四年级奥数(2)简单的数列求和

教学内容：简单的数列问题〔一〕世界著名的数学家高斯〔1777年～1855年〕，幼年时代聪明过人。上小学时，有一天数学老师出了一道题让全班同学计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快地说出了正确答案5050。那些正忙着把这100个数一个一个相加求和的同学大吃一惊!小高斯有什么窍门呢？原来小高斯通过细心观察，发现1～100这一串数中，1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51＝101。即：与这串数首末两端距离相等的每两个数的和，都等于首末两数的和，这样的和为101的数共有100÷2＝50对。于是小高斯就把这道题巧算为：1＋2＋3＋…＋99＋100＝〔1＋100〕×100÷2＝5050像1，2，3，…，99，100这样的一串数我们称为“等差数列〞，下面介绍有关等差数列的概念。假设干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。从第一项开始，后项与前项之差都相等的数称为等差数列，后项与前项之差称为公差，数列中数的个数称为项数。例如：〔1〕5，6，7，8，…，100；〔2〕1，3，5，7，9，…，99；〔3〕4，12，20，28，…，804；〔4〕1，4，8，16，…，256。其中〔1〕是首项为5，末项为100，公差为1的等差数列；〔2〕是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；〔3〕是首项为4，末项为804，公差为8的等差数列；〔4〕中前后两项的差都不相等，它不是等差数列。从高斯的故事我们知道，要想求出像1，2，3，…，99，100这一等差数列的和，只要用第一个数1与最后一个数100相加求和，再乘以这串数的个数100，最后除以2。由此，我们得到等差数列的求和公式为：数列和＝〔首项＋末项〕×项数÷2[例1]计算1＋2＋3＋…＋1999[分析与解]这串加数组成的数列1，2，3，…，1999是等差数列，公差是1，首项是1，末项是1999，项数是1999。根据等差数列求和公式可解得：原式＝〔1＋1999〕×1999÷2＝1999000[例2]求首项是5，公差是3的等差数列的前1999项的和。[分析]等差数列中首项、末项、公差的关系是：末项＝首项＋公差×〔项数－1〕[解]末项＝5＋3×〔1999－1〕＝5999和＝〔5＋5999〕×1999÷2＝6000998[例3]计算3＋7＋11＋…＋99[分析]这串加数组成的数列是等差数列，公差是4，首项是3，末项是99，但是我们发现项数从题中看不出来，这时就需要先求出项数。根据上例中介绍的等差数列中首项、末项、公差的关系，可以得到：项数＝〔末项－首项〕÷公差＋1[解]项数＝〔99－3〕÷4＋1＝25原式＝〔3＋99〕×25÷2＝1275[例4]计算〔1〕2000－3－6－9－…－51－54〔2〕〔2＋4＋6＋…＋96＋98＋100〕－〔1＋3＋5＋…＋95＋97＋99〕〔3〕1991－1998＋1985－1982＋…＋11－8＋5－2[分析与解]〔1〕利用第一讲中的知识，“某数连续减去几个数，等于减去这几个数的和〞，可将原式转化为：2000－〔3＋6＋9＋…＋51＋54〕，所以，此题关键是求3＋6＋9＋…＋51＋54的和。3＋6＋9＋…＋51＋54＝〔3＋54〕×[〔54－3〕÷3＋1]÷2＝57×9＝513从而，原式＝2000－513＝1487。〔2〕同学们可能已经发现和式2＋4＋…＋98＋100，1＋3＋5＋…＋97＋99中的项成等差数列，从而可能想到先求和，再做减法。这样做，很自然，也比拟简便。有其他更为简单的解法吗？再看题，你会冒出一个好想法：运用加减法性质，先做减法：2－1，4－3，6－5，…，100－99，它们的差都等于1，然后计算等于1的差数有多少个。由于题中1至100的全部偶数之和作为被减数，奇数之和为减数，所以，相邻的奇偶数相减〔以大减小〕，共得50个差数1，从而，原式＝〔2－1〕＋〔4－3〕＋…＋〔98－97〕×〔100－99〕＝50〔3〕利用求解题〔2〕的经验，容易发现1991－1988＝3，1985－1982＝3，…，5－2＝3这样，此题就归结为计算上述差的个数。可以这样计算，由于此数列为等差数列，公差是3，由求项数公式可求得项数为：〔1991－2〕÷3＋1＝664〔个〕这664个数两两配对做减法运算，共得到664÷2＝332个差数，因而＝3×332＝996[思考]还可以怎样计算出差的个数？〔还可根据每个括号中被减数所组成的等差数列的项数。