2022届人教A版导数的概念与几何意义导数的运算单元测试

9导数的概念与几何意义、导数的运算一、选择题1．(2022·安徽蚌埠四校联考)若f′(x0)＝－3，则eq\f(fx0＋h－fx0－h,h)＝()A．－3B．－6C．－9D．－12答案：B解析：f′(x0)＝－3，则eq\f(fx0＋h－fx0－h,h)＝eq\f(fx0＋h－fx0＋fx0－fx0－h,h)＝eq\f(fx0＋h－fx0,h)＋eq\f(fx0－h－fx0,－h)＝2f′(x02．(2022·河南平顶山调研)设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝()A．e2B．e\f(ln2,2)D．ln2答案：B解析：f′(x)＝lnx＋1.因为f′(x0)＝2，所以lnx0＋1＝2，解得x0＝e.故选B.3．(2022·河南濮阳第一高级中学检测(二))已知f′(x)是f(x)＝sinx＋acosx的导函数，且f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),4)，则实数a的值为()\f(2,3)\f(1,2)\f(3,4)D．1答案：B解析：由题意可得f′(x)＝cosx－asinx，由f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),4)，得eq\f(\r(2),2)－eq\f(\r(2),2)a＝eq\f(\r(2),4)，解得a＝eq\f(1,2).故选B.4．(2022·山东潍坊中学月考(一))已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3xf′(1)＋2lnx，则f′(1)＝()A．－eB．－1C．1D．e答案：B解析：∵f′(x)＝3f′(1)＋eq\f(2,x)，∴f′(1)＝3f′(1)＋2，解得f′(1)＝－1.故选B.5．已知函数f(x)＝alnx＋bx2的图象在点P(1,1)处的切线与直线x－y＋1＝0垂直，则a的值为()A．－1B．1C．3D．－3答案：B解析：由已知可得P(1,1)在函数f(x)的图象上，所以f(1)＝1，即aln1＋b×12＝1，解得b＝1，所以f(x)＝alnx＋x2，故f′(x)＝eq\f(a,x)＋2x.则函数f(x)的图象在点P(1,1)处的切线的斜率＝f′(1)＝a＋2，因为切线与直线x－y＋1＝0垂直，所以a＋2＝－1，即a＝－3.故选D.6．(2022·东城期末)若直线y＝－x＋2与曲线y＝－ex＋a相切，则a的值为()A．－3B．－2C．－1D．－4答案：A解析：由于y′＝(－ex＋a)′＝－ex＋a，令－ex＋a＝－1，得切点的横坐标为x＝－a，所以切点为(－a，－1)，进而有－(－a)＋2＝－1，故a＝－3.7．已知函数f(x)＝eq\f(1,4)x2＋cosx的图象在点(t，f(t))处的切线的斜率为，则函数＝g(t)的大致图象是()答案：A解析：由于f(x)＝eq\f(1,4)x2＋cosx，∴f′(x)＝eq\f(1,2)x－sinx，∴f′(－x)＝－f′(x)，故f′(x)为奇函数，即g(t)为奇函数，其图象关于原点对称，排除B、D，又当t＝eq\f(π,2)时，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝eq\f(π,4)－sineq\f(π,2)＝eq\f(π,4)－1<0，排除C，故选A.8．设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数为f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为()A．9x－y－16＝0B．9x＋y－16＝0C．6x－y－12＝0D．6x＋y－12＝0答案：A解析：由题意可得f′(x)＝3x2＋2ax＋a－3是偶函数，则a＝0，所以f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3，则f(2)＝2，f′(2)＝9，则所求切线方程为y－2＝9(x－2)，即为9x－y－16＝0，故选A.二、填空题9．(2022·全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．答案：y＝－2x－1解析：由题意可得当x>0时，f(x)＝lnx－3x，则f′(x)＝eq\f(1,x)－3，f′(1)＝－2，则在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1.10．(2022·河北定州中学练习)若点P在曲线y＝x3－x＋eq\f(2,3)上移动，设点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是________．答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))解析：∵tanα＝3x2－1，∴tanα∈[－1，＋∞)．当tanα∈[0，＋∞)时，α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))；当tanα∈[－1,0)时，α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，∴α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).11．(2022·重庆巴蜀中学期中)曲线f(x)＝lnx＋eq\f(1,2)x2＋ax存在与直线3x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________．答案：(－∞，1]解析：由题意，得f′(x)＝eq\f(1,x)＋x＋a，故存在切点P(t，f(t))，使得eq\f(1,t)＋t＋a＝3，所以3－a＝eq\f(1,t)＋t有解．因为t>0，所以3－a≥2(当且仅当t＝1时取等号)，即a≤1.三、解答题12．(2022·河北衡水调研(四))已知函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－alnx.(1)若函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线不过第四象限且不过原点，求实数a的取值范围；(2)设g(x)＝f(x)＋2x，若g(x)在[1，e]上不单调且仅在x＝e处取得最大值，求实数a的取值范围．解析：(1)由f′(x)＝x－eq\f(a,x)，得f′(1)＝1－a.因为f(1)＝eq\f(1,2)，所以函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y－eq\f(1,2)＝(1－a)(x－1)，即y＝(1－a)x＋a－eq\f(1,2).由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a≥0，,a－\f(1,2)>0，))解得eq\f(1,2)<a≤1，所以实数a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).(2)g′(x)＝x－eq\f(a,x)＋2＝eq\f(x2＋2x－a,x)(x>0)，设h(x)＝x2＋2x－a(x>0)．若g(x)在[1，e]上不单调，则h(1)h(e)<0，即(3－a)(e2＋2e－a)<0，解得3<a<e2