泰勒公式的应用及推广

泰勒公式的应用及推广中文摘要泰勒公式是将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。本文论述了泰勒公式的基本内容，简单介绍了带佩亚诺型余项和拉格朗日型余项的泰勒公式。进而探讨了泰勒公式在数学以及经济学中的广泛应用。关键词：泰勒公式，佩亚诺型余项，拉格朗日型余项，应用

AbstractTaylor'sformulaapproximatedsomecomplexfunctionsassimplepolynomialfunctions.Thissimplexfunctionmakesitapowerfullevertoanalyzeandstudyothermathematicalproblems.Inthispaper,thebasiccontentsofTaylor'sformulaarediscussed,andtheTaylorformulawiththeremainderoftheperanotypeandtheremainderoftheLagrangetypeisbrieflyintroduced.Furthermore,theextensiveapplicationofTaylor'sformulainmathematicsandeconomicsisdiscussed.Keywords:theTaylorformula,theremainderoftheperanotype,theremainderoftheLagrangetype;application

目录TOC\o"1-3"\h\u中文摘要 1Abstract 21绪论 51.1泰勒公式的研究背景 51.2泰勒公式的研究意义 61.3泰勒公式的研究目的 62泰勒公式 62.1泰勒公式的定义及推导 62.2带有佩亚诺余项的泰勒公式 82.3带有拉格朗日余项的泰勒公式 93泰勒公式的推广 103.1麦克劳林展开 103.2泰勒中值定理 104泰勒公式的应用 114.1泰勒级数 114.2应用泰勒公式求极限 134.2应用泰勒公式求近似值 154.3应用泰勒公式求极值 204.4应用泰勒公式证明不等式 224.5应用泰勒公式判断函数的凹凸性 264.6应用泰勒公式判断函数的拐点 274.7应用泰勒公式判断敛散性 284.8利用泰勒公式解经济学问题 304.9泰勒公式在行列式中的应用 314.10泰勒公式在判定级数及广义积分敛散性中的应用 33结语 35参考文献 36致谢 381绪论1.1泰勒公式的研究背景十七世纪以来，数学界人才辈出，近代微积分高速发展，极限作为数学研究的重要概念也被明确的提了出来。最初极限没有形成严谨完善的定义。可想而知，极限并没有被认可。最先给出极限严格定义的是捷克斯洛伐克数学家贝尔纳·波尔查诺，但在很长一段时间中极限没有受到应有的重视。直至18世纪，数学家们才开始了对极限的深度研究柯，1820年法国数学家柯西创造性地使用极限理论将微积分学中的定理加以严格全面的证明。之后德国数学家魏尔斯特拉斯先生给出了精确的“”方法，最终解决了之前存在的问题。经过长达近百年的研究和论证，极限在数学界中的地位不断提高，近代大量数学家都从事了相关问题的研究。泰勒、笛卡尔、费马等人都贡献了重要理论知识和实践研究。泰勒公式起源于牛顿插值的有限差分法，一七一五年，泰勒出版了《增量法及其逆》一书，在这本书中载有现在微分教程中以他的名字命名的一元函数的幂级数展开式，当时他是通过对格雷戈里－牛顿插值公式求极限而得到的，一百多年后，柯西对无穷级数的收敛性给出了一个严格的证.一七五五年，欧拉把泰勒级数用于它的微分学时才认识到其价值，后来拉格朗日用带余项的级数作为其函数理论的基础，从而进一步确认了泰勒级数的重要地位。在初等函数中，多项式是最简单的函数，因为多项式函数的运算只有加、减、乘三种运算。如果能将有理分式函数，特别是无理函数以一种“逼近”的思想，用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。对泰勒公式的研究就是为了解决上述问题的。泰勒公式的提出和发展也经历了相当漫长的过程。