〕[例5]2000×1999－1999×1998＋1998×1997－1997×1996＋…＋4×3－3×2＋2×1[解]原式＝1999×〔2000－1998〕＋1997×〔1998－1996〕＋…＋3×〔4－2〕＋2×1＝〔1999＋1997＋…＋3＋1〕×2＝〔1999＋1〕×[〔1999－1〕÷2＋1]÷2×2＝2000×1000＝2000000[小结]解简单的数列问题，首先要判断该数列是否为等差数列，再找出首项、末项、项数等相关量，最后运用相应公式正确求解。【能力训练】1．计算：〔1〕1＋2＋3＋…＋76＋77＋78〔2〕1＋3＋5＋…＋95＋97＋99〔3〕2＋6＋10＋14＋…＋202＋206＋210〔4〕4＋7＋10＋…＋292＋295＋2982．求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。3．求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。4．计算：〔1〕4000－1－2－3－…－76－77－78〔2〕560－557＋554－551＋…＋500－497〔3〕204－198＋192－186＋…＋24－18＋12－6*5．计算：〔1〕〔1＋3＋5＋…＋1999〕－〔2＋4＋6＋…＋1998〕〔2〕1＋2＋3－4＋5＋6＋7－8＋9＋10＋11－12＋…＋25＋26＋27－28参考答案【能力训练】1．〔1〕〔1＋78〕×78÷2＝3081〔2〕〔1＋99〕×50÷2＝2500〔提示：1到100这一百个自然数中奇、偶数各一半〕〔3〕〔2＋210〕×[〔210－2〕÷4＋1]÷2＝5618〔4〕〔4＋298〕×[〔298－4〕÷3＋1]÷2＝149492．〔5＋93〕×[〔93－5〕÷4＋1]÷2＝11273．末项＝13＋〔30－1〕×5＝158和＝〔13＋158〕×30÷2＝25654．〔1〕4000－〔1＋2＋3＋…＋78〕＝4000－[〔1＋78〕×78÷2]＝4000－3081＝919〔2〕3×11＝33〔等差数列560，557，554，551，…，500，497，共有〔560－497〕÷3＋1＝22项〕〔3〕6×17＝102〔等差数列204，198，192，…，12，6，共有〔204－6〕÷6＋1＝34项〕*5．〔1〕1＋〔3－2〕＋〔5－4〕＋〔7－6〕＋〔1999－1998〕＝1＋999×1＝1000〔2〕〔1＋2＋3＋4＋…＋25＋26＋27＋28〕－2×〔4＋8＋…＋24＋28〕＝〔1＋28〕×28÷2－2×〔4＋28〕×[〔28－4〕÷4＋1]÷2＝29×14－16×14＝13×14＝182教学内容：简单的数列问题〔二〕上一讲中，我们学习了什么是等差数列，等差数列的求和公式，以及求项数、末项的公式。这一讲，我们介绍如何利用这些公式，解决与等差数列有关的问题。[例1]求所有被2除余数是1的三位数的和。[分析]首先应分析一下被2除余数是1的三位数是哪些数。能被2整除的三位数中最小的是100，所以被2除余数是1的三位数中最小的是101。采用同样的方法可知，三位数中最大的被2除余1的数是999，而且这样的三位数前后两数都差2，因此它们构成一个等差数列，故可以利用等差数列求和公式求和。[解]所求的三位数的和是101＋103＋105＋…＋999项数＝〔999－101〕÷2＋1＝898÷2＋1＝450和＝〔101＋999〕×450÷2＝247500答：所有被2除余数是1的三位数的和是247500由例1可以看出，解这种类型题目的关键是根据题意正确地找出满足条件的数列，然后求和。[例2]1至100内所有不能被5或9整除的数的和是多少？[分析与解]如果要直接找出1至100内所有不能被5或9整除的数比拟麻烦，因此我们采用间接的方法来解。可以先分别找出能被5或9整除的数，并求出它们的和，然后再从1＋2＋3＋…＋100的和中减去它们的和，即为所求的解。1至100内所有能被5整除的数是5，10，15，…，100，这个等差数列的项数＝〔100－5〕÷5＋1＝95÷5＋1＝20，因此5＋10＋15＋…＋100＝〔5＋100〕×20÷2＝105×20÷2＝10501至100内所有能被9整除的数是9，18，27，…，99，这个等差数列的项数＝〔99－9〕÷9＋1＝11，因此，9＋18＋27＋…＋99＝〔9＋99〕×11÷2＝108×11÷2＝594应该注意到，1至100内45，90这两个数既能被5整除，又能被9整除，因此在上面两个数列的求和中都有45、90这两个数。所以，1至100内所有不能被5或9整除的数的和是：〔1＋2＋3＋…＋100〕－〔5＋10＋15＋…＋100〕－〔9＋18＋27＋…＋99〕＋〔45＋90〕＝5050－1050－594＋135＝3541由例2可以看出，解这种类型的题目时，如果直接找数列比拟困难，那么可以采用间接的方法求解。