基本不等式1课件高一上学期数学人教A版

基本不等式一二三教学目标掌握基本不等式，了解基本不等式的证明过程理解基本不等式的取最值成立条件（一正二定三相等）利用基本不等式解决简单的最值问题教学目标难点重点易错点

∀a,b∈R，有

a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

重要不等式：实质：实数平方的非负性.知识点：基本不等式（均值不等式，均值定理）基本不等式的证明

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方法二：做差法

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证明：图象法AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？半径不小于半弦定理

基本不等式均值不等式例1

若,求的最小值.积定问题例2已知x

，y都是正数，求证：

如果积xy

等于定值P，那么当x=y时，和

x+y有最小值

；

证明：和定问题例2已知x

，y都是正数，求证：

如果和

x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值.

证明：归纳：利用基本不等式求积的最大值或求和的最小值时，需满足(1)a，b必须是正数.（一正）(2)在a+b为定值时，便可以知道ab的最大值；

在ab为定值时，便可以知道a+b的最值.（二定）(3)当且仅当a=b时，等式成立（三相等）

1.如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？解：如图设BC=x

，CD=y

，

则xy=100，篱笆的长为2(x+y)m.当且仅当时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.此时x=y=10.

x=yABDC若x、y皆为正数，则当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时，x+y有最小值_______.如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设BC=x

，CD=y

，

则2(x+y)=36,x+y=18矩形菜园的面积为xym2得

xy≤81当且仅当x=y时，等号成立

因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2即x=y=9ABDC若x、y皆为正数，则当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最大值_______；2.如图，用一段长为24m的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：设AB=x

，BC=24－2x

，

矩形花园的面积为x(24－2x)

m2因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时，花园面积最大，最大面积是72m2当x=6时，函数y取得最小值为72ABCD3.变式：如图，用一段长为24m的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设BC=x

，CD=y

，

则篱笆的长为矩形花园的面积为xym2ABDC得

144≥2xy当且仅当

时，等号成立因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时，花园面积最大，最大面积是72m2即

xy≤

72即x=12，y=6x+2y=24

x=2y变式：如图，用一段长为24m的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：设AB=x

，BC=24－2x

，

ABDC矩形花园的面积为x(24－2x)

m2(其中2x+(24-2x)=24

是定值)当且仅当2x=24－2x,即x=6时，等号成立因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时，花园面积最大，最大面积是72m2某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？4.解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为xm

，ym，水池的总造价为z元，根据题意，有

所以，将贮水池的池底设计成边长为40m的正方形时，总造价最低，最低总造价为297600元.课堂练习课堂练习1.两个不等式适用范围文字叙述“=”成立条件a=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍a,