1715年泰勒出版《增量法及其逆》首次提出了泰勒公式，泰勒根据牛顿提出的有限差分法，推导出了格里戈里-牛顿插值公式，进而设初始变量为零，项数为无穷，但没有给出余项的具体表达式。泰勒的理论在当时并没有引起关注和认可。直到1755年，瑞士数学家欧拉把泰勒级数应用于他的“微分学”，世人才开始渐渐认识并接受泰勒公式，后来拉格朗日另辟蹊径，采用带余项的级数作为其函数理论的基础，引起了数学家的广泛关注，一举确认了泰勒级数在数学研究以及应用中的重要地位。泰勒公式作为分析和研究函数极限的重要理论工具，可以将复杂的问题简单化，并且能够满足较高的精确度和准确率，可以应用多个数学领域。为近代微积分的高速展提供了强有力的支持。虽然泰勒公式应用于多个数学领域，但有些学者或学派不认同或很少提及泰勒公式，他们普遍认为泰勒公式不够严谨，不能完全适用于解题以及计算当中。因此在泰勒公式的应用方面还有很大的提升空间值得我们研究。1.2泰勒公式的研究意义泰勒公式作为数学分析学习的重要工具以及一元微积分的基本理论，在近似计算，求极限，不等式的近似计算等方面有着重要应用。因此，熟练掌握和应用泰勒公式有利于数学知识的学习。此外，在经济学，统计学，金融学等领域也可以利用泰勒公式解决实际问题。因此泰勒公式已经不仅仅应用在数学领域，更成为日常生活中解决实际问题的重要理论工具。1.3泰勒公式的研究目的通过对泰勒公式的简单介绍和总结，拓宽泰勒公式在数学问题上的广泛应用，探究泰勒公式在具体数学问题上的应用，使泰勒公式成为被大家广泛接受的数学学习工具。进而讨论泰勒公式在其他领域的应用，使泰勒公式真正成为能够解决实际问题的重要工具和理论基础。在数学学习的过程中我们可以发现很多函数都能用泰勒公式表示，特别在求函数的近似值，求函数的极值和判断级数收敛性的问题中泰勒公式都有着重要作用。正因为泰勒公式是数学学习和解决实际问题的重要理论工具，这就要求我们要掌握泰勒公式的基本思想和在各个领域中的具体应用，以便在今后的学习生活中更方便和灵活的研究一些运算复杂和函数问题，更好的利用泰勒公式解决各领域的实际问题。2泰勒公式2.1泰勒公式的定义及推导给定一个函数在点处可微，则有：即=++即在点附近，用一次多项式+逼近函数，为了提高近似的精确度，令=+为的一次多项式，可得：对于任意次多项式，要求：…，令逐次求在点处的各阶导数得：………，，，…，故下面对余项进行估计令为余项，则有=(<<)=（<<）=…==(<<)从而(<<),(<<)当在的某领域内时（）所以有上式即为在处的n阶泰勒公式。2.2带有佩亚诺余项的泰勒公式若函数在点处存在直至阶导数，则有，．则当时，．即有（2.2.1）称为函数在点处的泰勒公式，称为泰勒公式的余项的，形如的余项称为皮亚诺型余项，所以（2.2.1）式又称为带有皮亚诺型余项的泰勒公式。特别的当（2.1）式中时，可得到（2.2.2）（2.2.2）式称为带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式。麦克劳林公式在数学分析解题过程以及特殊问题的解决中有着重要应用。2.3带有拉格朗日余项的泰勒公式假设函数在上存在直至阶的连续导函数，则对任一,泰勒公式的余项为其中为与间的一个值.即有（2.3）当，（2.3）式即为拉格朗日中值公式：所以，泰勒定理也可以看作是拉格朗日中值定理的推广．若令则称为一般形式的余项公式，其中．在上式中，即为拉格朗日型余项．若令，则得,此式称为柯西余项公式．当，得到泰勒公式：，（2.4）则（2.4）式称为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式．3泰勒公式的推广3.1麦克劳林展开函数的麦克劳林展开指上面泰勒公式中a取0的情况，即是泰勒公式的特殊形式，若在x=0处n阶连续可导，则下式成立：其中表示的n阶导数。3.2泰勒中值定理若在包含的某开区间（a，b）内具有直到n+1阶的导数，则当x∈（a，b）时，有其中是n阶泰勒公式的拉格朗日余项：4泰勒公式的应用4.1泰勒级数在数学学习中我们定义泰勒级数是用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫做麦克劳林级数。泰勒级数在近似计算中有重要作用，特别是麦克劳林级数经常应用于日常实际数学问题当中。为此给出常见的麦克劳林公式，在熟练掌握的基础上要学会灵活应用在实际问题当中。泰勒级数作为数学分析中级数部分的重要内容，其主要内容包括两个方面：（1）：幂级数的收敛理论；（2）：如何把一个函数展开成泰勒级数。我们知道把一个函数展开成泰勒级数的方法大致上可分为两类，即直接展开法和间接展开法．直接展开法可按下列步骤进行：第一步：求出函数的各阶导数第二步：求函数f（x）及其各项导数在第三步：写出泰勒级数第四步：考察余项在的某一领域内极限是否为零例1：展开三角函数解：根据导数表得：最后可得：其中

