人教A版数学必修一讲义第2章2.22.2.2第2课时对数函数及其性质的应用Word版含答案_第1页
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文档简介

第2课时对数函数及其性质的应用学习目标核心素养1.掌握对数函数的单调性,会进行同底对数和不同底对数大小的比较.(重点)2.通过指数函数、对数函数的学习,加深理解分类讨论、数形结合这两种重要数学思想的意义和作用.(重点)1.通过学习对数函数的单调性的应用,培养逻辑推理素养.2.借助对数函数性质的综合应用的学习,提升逻辑推理及数学运算素养.比较对数值的大小【例1】比较下列各组值的大小:[解](1)法一(单调性法):对数函数y=log5x在(0,+∞)上是增函数,而eq\f(3,4)<eq\f(4,3),所以log5eq\f(3,4)<log5eq\f(4,3).法二(中间值法):因为log5eq\f(3,4)<0,log5eq\f(4,3)>0,所以log5eq\f(3,4)<log5eq\f(4,3).(2)法一(单调性法):由于logeq\s\do16(eq\f(1,3))2=eq\f(1,log2\f(1,3)),logeq\f(1,5)2=eq\f(1,log2\f(1,5)),又因对数函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数,且eq\f(1,3)>eq\f(1,5),所以0>log2eq\f(1,3)>log2eq\f(1,5),所以eq\f(1,log2\f(1,3))<eq\f(1,log2\f(1,5)),所以logeq\s\do16(eq\f(1,3))2<logeq\s\do16(eq\f(1,5))2.法二(图象法):如图,在同一坐标系中分别画出y=logeq\s\do16(eq\f(1,3))x及y=logeq\s\do16(eq\f(1,5))x的图象,由图易知:logeq\s\do16(eq\f(1,3))2<logeq\s\do16(eq\f(1,5))2.(3)取中间值1,因为log23>log22=1=log55>log54,所以log23>log54.比较对数值大小的常用方法(1)同底数的利用对数函数的单调性.(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.(3)底数和真数都不同,找中间量.提醒:比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小.1.比较下列各组值的大小:(1)logeq\s\do16(eq\f(2,3))0.5,logeq\s\do16(eq\f(2,3))0.6;(2)log1.51.6,log1.51.4(3)log0.57,log0.67;(4)log3π,log20.8.[解](1)因为函数y=logeq\s\do16(eq\f(2,3))x是减函数,且0.5<0.6,所以logeq\s\do16(eq\f(2,3))0.5>logeq\s\do16(eq\f(2,3))0.6.(2)因为函数y=log1.5x是增函数,且1.6>1.4,所以log1.51.6>log1.5(3)因为0>log70.6>log70.5,所以eq\f(1,log70.6)<eq\f(1,log70.5),即log0.67<log0.57.(4)因为log3π>log31=0,log20.8<log21=0,所以log3π>log20.8.解对数不等式【例2】已知函数f(x)=loga(x-1),g(x)=loga(6-2x)(a>0,且a≠1).(1)求函数φ(x)=f(x)+g(x)的定义域;(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围.思路点拨:(1)直接由对数式的真数大于0联立不等式组求解x的取值集合.(2)分a>1和0<a<1求解不等式得答案.[解](1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x-1>0,,6-2x>0,))解得1<x<3,∴函数φ(x)的定义域为{x|1<x<3}.(2)不等式f(x)≤g(x),即为loga(x-1)≤loga(6-2x),①当a>1时,不等式等价于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1<x<3,,x-1≤6-2x,))解得1<x≤eq\f(7,3);②当0<a<1时,不等式等价于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1<x<3,x-1≥6-2x,))解得eq\f(7,3)≤x<3.综上可得,当a>1时,不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1,\f(7,3)));当0<a<1时,不等式的解集为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3),3)).常见的对数不等式的三种类型(1)形如logax>logab的不等式,借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论;(2)形如logax>b的不等式,应将b化为以a为底数的对数式的形式,再借助y=logax的单调性求解;(3)形如logax>logbx的不等式,可利用图象求解.2.(1)已知logaeq\f(1,2)>1,求a的取值范围;(2)已知log0.7(2x)<log0.7(x-1),求x的取值范围.[解](1)由logaeq\f(1,2)>1得logaeq\f(1,2)>logaa.①当a>1时,有a<eq\f(1,2),此时无解.②当0<a<1时,有eq\f(1,2)<a,从而eq\f(1,2)<a<1.所以a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),1)).(2)因为函数y=log0.7x在(0,+∞)上为减函数,所以由log0.72x<log0.7(x-1)得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x>0,,x-1>0,,2x>x-1,))解得x>1.