bolzmann函数在韧脆转变温度曲线形状分析中的应用

bolzmann函数在韧脆转变温度曲线形状分析中的应用

材料的冲击坚韧通常由vtrs和vtr54表示。VTr54.2表示冲击功为54.2J所对应的试验温度,VTrs表示断口纤维率为50%所对应的试验温度。由于在试验前并不知道VTrs或VTr54.2的具体值,在试验过程中也不可能设定温度下的冲击功正好是54.2J或50%纤维率。我们总是通过测试某一温度范围内不同温度下的冲击功和相应的断口纤维率,采用拟合、插值的方法来确定VTrs和VTr54.2。过去经常采用手工拟合的办法,由于这种方法的精度不能满足要求,现在已很少使用。目前,一般采用计算机进行拟合分析,采用的数学模型也是多种多样,没有统一的方法和标准,由回归得出的曲线形状依不同的方法而不同,得到的结果也有一定差异,在试验数据之间缺少参比性。文中通过对韧脆转变温度曲线形状的分析和几种常见回归数学模型的比较,筛选出了1种能有效描述韧脆转变温度曲线的数学模型。1试验结果的特点和原因以下为统计大量的材料冲击试验结果可以发现,韧性材料的冲击功与温度之间的关系曲线以及断口纤维率与温度之间的关系曲线均具有一定的规律性,主要表现在以下几个方面。(1)冲击功与温度之间的关系曲线形状基本呈S形。在低温区,其冲击功比较低。随着试验温度的升高冲击功也逐渐提高,在转变温度附近冲击功迅速上升,且基本接近直线。当温度上升到一定程度以后,冲击功的变化速率又逐渐下降,直至其稳定在一相对较高的数值。(2)断口纤维率与温度之间的关系曲线形状也基本呈S形。在低温区,材料表现为脆性,其断口纤维率接近0。随着试验温度升高,断口纤维率逐渐提高,在转变温度附近基本呈直线关系,材料从脆性逐渐向塑性过渡。温度上升到一定程度,材料表现为全塑性,断口纤维率为100%。(3)无论是冲击功与温度之间的关系曲线还是断口纤维率与温度之间的关系曲线,一般都可以大体分为下平台区、转变温度区和上平台区3段。(4)冲击试验数据分散性较大,一般来说,焊缝材料的冲击功比母材的冲击功分散性大。究其原因,主要与试验材料、试样加工精度(特别是缺口区尺寸)、试验温度、试样的停留时间、试验过程(如摆锤刀口与试样缺口的对中性)、试验仪器以及试验人员的经验等因素有关。(5)冲击试验数据可以采用一定的方法进行统计分析和回归处理。(6)为了尽可能减少试验误差对试验结果的影响,在试验过程中应仔细观察试验现象和断口情况,要详细记录试验过程的异常情况,如自动送样时有时会发生试样跳跃、卡阻等现象而影响缺口的对中性。对于个别怀疑的试验结果,可以采用数理统计中异常数据的显著性水平检验的Grubbs检验或Dixon检验等方法进行甄别。2材料非线性回归模型从文献资料看,除了手工拟合这种陈旧并已很少使用的方法外,用得比较普遍的处理方法是多项式回归,这种方法的特点是使用简单、适应性强。但是,这种方法的致命点是随着多项式幂次n的增加,曲线会出现拐点,如图1虚线所示,其形状与S形曲线差距较大,当n大于5时曲线会发生振荡,这表明该函数的物理意义不正确。文献提出采用样条函数与加权平均相结合的方法进行回归处理,但这种方法在确定加权系数时具有一定的人为因素。文献提出采用双曲正切函数进行回归分析,该模型能很好地模拟S形曲线的3个区域,但该模型认为上平台到转变温度点的距离与下平台到转变温度的距离是相等的,这与实际情况不完全一致。根据冲击功与温度的关系曲线形状和断口纤维率与温度的关系曲线形状,选择了下列6种具有S形形状的回归函数进行分析。