另外，解题时分析思考要周密细致，列算式时不要重复，也不要遗漏。[例3]用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形，用这样的等边三角形，按图4－1所示铺满一个大的等边三角形，如果这个大的等边三角形的底边放10根火柴，那么这个大的等边三角形中一共要放多少根火柴？[分析与解]如果把图中最上端的一个三角形看作第一层，与第一层紧相连的3个三角形〔向上的三角形2个；向下的三角形1个〕看作第二层，那么这个图中一共有10层三角形。这10层三角形每层所需火柴根数，自上而下依次为：3，6，9，…，3×10。它们成等差数列，且首项为3，公差为3，项数为10。求火柴的总根数，也就是求这个等差数列各项的和，即3＋6＋9＋…＋30＝〔3＋30〕×10÷2＝33×5＝165〔根〕所以，一共要放165根火柴。[例4]15个连续奇数的和是1995，其中最大的奇数是多少？[分析与解]我们先来看一个简单的五个连续奇数求和的情况。例如，3＋5＋7＋9＋11＝35可以看出，用这五个连续奇数的中间一项7乘以项数5也可以得到和为35。反过来，用和35除以项数5就可以得到它们的中间项7。根据这一经验，对于例4，15个连续奇数的和是1995，可求得这个等差数列的中间一项为哪一项1995÷15＝133。现在如果把中间一项看作是第1项，那么原来的末项，即第15项就是现在的第8项。这一项，也就是最大的奇数为：133＋〔8－1〕×2＝133＋14＝147[思考]仿照此例题的解法，求这15个连续奇数中最小的奇数。[例5]盒子里放有1只球，一位魔术师第一次从盒子里将这1只球拿出，变成4只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出2只球，将每只球各变成4只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出10只球，将每只球各变成4只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只球？[分析与解]一只球变成4只球，实际上多了3只球。第一次多了3×1只球，第二次多了3×2只球……第十次多了3×10只球。因此拿了10次后，多了3×1＋3×2＋…＋3×10＝3×〔1＋2＋…＋10〕＝3×55＝165〔只〕加上原有的1只球，盒子里共有球165＋1＝166〔只〕。[例6]有10个朋友聚会，见面时如果每人和其余的每个人只握一次手，那么10个人共握手多少次？[分析]设10个人分别为，我们从开始按顺序分析：这9个人的每个人握手1次，共握手9次；由于已和握过手，所以只能和这8个人的每个人握手1次，共握手8次；由于已和握过手，所以只能和这7个人的每个人握手1次，共握手7次；以此类推……只能和握手1次。将以上的握手次数求和即可。[解]这10个人总共握手的次数为1＋2＋3＋…＋8＋9＝〔1＋9〕×9÷2＝45〔次〕这题我们采用按顺序逐个分析，从中找出规律的思考方法，这是个重要的方法。[小结]我们通过这一讲的学习知道，解与等差数列有关的问题关键是根据题意正确地找出满足条件的数列，解题时分析思考要仔细，多算一项、少算一项都将造成结果的错误。【能力训练】1．求所有的除以4后余1的两位数的和。2．在1～100这100个数中，所有不能被9整除的奇数的和是多少？3．用相同的立方体摆成如图4－2的形式，如果共摆成10层，那么最下面一层有多少个立方体？4．有一个六边形点阵如图4－3，它的中心是一个点，算做第一层，第二层每边两个点，第三层每边三个点……这个六边形点阵共100层，求这个点阵共有多少个点？5．24个连续偶数的和是1992，其中最大的一个偶数是几？6．时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点也敲一下。求时钟一昼夜总共敲打多少次？7．平面上共有10个点，没有3个点在一条直线上，求过这些点最多可以画出多少条直线？8．在北京与上海之间开行的火车，除起点站和终点站外，还要停靠8个火车站，问一共要准备多少种火车票？9．小明计算从1开始假设干个连续自然数的和，结果不小心把1当作10来计算，得出的错误结果恰好是100，你知道小明算的是哪些自然数的和吗？正确的结果应该是多少？*10．一次朋友聚会，大家见面时总共握手28次，如果参加聚会的每个人和其余的每个人只握手一次，问参加聚会的共有多少人？【能力训练】1．13＋17＋…＋97＝〔13＋97〕×[〔97－13〕÷4＋1]÷2＝