，可取到最大值9，线段的长度的最大值为3．故选：B．二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.11.已知空间向量，，若，则__________．【答案】3【解析】【详解】，得．12.已知，则复数在复平面内对应的点在第____________象限．【答案】一【解析】【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可.【详解】解：因为，所以，所以，所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限.故答案为：一13.已知，过点作直线与相切于点，则____________．【答案】【解析】【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出，最后根据计算可得.【详解】解：，即，所以圆心为，半径，又，所以，所以.故答案为：14.若⊙与⊙相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是_________．【答案】4【解析】【详解】依题意得OO1＝＝5，且△OO1A是直角三角形，S△OO1A＝··OO1＝·OA·AO1，因此AB＝＝4.15.设直线，圆，若在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得，则a的取值范围是____________．【答案】.【解析】【分析】由切线对称性和圆的知识将问题转化为点到直线的距离小于或等于，再由点到直线的距离公式得到关于a的不等式求解.【详解】圆的圆心，半径为1，因为直线上任意一点，点P，Q是圆C上两点，当分别与圆相切时，最大，当运动到与圆心之间的距离最小时，即时，最大，圆心到直线的距离为，因为在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得，所以当时，满足条件，此时，解得，所以a的取值范围是，故答案为：.三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.已知在四棱锥中，底面是边长为2正方形，是正三角形，平面，O是的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）详见解析；（2）【解析】【分析】（1）显然，由平面得，根据线面垂直判定得平面；（2）建立空间坐标系，求出平面法向量，代入线面角计算公式求解.【小问1详解】因为是正三角形，O是的中点所以又平面，平面，所以又因为，平面，平面，所以平面；【小问2详解】取的中点，则以为坐标原点，分别以正方向为轴建立空间直角坐标系，则设平面的法向量由得，取，设直线与平面所成角，则，故直线与平面所成角的正弦值为.17.在平面直角坐标系中，从下面的条件①、条件②中选择一个作为已知．（1）求的标准方程；（2）若直线l过点，与相交于M，N两点，且，求直线l的方程．①是一条直径的两个端点；②圆心，且与直线相切．【答案】（1）（2）或【解析】分析】（1）选①，根据，求得圆心和半径即可；选②根据与直线相切求得半径即可；（2）当直线的斜率不存在时，直线方程为，根据弦长判断；当直线的斜率存在时，设直线方程为，利用弦长公式求解；【小问1详解】解：选①，因为，所线段AB的中点为，则，所以以AB为直径的圆的方程为；是一条直径的两个端点；选②因为圆心，且与直线相切，所以圆的半径为，所以圆的方程为．【小问2详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为，则，成立；当直线的斜率存在时，直线方程为，即，则圆心到直线的距离为，解得，所以直线方程为；综上：直线的方程为：或.18.已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为的中点，D为棱上的点，．（1）求证：；（2）若D为棱的中点，求点到平面的距离；（3）当为何值时，平面与平面所成二面角（锐角）最小？【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据直棱柱的性质得到，再结合得到平面，利用线面垂直的性质得到，再结合∥即可证明；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求点到面的距离；（3）设，用空间向量的方法求二面角得到，然后得到当时，锐二面角最小.【小问1详解】∵为直棱柱，∴∥，平面，∵平面，∴，∵，平面，平面，∴平面，∵平面，∴，又∥，∴.【小问2详解】如图，以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，，，设平面的法向量为，点到平面的距离为，，令，则，，则，则.【小问3详解】设，，则，，，令，则，，则，由（1）得可以作为平面的一个法向量，，设平面与平面所成二面角（锐角）为，则，当时，最小，最大，最小，所以当时，平面与平面所成二面角（锐角）最小.19.在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三个点的圆记为．（1）当时，求三角形的面积；（2）求的方程；（3）问是否经过定点（其坐标与a，b的值无关）？请证明你的结论．【答案】（1）（2）的方程为（3）过定点，证明见解析.【解析】【分析】（1）当时，求出，，所以三角形的面积为.（2）设出所求圆的一般方程，令得到的方程与是同一个方程；令得到的方程有一个根为，由此求得参数及的一般方程．（3）把方程里面的合并到一起，分别令的系数