人教A版数学必修一讲义第2章2.22.2.2第2课时对数函数及其性质的应用Word版含答案

第2课时对数函数及其性质的应用学习目标核心素养1．掌握对数函数的单调性，会进行同底对数和不同底对数大小的比较．(重点)2．通过指数函数、对数函数的学习，加深理解分类讨论、数形结合这两种重要数学思想的意义和作用．(重点)1．通过学习对数函数的单调性的应用，培养逻辑推理素养．2．借助对数函数性质的综合应用的学习，提升逻辑推理及数学运算素养.比较对数值的大小【例1】比较下列各组值的大小：[解](1)法一(单调性法)：对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，而eq\f(3,4)<eq\f(4,3)，所以log5eq\f(3,4)<log5eq\f(4,3).法二(中间值法)：因为log5eq\f(3,4)<0，log5eq\f(4,3)>0，所以log5eq\f(3,4)<log5eq\f(4,3).(2)法一(单调性法)：由于logeq\s\do16(eq\f(1,3))2＝eq\f(1,log2\f(1,3))，logeq\f(1,5)2＝eq\f(1,log2\f(1,5))，又因对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且eq\f(1,3)>eq\f(1,5)，所以0>log2eq\f(1,3)>log2eq\f(1,5)，所以eq\f(1,log2\f(1,3))<eq\f(1,log2\f(1,5))，所以logeq\s\do16(eq\f(1,3))2<logeq\s\do16(eq\f(1,5))2.法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y＝logeq\s\do16(eq\f(1,3))x及y＝logeq\s\do16(eq\f(1,5))x的图象，由图易知：logeq\s\do16(eq\f(1,3))2<logeq\s\do16(eq\f(1,5))2.(3)取中间值1，因为log23>log22＝1＝log55>log54，所以log23>log54.比较对数值大小的常用方法(1)同底数的利用对数函数的单调性．(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．(3)底数和真数都不同，找中间量．提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小．1.比较下列各组值的大小：(1)logeq\s\do16(eq\f(2,3))0.5，logeq\s\do16(eq\f(2,3))0.6；(2)log1.51.6，log1.51.4(3)log0.57，log0.67；(4)log3π，log20.8.[解](1)因为函数y＝logeq\s\do16(eq\f(2,3))x是减函数，且0.5<0.6，所以logeq\s\do16(eq\f(2,3))0.5>logeq\s\do16(eq\f(2,3))0.6.(2)因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6>1.4，所以log1.51.6>log1.5(3)因为0>log70.6>log70.5，所以eq\f(1,log70.6)<eq\f(1,log70.5)，即log0.67<log0.57.(4)因为log3π>log31＝0，log20.8<log21＝0，所以log3π>log20.8.解对数不等式【例2】已知函数f(x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(6－2x)(a＞0，且a≠1)．(1)求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域；(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围．思路点拨：(1)直接由对数式的真数大于0联立不等式组求解x的取值集合．(2)分a＞1和0＜a＜1求解不等式得答案．[解](1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1>0，,6－2x>0，))解得1＜x＜3，∴函数φ(x)的定义域为{x|1＜x＜3}．(2)不等式f(x)≤g(x)，即为loga(x－1)≤loga(6－2x)，①当a＞1时，不等式等价于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1<x<3，,x－1≤6－2x，))解得1<x≤eq\f(7,3)；②当0＜a＜1时，不等式等价于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1<x<3,x－1≥6－2x，))解得eq\f(7,3)≤x<3.综上可得，当a＞1时，不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(7,3)))；当0＜a＜1时，不等式的解集为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，3)).常见的对数不等式的三种类型(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；(2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解；(3)形如logax＞logbx的不等式，可利用图象求解．2．(1)已知logaeq\f(1,2)>1，求a的取值范围；(2)已知log0.7(2x)<log0.7(x－1)，求x的取值范围．[解](1)由logaeq\f(1,2)>1得logaeq\f(1,2)>logaa.①当a>1时，有a<eq\f(1,2)，此时无解．②当0<a<1时，有eq\f(1,2)<a，从而eq\f(1,2)<a<1.所以a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).