高考数学二轮复习 第一部分 基础考点 自主练透 第3讲 复数与平面向量练典型习题 提数学素养（含解析）试题

第3讲复数与平面向量一、选择题1．若i是虚数单位，则复数eq\f(2＋3i,1＋i)的实部与虚部之积为()A．－eq\f(5,4) B．eq\f(5,4)C．eq\f(5,4)i D．－eq\f(5,4)i解析：选B.因为eq\f(2＋3i,1＋i)＝eq\f(（2＋3i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(5,2)＋eq\f(1,2)i，所以其实部为eq\f(5,2)，虚部为eq\f(1,2)，实部与虚部之积为eq\f(5,4).故选B.2．(2019·武昌区调研考试)已知向量a＝(2，1)，b＝(2，x)不平行，且满足(a＋2b)⊥(a－b)，则x＝()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2) D．1或eq\f(1,2)解析：选A.因为(a＋2b)⊥(a－b)，所以(a＋2b)·(a－b)＝0，所以|a|2＋a·b－2|b|2＝0，因为向量a＝(2，1)，b＝(2，x)，所以5＋4＋x－2(4＋x2)＝0，解得x＝1或x＝－eq\f(1,2)，因为向量a，b不平行，所以x≠1，所以x＝－eq\f(1,2)，故选A.3．(2019·广州市综合检测(一))a，b为平面向量，已知a＝(2，4)，a－2b＝(0，8)，则a，b夹角的余弦值等于()A．－eq\f(4,5) B．－eq\f(3,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)解析：选B.设b＝(x，y)，则有a－2b＝(2，4)－(2x，2y)＝(2－2x，4－2y)＝(0，8)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－2x＝0,4－2y＝8))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝－2))，故b＝(1，－2)，|b|＝eq\r(5)，|a|＝2eq\r(5)，cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(2－8,\r(5)×2\r(5))＝－eq\f(3,5)，故选B.4．(2019·广东六校第一次联考)在△ABC中，D为AB的中点，点E满足eq\o(EB,\s\up6(→))＝4eq\o(EC,\s\up6(→))，则eq\o(ED,\s\up6(→))＝()A．eq\f(5,6)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) B．eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(5,6)eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\f(5,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,6)eq\o(AC,\s\up6(→))解析：选A.因为D为AB的中点，点E满足eq\o(EB,\s\up6(→))＝4eq\o(EC,\s\up6(→))，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，所以eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(5,6)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，故选A.5．(2019·湖南省五市十校联考)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，则|a＋b|＝()A．eq\r(6) B．eq\r(5)C．2 D．eq\r(3)解析：选A.由题意知，a·(a－2b)＝a2－2a·b＝1－2a·b＝0，所以2a·b＝1，所以|a＋b|＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\r(1＋1＋4)＝eq\r(6).故选A.6．已知(1＋i)·z＝eq\r(3)i(i是虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选A.因为(1＋i)·z＝eq\r(3)i，所以z＝eq\f(\r(3)i,1＋i)＝eq\f(\r(3)i（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(\r(3)＋\r(3)i,2)，则复数z在复平面内对应的点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2)))，所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.7．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝2，则a在a－b方向上的投影为()A．1 B．eq\r(3)C．eq\f(\r(6)－\r(2),2) D．eq\f(\r(6)＋\r(2),2)解析：选B.由向量的数量积公式可得a·(a－b)＝|a||a－b|cos〈a，a－b〉，所以a在a－b方向上的投影|a|·cos〈a，a－b〉＝eq\f(a·（a－b）,|a－b|)＝eq\f(|a|2－a·b,\r(|a|2＋|b|2－2a·b)).又a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝2×2×cos120°＝－2，所以|a|·cos〈a，a－b〉＝eq\f(4－（－2）,\r(4＋4－2×（－2）))＝eq\r(3)，故选B.8．在如图所示的矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为线段BC上的点，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))的最小值为()A．12 B．15C．17 D．16解析：选B.以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，4)，D(2，4)，设E(x，0)(0≤x≤2)，所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＝(x，－4)·(x－2，－4)＝x2－2x＋16＝(x－1)2＋15，于是当x＝1，即E为BC的中点时，eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))取得最小值15，故选B.9．(一题多解)(2019·贵阳模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝4，CD＝2，AB∥CD，AB⊥AD，E是BC的中点，则eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→)))＝()A．8 B．12C．16 D．20解析：选D.法一：设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，则a·b＝0，a2＝16，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,2)a，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)a＋a))＝eq\f(3,4)a＋eq\f(1,2)b，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→)))＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)a＋\f(3,4)a＋\f(1,2)b))＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)a＋\f(3,2)b))＝eq\f(5,4)a2＋eq\f(3,2)a·b＝eq\f(5,4)a2＝20，故选D.