线性定常系统的综合

现代控制理论新疆大学电气工程学院陈华主要内容：5.1线性反馈控制系统的基本结构及其特性5.2极点配置问题5.5状态观测器5.6利用状态观测器实现状态反馈的系统5.1线性反馈控制系统的基本结构及其特性

在现代控制理论中，控制系统的基本结构仍然是由受控对象和反馈控制器两部分构成的闭环系统。

除了采用输出反馈，更多地采用状态反馈，由于状态反馈能提供更丰富的状态信息和可供选择的自由度，因而使系统容易获得更为优异的性能。

它在形成最优控制规律，抑制或消除扰动影响，实现系统解耦控制诸方面获得了广泛的应用。5.1线性反馈控制系统的基本结构及其特性状态反馈是将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入υ相加形成控制律

，作为受控系统的控制输入u。

一．状态反馈受控系统的状态空间表达式为：B∫CAuK状态反馈增益矩阵或线性状态反馈矩阵

状态反馈下受控系统的输入为：u=Kx+υ，K为r×n矩阵5.1线性反馈控制系统的基本结构及其特性B∫CAuKu=

Kx+υ状态反馈系统ΣK的状态空间表达式为：特征值改变维数没有增加闭环系统的传递函数矩阵为WK(s)=C[sI-(A+BK)]-1B5.1线性反馈控制系统的基本结构及其特性

比较开环系统和闭环系统，可见：状态反馈阵K的引入，并不增加系统的维数，但可以通过K的选择自由地改变闭环系统的特征值，从而使系统达到所要求的性能.WK(s)=C[sI-(A+BK)]-1B开环系统闭环系统W0

(s)=C[sI-A]-1B5.1线性反馈控制系统的基本结构及其特性二、输出反馈设连续时间线性时不变系统B∫CAuH输出反馈下受控系统的输入为：u=Hy+υ，H为r×m矩阵定义：将系统的输出量y乘以相应的系数H反馈到入端与参考输入υ相加，其和作为受控系统的控制输入u。5.1线性反馈控制系统的基本结构及其特性B∫CAuH输出反馈系统ΣH的状态空间表达式为：维数没有增加特征值改变u=Hy+υ可见：输出反馈阵H的引入，并不增加系统的维数，但可以通过H的选择自由地改变闭环系统的特征值，从而使系统达到所要求的性能.WH(s)=C[sI-(A+BHC)]-1BWH(s)=G0(s)[I-HG0(s)]-1比较两种控制律可以看出，当满足等式时，状态反馈和输出反馈的控制效果是一样的。凡是输出控制所能达到的控制效果，状态反馈都可以达到同样的控制效果，反过来则不一定。这说明状态反馈有可能获得比输出反馈更多的控制效果，其中有的控制效果可能更好。输出反馈状态反馈5.1线性反馈控制系统的基本结构及其特性5.1线性反馈控制系统的基本结构及其特性定义：将系统的输出量y乘以相应的系数G反馈到状态微分

处，与参考输入相加形成控制律，作为受控系统的

控制输入。三、从输出到状态矢量导数反馈设连续时间线性时不变系统B∫CAuG与状态反馈对偶！G为m×n矩阵5.1线性反馈控制系统的基本结构及其特性B∫CAuG输出反馈至状态微分处的系统状态空间方程为：

闭环传递函数矩阵为：

可见：输出反馈阵G的引入，并不增加系统的维数，但可以通过G的选择自由地改变闭环系统的特征值，从而使系统达到所要求的性能。5.1线性反馈控制系统的基本结构及其特性四、动态补偿器yvyv前三种反馈基本结构，都不增加系统的维数，反馈增益阵都是常数矩阵。但在更复杂情况下，常常要通过引入动态补偿器来改善系统的性能。效果更好反馈补偿器串联补偿器定理：状态反馈不改变受控系统Σ0=(A,B,C)的能控性，但不能保证系统的能观性不变。5.1线性反馈控制系统的基本结构及其特性五、闭环系统的能控性与能观性定理：输出反馈不改变受控系统Σ0=(A,B,C)的能控性和能观性。定理：输出到状态矢量导数反馈不改变受控系统Σ0=(A,B,C)的能观性，但不能保证系统的能控性不变。例5-1分析系统引入状态反馈后的能控性和能观性．解：原系统的能控能观性加入状态反馈后观察传递函数：能控、能观能控、不能观5.1线性反馈控制系统的基本结构及其特性出现零极点对消5.2极点配置问题