为皮亚诺余项：或：其中同理我们可以求出常见函数麦克劳林公式：.…….间接方法有代换法，等比级数求和法，逐项微分法，逐项积分法等方法在我们日常计算和应用时应注意综合间接法和直接法，熟记常见函数的泰勒级数有助于我们拓宽解题思路以及对问题更深层次认识。4.2应用泰勒公式求极限求极限问题是学习数学分析的基本，对于待定型的极限问题，一般可以利用洛比达法则来求解。但有时应用洛比达法则及其他方法无法明确解决问题时，特别对于求导比较繁琐，计算复杂的情况，利用泰勒公式求极限会取得意想不到的效果。当我们利用泰勒公式求极限时，一般采用麦克劳林公式形式，余项采用带佩亚诺型余项的泰勒公式。这样在简化计算过程的同时也能提高计算的准确度。例2：解：原式=例3：解：记，利用泰勒展开式得到再做泰勒展开得到：+代入得：所以：例4：判断函数的渐近线是否存在，并求出渐近线方程设，，则有从中解出：，．则渐近线方程为：．从以上例题中可以看出泰勒公式在某些求极限问题中有显著作用，同时熟练掌握常见函数的泰勒展开式能够提高解题效率，并应用在其他问题的解答上。4.2应用泰勒公式求近似值在高等数学中很多情况下有些算式无法求得精确值，通过近似计算可以缩小取值范围，计算近似值时应用泰勒公式能取得意想不到的效果。例5：如何用泰勒公式求圆周率的近似值有泰勒级数：取，则左边=，右边=（无穷级数，正负交替，大小为1/(2n+1）)。所以则n越大求得的圆周率越精确例6：用三阶泰勒公式求三次根号下30的近似值并估计误差解：因为其中介于0，之间。故误差介于0与之间，即，因此根据定理：若函数在点的某邻域内有直到阶的连续偏导数，则对内任一点，存在相应的，使得称二元函数在点的阶泰勒公式，其中。可以应用在求极值问题中：例7：求在点的泰勒公式（二阶），并计算解由于，因此有将它们代入泰勒公式，即得若略去余项，并让，则有根据泰勒公式的余项可以具体地估计出泰勒公式近似地表示一个函数时所产生的误差.由拉格朗日型余项，如果,为一定数，则其余项不会超过.由此可以近似地计算某些数值并估计它们的误差.例8求精确到的近似值.解：，.注意到有.为使只要取.现取,即得数的精确到的近似值为.例9求的近似值，使误差不超过.解：设，将其在处展成带拉格朗日型余项的泰勒公式其中（在和之间），令，则.要使，则取即可.此时，其误差.例10计算的值，使其误差不超过.解：，，.当时有,（4）故.当时，便有.从而略去而得的近似值.例11证明为无理数.证明：由（4）式得.（5）倘若（为正整数），则当时，为正整数，从而（5）式左边为整数.因为，所以当时右边为非整数，矛盾.从而只能是无理数.由以上几个例子可以看出，泰勒公式在近似计算以及估计误差时能够根据要求求出给定数值，但在实际运用中只有当取值非常大时，近似度才能够保证，所以利用泰勒公式近似计算需要灵活应用于解题计算当中。4.3应用泰勒公式求极值泰勒公式作为数学分析的重要工具，利用泰勒公式求极值是函数极值计算的重要方法。为此，我们要对极值问题中的泰勒公式应用做一个初步的了解。例12：设在的某邻域内一阶可导，在处二阶可导，且，。（1）若，则于处取得极大值；（2）若，则于处取得极小值。证：由已知条件可得在处的二阶泰勒公式为：由于得又因为，故存在正整数，当时，与同号。故当时，对有即于处取得极大值。同理当时，则在处取极小值。例13：设在附近有阶连续导数，且，（1）如果为偶数，则不是的极值点．（2）如果为奇数，则是的严格极值点，且当时，是的严格极小值点；当时，是的严格极大值点．证明：将在点处作带皮亚诺型余项的展开，即：于是由于故，中，与同号．（1）如果为偶数，则由在附近变号知，也变号，故不是的极值点．（2）如果为奇数，则为偶数，于是，在附近不变号，故与同号．