法二：以A为坐标原点建立平面直角坐标系(如图所示)，设AD＝t(t>0)，则B(4，0)，C(2，t)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,2)t))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→)))＝(4，0)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（2，t）＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,2)t))))＝(4，0)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(3,2)t))＝20，故选D.10．(一题多解)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为eq\f(π,3)，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是()A．eq\r(3)－1 B．eq\r(3)＋1C．2 D．2－eq\r(3)解析：选A.法一：设O为坐标原点，a＝eq\o(OA,\s\up6(→))，b＝eq\o(OB,\s\up6(→))＝(x，y)，e＝(1，0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以点B的轨迹是以C(2，0)为圆心，1为半径的圆．因为a与e的夹角为eq\f(π,3)，所以不妨令点A在射线y＝eq\r(3)x(x>0)上，如图，数形结合可知|a－b|min＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|－|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝eq\r(3)－1.故选A.法二：由b2－4e·b＋3＝0得b2－4e·b＋3e2＝(b－e)·(b－3e)＝0.设b＝eq\o(OB,\s\up6(→))，e＝eq\o(OE,\s\up6(→))，3e＝eq\o(OF,\s\up6(→))，所以b－e＝eq\o(EB,\s\up6(→))，b－3e＝eq\o(FB,\s\up6(→))，所以eq\o(EB,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))＝0，取EF的中点为C，则B在以C为圆心，EF为直径的圆上，如图．设a＝eq\o(OA,\s\up6(→))，作射线OA，使得∠AOE＝eq\f(π,3)，所以|a－b|＝|(a－2e)＋(2e－b)|≥|a－2e|－|2e－b|＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|－|eq\o(BC,\s\up6(→))|≥eq\r(3)－1.故选A.11．(多选)下列命题正确的是()A．若复数z1，z2的模相等，则z1，z2是共轭复数B．z1，z2都是复数，若z1＋z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数C．复数z是实数的充要条件是z＝z(z是z的共轭复数)D．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i(i是虚数单位)，它们对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，则x＋y＝1解析：选BC.对于A，z1和z2可能是相等的复数，故A错误；对于B，若z1和z2是共轭复数，则相加为实数，不会为虚数，故B正确；对于C，由a＋bi＝a－bi得b＝0，故C正确；对于D，由题可知，A(－1，2)，B(1，－1)，C(3，－2)，建立等式(3，－2)＝(－x＋y，2x－y)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝3,2x－y＝－2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝4，))x＋y＝5，故D错误．故选BC.12．(多选)已知等边三角形ABC内接于⊙O，D为线段OA的中点，则eq\o(BD,\s\up6(→))＝()A．eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→)) B．eq\f(4,3)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→))C．eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up6(→)) D．eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up6(→))解析：选AC.如图所示，设BC中点为E，则eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＝eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)·eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→)).故选AC.13．(多选)已知P为△ABC所在平面内一点，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝|eq\o(PC,\s\up6(→))|＝2，则()A．△ABC是直角三角形B．△ABC是等腰三角形C．△ABC的面积为2eq\r(3)D．△ABC的面积为eq\r(3)解析：选AC.由|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝|eq\o(PC,\s\up6(→))|得，△PBC是等腰三角形，取BC的中点D，连接PD，则PD⊥BC，又eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝－(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝－2eq\o(PD,\s\up6(→))，所以PD＝eq\f(1,2)AB＝1，且PD∥AB，故AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，由|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(PD,\s\up6(→))|＝1可得|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，则|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，所以△ABC的面积为eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3).二、填空题14．已知复数z满足z(1－i)2＝1＋i(i为虚数单位)，则|z|＝________．解析：因为z＝－eq\f(1＋i,2i)＝eq\f(－1＋i,2)，所以|z|＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)15．(2019·山东师大附中二模改编)已知向量a，b，其中|a|＝eq\r(3)，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________，a·(a＋b)＝________．解析：由题意，设向量a，b的夹角为θ.因为|a|＝eq\r(3)，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cosθ＝3－2eq\r(3)·cosθ＝0，解得cosθ＝eq\f(\r(3),2).又因为0≤θ≤π，所以θ＝eq\f(π,6).则a·(a＋b)＝|a|2＋|a|·|b|·cosθ＝3＋2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝6.答案：eq\f(π,6)616．(2019·济南市学习质量评估)已知|a|＝|b|＝2，a·b＝0，c＝eq\f(1,2)(a＋b)，|d－c|＝eq\r(2)，则|d|的取值范围是________．解析：不妨令a＝(2，0)，b＝(0，2)，则c＝(1，1)．设d＝(x，y)，则(x－1)2＋(y－1)2＝2，点(x，y)在以点(1，1)为圆心、eq\r(2)为半径的圆上，|d|表示点(x，y)到坐标原点的距离，故|d|的取值范围为[0，2eq\r(2)]．答案：[0，2eq\