控制系统的性能主要取决于系统极点在根平面上的分布。因此作为综合系统性能指标的一种形式，往往是给出一组期望极点，或者根据时域指标转换成一组等价的期望极点。

极点配置问题，就是通过选择线性反馈增益矩阵，将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所期望的动态性能。一．采用状态反馈定理：采用状态反馈对系统Σ0=(A,b,c)任意配置极点的充要条件是原系统Σ0完全能控。原受控系统（开环）：∫A++b

cyKu-v原被控系统极点配置，即5.2极点配置问题状态反馈系统（闭环）：期望极点状态反馈系统极点证明：充分性，系统Σ0能控，通过状态反馈，必能实现f*(

)为期望特征多项式

i*(i=1,2,

,n)—期望的闭环极点（实数极点或共轭复数极点）det[

I-(A+bK)]—为闭环系统特征多项式5.2极点配置问题1.若系统Σ0能控,将状态空间表达式化为能控标准形5.2极点配置问题2.引入状态反馈5.2极点配置问题5.2极点配置问题

加入状态反馈后，仍为能控标准形，Tc1-1b、cTc1阵未变，故零点（分子）未变；A阵改变，极点（分母）改变。5.2极点配置问题3．使闭环极点与给定的期望极点相符，必须满足4．最后，把对应于的，通过如下变换，得到对应于状态x的K

这是由于

的缘故所以得证：闭环系统的极点可以任意配置。5.2极点配置问题极点配置步骤：Step1:判别(A，b)能控性Step2:计算矩阵A特征多项式det(

I-A)=

n+

n-1

n-1+···+

1

+

0Step3:计算由期望闭环特征值

1*,

2*,···,

n*决定的期望

特征多项式

Step4:计算Step5：计算能控标准型变换矩阵Tc1Step6：计算Step7：停止计算5.2极点配置问题注意：1、对于单输入系统，只要系统能控必能通过状态反馈实现闭环极点的任意配置，而且不影响原系统零点的分布。但若故意制造零极点对消，则此时闭环系统是不能观的。2、对于低阶系统（n≤3），求解状态反馈阵时，并不一定要进行能控标准型的变换，可以直接计算闭环系统的特征多项式det[(

I-(A-BK)]，然后与闭环系统希望特征值对应的希望特征多项式系数相比较，确定出状态反馈矩阵K。245.2极点配置问题25例5-1：连续时间线性时不变状态方程为期望闭环极点为计算状态反馈阵K解：容易判断系统能控

0=0，

1=72，

2=185.2极点配置问题26计算由期望闭环极点组决定的特征多项式

0*=4，

1*=6，

2*=4计算Tc1

5.2极点配置问题27如果是低阶系统（n≤3），则将线性反馈增益矩阵K直接代入期望的特征多项式，可能更为简便。

i(A-BK)=

i*,i=1,2,···,n

5.2极点配置问题由期望闭环极点组决定的特征多项式5.2极点配置问题例5-2试确定状态反馈增益矩阵，使闭环系统的极点为

-2，-1±j。解：1）系统为能控标准型。

0=0，

1=2，

2=35.2极点配置问题2）直接加入反馈矩阵。3）期望闭环特征方程4）计算K30

0*=4，

1*=6，

2*=45.2极点配置问题5）设状态变量直接可测，画出其引入状态反馈后的模拟结构图315.2极点配置问题5.2极点配置问题

对于单输入系统，状态反馈矩阵K是一个n维（1×n）行向量，由于单输入量系统的能控标准型是唯一的，系统对于实现确定的期望极点的反馈矩阵K有唯一解。而多输入系统的状态反馈矩阵K是一个（r×n）维矩阵，r为输入量的维数，考虑到多输入系统的能控标准型不是唯一的，系统的状态反馈矩阵K的解不是唯一的。因此，多输入系统采用状态反馈比较复杂。注意：二、采用从输出到的反馈定理：对系统