(2)因为函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，所以由log0.72x<log0.7(x－1)得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x>0，,x－1>0，,2x>x－1，))解得x>1.即x的取值范围是(1，＋∞)．对数函数性质的综合应用[探究问题]1．类比y＝af(x)单调性的判断法，你能分析一下y＝logeq\s\do16(eq\f(1,2))(2x－1)的单调性吗？提示：形如y＝af(x)的单调性满足“同增异减”的原则，由于y＝logeq\s\do16(eq\f(1,2))(2x－1)由函数y＝logeq\s\do16(eq\f(1,2))t及t＝2x－1复合而成，且定义域为2x－1>0，即x>eq\f(1,2)，结合“同增异减”可知，y＝logeq\s\do16(eq\f(1,2))(2x－1)的减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).2．如何求形如y＝logaf(x)的值域？提示：先求y＝f(x)的值域，注意f(x)>0，在此基础上，分a>1和0<a<1两种情况，借助y＝logax的单调性求函数y＝logaf(x)的值域．【例3】(1)已知y＝loga(2－ax)是[0，1]上的减函数，则a的取值范围为()A．(0，1) B．(1，2)C．(0，2) D．[2，＋∞)(2)函数f(x)＝logeq\s\do9(\f(1,2))(x2＋2x＋3)的值域是________．思路点拨：(1)结合对数函数及y＝2－ax的单调性，构造关于a的不等式组，解不等式组可得．(2)先求真数的范围，再根据对数函数的单调性求解．(1)B(2)(－∞，－1][(1)∵f(x)＝loga(2－ax)在[0，1]上是减函数，且y＝2－ax在[0，1]上是减函数，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（0）＞f（1），,a>1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(loga2＞loga（2－a），,a>1，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>1，,2－a>0，))∴1＜a＜2.(2)f(x)＝logeq\s\do16(eq\f(1,2))(x2＋2x＋3)＝logeq\s\do16(eq\f(1,2))[(x＋1)2＋2]，因为(x＋1)2＋2≥2，所以logeq\s\do16(eq\f(1,2))[(x＋1)2＋2]≤logeq\s\do16(eq\f(1,2))2＝－1，所以函数f(x)的值域是(－∞，－1]．]1．求本例(2)的函数f(x)在[－3，1]上的值域．[解]∵x∈[－3，1]，∴2≤x2＋2x＋3≤6，∴logeq\s\do16(eq\f(1,2))6≤logeq\s\do16(eq\f(1,2))(x2＋2x＋3)≤log22，即－log26≤f(x)≤1，∴f(x)的值域为[－log26，1]．2．求本例(2)的单调区间．[解]∵x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2>0，又y＝logeq\s\do16(eq\f(1,2))t在(0，＋∞)为减函数，且t＝x2＋2x＋3在(－∞，－1)上为减函数，在[－1，＋∞)上为增函数，故由复合函数单调性可知，y＝logeq\s\do16(eq\f(1,2))(x2＋2x＋3)单调递增区间为(－∞，－1)，单调递减区间为[－1，＋∞)．1．已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系．2．求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解．1．比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性，若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a>1和0<a<1两类分别求解．2．解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用．1．思考辨析(1)y＝log2x2在[0，＋∞)上为增函数． ()(2)y＝logeq\s\do16(eq\f(1,2))x2在(0，＋∞)上为增函数． ()(3)lnx<1的解集为(－∞，e)． ()(4)函数y＝logeq\s\do16(eq\f(1,2))(x2＋1)的值域为[0，＋∞)． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则()A．a>c>b B．b>c>aC．c>b>a D．c>a>bD[a＝log32<log33＝1；c＝log23>log22＝1，由对数函数的性质可知log52<log32，∴b<a<c，故选D.]3．函数f(x)＝log2(1＋2x)的单调增区间是______．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))[易知函数f(x)的定义域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))，又因为函数y＝log2x和y＝1＋2x都是增函数，所以f(x)的单调增区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)).]4．已知a＞0且满足不等式22a＋1＞2(1)求实数a的取值范围；(2)求不等式loga(3x＋1)<loga(7－5x)的解集；(3)若函数y＝loga(2x－1)在区间[1，3]上有最小值为－2，求实数a的值．[解](1)∵22a＋1＞25a－2，∴2a＋1＞5a－2，即3a＜3，(2)由(1)得，0＜a＜1，∵loga(3x＋1)<loga(7－5x)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋1>0，,7－5x>0，,3x＋1>7－