若，则，，为的严格极小值点．若，则，，为的严格极大值点．4.4应用泰勒公式证明不等式不等式的证明可用的方法很多，其中利用泰勒公式证明不等式是不等式证明中的一个重要方法。在此主要介绍泰勒公式在证明一般不等式中的应用，泰勒公式在证明有关定积分不等式问题的应用，泰勒展开式在一元函数、二元函数不等式中的推广应用与证明。泰勒公式在证明一般不等式中的应用一般的证明思路为：如果函数存在二阶及二阶以上导数并且有界，利用泰勒公式去证明这些不等式。（1）写出比最高阶导数低一阶的函数的泰勒展开式；（2）恰当地选择等式两边的与；（3）按照最高阶导数的大不对函数的泰勒展开式进行放缩。例14：设在（）上满足，证明：。证：令则则由泰勒展开式得，当时亦有其中在与之间。因为，所以有因此有从而得到=则=即。泰勒公式在证明有关定积分不等式问题的应用例15：设在上单调增加，且＞0，证明：＜.题设条件告知二阶可导且＞0，由于高阶导数的存在，提示我们尝试使用泰勒公式.因为不等式左边被积函数是，右边有、，我们不妨对，将在点x处展开为泰勒公式，再令，进而找出与、的关系.证明对,在点处的一阶泰勒展开式为：=++，其中在与之间，∵＞0，∴＞+（1）将，分别代入（1）并相加，得＞+－（2）对（2）的两边在上积分，则＞+－＞+—＞故＜.泰勒展开式在一元函数、二元函数不等式中的推广应用与证明泰勒展开式在一元函数、二元函数不等式中也有着重要应用，只要在处存在且二阶可导，那么泰勒展开式可以推广为以下两种类型：定理：设函数在点附近二阶可导，则（1）若＞0，具有≥；（2）若＜0，具有≤；等号在时成立.对于定理1的证明，利用一元函数的泰勒展开式，结论显然成立。下面我们利用定理1，对下面两个初等不等式作出证明.例13：证明：设，≤，n≥2.证明设，则，，有定理1知：≤+，≤+两式相加即得结论。多数情况下单独利用泰勒公式无法完成对不等式的证明，要结合其他知识一起使用。当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合式时，可以作辅助函数并用泰勒公式代替。这样可以灵活的解决一些不等式证明的问题。4.5应用泰勒公式判断函数的凹凸性研究函数的凹凸性可以更好的了解函数的性质，接下来简要探讨在判断函数的凹凸性时如何应用泰勒公式简化计算过程。例16：设在上连续，在（,b)上具有一阶和二阶导数，证明：若在（,b)内>0，则在上的图形是凹的。证明：设c<d为内任意两点，且足够小。<为中任意两点，记由定理条件可得泰勒公式为：因为余项为的高阶无穷小，又因为足够小，所以泰勒公式中的符号于相同。又因为，所以可得由，的任意性，可得在足够小的区间上是凹的，再有c，d的任意性可得在内任意一个足够小的区间内部都是凹的。4.6应用泰勒公式判断函数的拐点定理4.2若在处可导，在某邻域内阶可导，且满足，且则：（1）若为奇数，则为曲线=的拐点；（2）若为偶数，则不是曲线=的拐点。证明：在处的泰勒公式因为所以余项同样是的高阶无穷小。因此：当为奇数时，()仍为奇数，在和上符号相反，即的符号相反，所以为曲线=的拐点；当为偶数时，()仍为偶数，则在和上的符号相同，所以不是曲线=的拐点。例15：判断（0，4）是否是的拐点？解：因为n=4，所以（0，4）不是的拐点。4.7应用泰勒公式判断敛散性敛散性的学习作为数学分析中的基础内容，为今后数学课程的学习奠定了重要的理论基础。泰勒公式作为数学分析学习的重要工具，在敛散性的判断中有着重要作用，在此讨论利用泰勒公式判断级数的敛散性和判断广义积分的敛散性。判断级数的敛散性例15：判断级数的敛散性。分析：若直接根据通项去判断该级数是正项级数还是非正项级数会比较困难，因而也就无法恰当地选择判敛方法。注意到若将其泰勒展开为的幂的形式，开二次方后恰好与呼应，使得判断敛散性更容易进行。解：所以该级数是正项级数。<=具有收敛性所以由正项级数比较判别法可得原级数收敛。判断广义积分的敛散性在判断定积分的敛散性时，通常选用定积分进行比较后通过研究无穷小量的阶来有效地选中的值，从而简单地判定的敛散性（注意到：如果得收敛，则得收敛）。例16：判定广义积分的敛散性。解：由得=因此，，即是的3/2阶，因为收敛，所以收敛，从而收敛。