0，采用从输出到的线性反馈来实现系统极点的任意配置的充要条件是

0能观。33三、采用输出反馈定理：对于完全能控的单输入-单输出系统,不能采用输出线性反馈来实现系统极点的任意配置。

通过合理选取补偿器结构和特性，可对带补偿器输出反馈系统的全部极点进行任意配置。5.2极点配置问题

对于状态完全能控的线性连续时不变系统，可以通过线性状态反馈任意配置闭环系统的极点，而且系统镇定、解耦控制、跟踪控制、线性二次型最优控制(LQ)问题等，也都可由状态反馈实现。但在实际情况中，需用传感器来测量状态变量以便形成反馈。而传感器通常用来测量输出，许多中间状态变量不易量测或不可量测，于是提出状态重构问题。

具体地说，状态重构问题的实质，就是重新构造一个系统，利用原系统中可直接测量的变量如输入量u和输出量y作为它的输入信号，并使其输出信号

在一定的提法下等价于原系统的状态x(t)。5.5状态观测器5.5状态观测器

具体地说，状态重构问题的实质，就是重新构造一个系统，利用原系统中可直接测量的变量如输入量u和输出量y作为它的输入信号，并使其输出信号

在一定的提法下等价于原系统的状态x(t)。结构角度全维观测器降维观测器n维线性连续定常系统状态x

不能直接量测，利用输出y和输入u构造全维状态观测器。

复制一个与实际系统具有同样动态方程的模型系统，用模型系统的状态变量作为系统状态变量的估计。5.5状态观测器B∫CAuBCAuxy原系统BA模型开环状态观测器C问题：1)模型系统的A、B难以与真实系统一致；

2)两系统的初值难以设置得相同。所以这种方案难以保证5.5状态观测器引入反馈！BCAuxy原系统BA模型C

一般系统的输入量u和输出量y均为已知，因此希望利用y=cx

与的偏差信号来修正的值，这样就形成了闭环状态观测器。5.5状态观测器BCAuxy原系统BACG开环方案闭环方案复制＋反馈！状态观测器称G为状态观测器的增益矩阵395.5状态观测器写出状态观测器部分的状态方程为：G的作用？BCAuxy原系统BACG状态观测器5.5状态观测器定义为实际状态和估计状态间的状态观测偏差。

5.5状态观测器这表明，不管初始误差为多大，只要使矩阵特征值均具有负实部，那么一定可使

如果可通过选择增益阵G而使(A-GC)特征值任意配置，则的衰减快慢是可以被控制的。显然，若(A-GC)特征值均远离虚轴，则可使重构状态很快地趋于实际状态x(t)。5.5状态观测器结论：n维状态观测器，存在n×m反馈矩阵G使成立：充分必要条件是被观测系统

0不能观测部分为渐近稳定，充分条件为被观测系统(A,C)完全能观测。结论：〔全维状态观测器极点配置〕n维状态观测器，存在n×m反馈矩阵G可任意配置观测器全部特征值：充分必要条件是被观测系统

(A,C)完全能观测。5.5状态观测器全维状态观测器设计步骤：

给定n维连续时间线性定常系统：指定一组状态观测器期望特征值，要求确定一个n×m

反馈矩阵G

，使Step1:判断系统的能观性Step2:由观测器期望特征值组，计算：5.5状态观测器Step3:计算状态观测器的特征多项式Step4:由,求出G阵Step5:全维状态观测器方程为5.5状态观测器例5-3：设系统动态方程为

试设计一个状态观测器，其中观测器极点为-10，-10。解：期望的特征多项式状态观测器方程系统完全能观5.5状态观测器5.6利用状态观测器实现状态反馈的系统

对于具有能控、能观性，但状态不可量测的受控系统，状态观测器解决了状态重构的问题，使得受控系统实现