Boltzmann函数(简写为B):y=θ1−θ21+e(x−θ3)/θ4+θ2Logistic1函数(简写为L):y=θ11+e−θ2(x−θ3)Gompertz函数(简写为G):y=θ1e-exp(θ2-θ3x)Richards函数(简写为R):y=θ1(1-θ2eθ3-θ4x)1/θ2Weibull1函数(简写为W):y=θ1-θ1e-(θ2x-θ3)θ4Polynomial函数(简写为P):y=θ1+θ2x+θ3x2+θ4x3+θ5x4+θ6x5+…上述函数都是非线性函数,我们采用高斯-牛顿迭代法进行求解。设非线性回归的一般模型为:y=f(x,θ)+ε其中,x=(x1,x2,…,xn)T是因变量,θ=(θ1,θ2,…,θn)T是回归参数,ε为误差,它们的计算步骤如下:①给出初值θ0②计算矩阵X=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢∂f(x1‚θ0)∂θ1∂f(x1‚θ0)∂θ2⋯∂f(x1‚θ0)∂θn∂f(x2‚θ0)∂θ1∂f(x2‚θ0)∂θ2⋯∂f(x2‚θ0)∂θn⋮⋮∂f(xn‚θ0)∂θ1∂f(xn‚θ0)∂θ2⋯∂f(xn‚θ0)∂θn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥③计算迭代值θ*θ*=θ0+(x1x)-1x1y*i其中,y*i=y1-f(x1,θ*i-1),y2-f(x2,θ*i-1),…,yn-f(xn,θ*i-1)。④以θ*代替θ0作新的迭代初值,不断重复上述的步骤,直至θ*前后两项迭代值小于预先给定的精度。为了比较不同回归函数对冲击功与温度关系曲线以及断口纤维率与温度关系曲线的适应性,选取了2.25Cr1Mo加氢反应器材料各种状态的数据进行分析,作者以2.25Cr1Mo材料的产品态母材和焊缝,服役58000h的母材、焊缝和经历524℃×24h、538℃×15h、593℃×1h以及650℃×2h的脱脆试验,一次步冷、二次步冷等10种不同处理状态的冲击试验数据说明各回归函数的特性。表1～表3为采用7种不同回归函数分析上述10条冲击功与温度关系曲线的相关系数、残差和VTr54.2的数据比较。表4～表6为采用7种不同回归函数分析上述10条断口纤维率与温度关系曲线的相关系数、残差和VTrs的数据比较。从总体来看,Boltzmann函数回归结果的相关系数优于其它方法,而残差是各种方法中较小的,因此,说明Boltzmann函数的适应性较好。3温度对断口纤维率的影响分析Boltzmann函数的4个待定系数θ1、θ2、θ3和θ4可以发现,当x→∞时,y→θ1,即θ1为S形曲线的上平台值;当x→-∞时,y→θ2,即θ2为S形曲线的下平台值。θ4表示随着温度的下降,材料从塑性向脆性转变的速率,θ4值越小,表明材料越容易从塑性向脆性转变,θ4同时也反映了转变温度区范围的大小,θ4值越小,则转变温度区范围越小。θ3是S形曲线的拐点,是S形曲线上下平台区间50%所对应的位置。对于断口纤维率与温度的关系曲线,θ3即为VTrs值。因此,采用Boltzmann函数可以很好地描述冲击功曲线的3个区域:上平台区、下平台区和转变温度区。从图1和图2可以看出,无论是试验数据分散性小还是分散性大,Boltzmann函数都具有较好的适应性,即使是数据比较分散的情形,也不会出现文献所述的回归曲线倒转的现象。4boltzman函数的优势经过对大量试验数据的回归分析比较发现:(1)采用多项式回归处理冲击功与温度的关系曲线以及断口纤维率与温度关系曲线时,会出现拐点,当幂次较高时(n>5)回归曲线与实际试验数据相差较大。(2)采用Boltzmann函数回归时,有较好的相关系数和较小的残差,具有一定的优越性。(3)Boltzmann函数既适合于冲击功与温