4.8利用泰勒公式解经济学问题随着我国经济的高速发展，作为数学专业的学生，将数学知识应用在经济学中，并能够解决基本的经济学问题则成我们日常生活中一项必要的能力。经济学中应用最多的数学知识是定积分的应用，在这里将以定积分为基础，利用泰勒公式去解决经济学问题。例17：已知某厂商的成本函数表达式为：STC=，假定每件商品的最终销售的价格为66元。求在新的价格下，厂商的盈利情况，若发生亏损，则最小的亏损金额是多少。解：根据题意，由于受到外来市场的冲击，该厂商的供求发生波动，厂商决定下调价格，若将降价后价格定为27元。此时不论利润最大还是亏损最小，均衡条件都是P=MC，若要计算利润的正负需要根据P=MC所决定的均衡产量来计算，根据函数STC=，设=应用泰勒公式得有：……得STC=因为P=MC，即27=所以因为（1）（2）所以4，616故是利润最大或者最小的产量。利润则：当商品的价格为27元时。若厂商的商品产量为1时，获得最大盈利，利润为19元。若厂商的商品产量为4时，会产生亏损，最小亏损为17元。4.9泰勒公式在行列式中的应用函数的泰勒公式在数值计算及数论中占有很重要的地位,我将通过借助于罗尔定理及函数的泰勒多项式的行列式表示,给出两个函数之间的泰勒公式的关系,借助于这种关系给出其应用．例18求出阶行列式的值．解把行列式看成的函数，，则．将在按泰勒公式展开，这里．下面求行列式函数的各阶函数．由递推公式推出，则，，，，，．代入在的泰勒公式若，则．若，则．令得．4.10泰勒公式在判定级数及广义积分敛散性中的应用泰勒公式的带佩亚诺型余项是微分学中值定理的推广．然而它在判断级数和广义积分的敛散性中的应用则很少提及,事实上,它在这方面的应用起着不可替代的作用．当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的复杂形式时，我们可以用泰勒公式进行简化．只要题中条件给出函数二阶及二阶以上可导，我们就可以先把函数在指定点展成泰勒公式，一般是展成比最高阶导数低一阶的泰勒公式，然后根据题设条件选择恰当展开点．例19设在点的某一领域内具有二阶连续导数，且．证明级数绝对收敛．分析由条件中“设在点的某一领域内具有二阶连续导数”这一信息可提示使用泰勒公式，又由条件易推得这将使在点的泰勒展开式更加简单，便于利用比较判别法判断收敛性．解由及在点的某一领域内具有二阶连续导数，可知将在点的某领域内展开成一阶泰勒公式，又由题设在属于某领域内含点的一个小闭区间连续，因此存在，使，于是，令，则．因为收敛，故绝对收敛．注1若无条件“设在点的某一领域内具有二阶连续导数”，则此方法不能用．2若条件“设在点的某一领域内具有二阶连续导数”改为“设在点的某一领域内具有二阶连续导数有界”，结论照样成立．结语泰勒公式在各个领域有着广泛的应用，例如在函数值估测及近似运算，用多项式逼近函数，求函数的极限和定积分不等式、求函数在某点的高阶导数值等方面。除此之外，应用泰勒公式及泰勒级数，能简化计算，方便解题。首先在图书馆及各大数字网络查找相关文献，从图书馆借阅相关书籍，仔细阅读。其次，对文献资料概括、分析，总结，采用数学归纳法、分析法、反证法、演绎法等方法，在老师的指导下修改，最后形成论文。泰勒公式作为数学分析中非常重要的内容，已经成为各个领域的数学研究中不可或缺的工具。本文介绍了泰勒公式的起源以及研究的背景意义，详细阐述了泰勒公式的性质并做出了一定的推广。进而探讨了泰勒公式在数学中的广泛应用，最后例举了泰勒公式在经济学中的简单应用，充分说明了泰勒公式应用的领域之广以及在数学中的重要地位。在我们今后深入研究中，要充分认识到泰勒公式提出的思想内涵，弄清泰勒的思维方式，这对培我们思维能力与独立工作的能力，从根本上强化已学知识，提高学生的素质是十分必要的。不可否认的是泰勒公式在应用方面存在一些问题和漏洞，我们只有熟练掌握基础知识，才能在此基础上加强训练，总结经验和前人的研究成果，深刻领会不同时代数学大师在泰勒公式这一问题中的思想内涵，争取探索出新的解题方法和途径，以便为我们今后更好的钻研和研究，将泰勒公式应用于更多的实际问题中，使泰勒公式真正成为被广泛认可的理论工具。

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