即x的取值范围是(1,+∞).对数函数性质的综合应用[探究问题]1.类比y=af(x)单调性的判断法,你能分析一下y=logeq\s\do16(eq\f(1,2))(2x-1)的单调性吗?提示:形如y=af(x)的单调性满足“同增异减”的原则,由于y=logeq\s\do16(eq\f(1,2))(2x-1)由函数y=logeq\s\do16(eq\f(1,2))t及t=2x-1复合而成,且定义域为2x-1>0,即x>eq\f(1,2),结合“同增异减”可知,y=logeq\s\do16(eq\f(1,2))(2x-1)的减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),+∞)).2.如何求形如y=logaf(x)的值域?提示:先求y=f(x)的值域,注意f(x)>0,在此基础上,分a>1和0<a<1两种情况,借助y=logax的单调性求函数y=logaf(x)的值域.【例3】(1)已知y=loga(2-ax)是[0,1]上的减函数,则a的取值范围为()A.(0,1) B.(1,2)C.(0,2) D.[2,+∞)(2)函数f(x)=logeq\s\do9(\f(1,2))(x2+2x+3)的值域是________.思路点拨:(1)结合对数函数及y=2-ax的单调性,构造关于a的不等式组,解不等式组可得.(2)先求真数的范围,再根据对数函数的单调性求解.(1)B(2)(-∞,-1][(1)∵f(x)=loga(2-ax)在[0,1]上是减函数,且y=2-ax在[0,1]上是减函数,∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f(0)>f(1),,a>1,))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(loga2>loga(2-a),,a>1,))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>1,,2-a>0,))∴1<a<2.(2)f(x)=logeq\s\do16(eq\f(1,2))(x2+2x+3)=logeq\s\do16(eq\f(1,2))[(x+1)2+2],因为(x+1)2+2≥2,所以logeq\s\do16(eq\f(1,2))[(x+1)2+2]≤logeq\s\do16(eq\f(1,2))2=-1,所以函数f(x)的值域是(-∞,-1].]1.求本例(2)的函数f(x)在[-3,1]上的值域.[解]∵x∈[-3,1],∴2≤x2+2x+3≤6,∴logeq\s\do16(eq\f(1,2))6≤logeq\s\do16(eq\f(1,2))(x2+2x+3)≤log22,即-log26≤f(x)≤1,∴f(x)的值域为[-log26,1].2.求本例(2)的单调区间.[解]∵x2+2x+3=(x+1)2+2>0,又y=logeq\s\do16(eq\f(1,2))t在(0,+∞)为减函数,且t=x2+2x+3在(-∞,-1)上为减函数,在[-1,+∞)上为增函数,故由复合函数单调性可知,y=logeq\s\do16(eq\f(1,2))(x2+2x+3)单调递增区间为(-∞,-1),单调递减区间为[-1,+∞).1.已知对数型函数的单调性求参数的取值范围,要结合复合函数的单调性规律,注意函数的定义域求解;若是分段函数,则需注意两段函数最值的大小关系.2.求对数型函数的值域一般是先求真数的范围,然后利用对数函数的单调性求解.1.比较两个对数值的大小及解对数不等式问题,其依据是对数函数的单调性,若对数的底数是字母且范围不明确,一般要分a>1和0<a<1两类分别求解.2.解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则,同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用.1.思考辨析(1)y=log2x2在[0,+∞)上为增函数. ()(2)y=logeq\s\do16(eq\f(1,2))x2在(0,+∞)上为增函数. ()(3)lnx<1的解集为(-∞,e). ()(4)函数y=logeq\s\do16(eq\f(1,2))(x2+1)的值域为[0,+∞). ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2.设a=log32,b=log52,c=log23,则()A.a>c>b B.b>c>aC.c>b>a D.c>a>bD[a=log32<log33=1;c=log23>log22=1,由对数函数的性质可知log52<log32,∴b<a<c,故选D.]3.函数f(x)=log2(1+2x)的单调增区间是______.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),+∞))[易知函数f(x)的定义域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),+∞)),又因为函数y=log2x和y=1+2x都是增函数,所以f(x)的单调增区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),+∞)).]4.已知a>0且满足不等式22a+1>2(1)求实数a的取值范围;(2)求不等式loga(3x+1)<loga(7-5x)的解集;(3)若函数y=loga(2x-1)在区间[1,3]上有最小值为-2,求实数a的值.[解](1)∵22a+1>25a-2,∴2a+1>5a-2,即3a<3,(2)由(1)得,0<a<1,∵loga(3x+1)<loga(7-5x),∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x+1>0,,7-5x>0,,3x+1>7-

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