线性代数试题参考答案

15级线性代数试题参考答案一、1.|2A+B\|3ap3a2,2y5+/|=36；‘102. J=、aaJ21<0I

即心-丄时，f线220b1022100/1=1+4/=0,性相关。11<0；01zb-ox=k}-10<»+匕01>由于的特征值为33.由肿=0知，矩阵B的列向量是齐次线性方程组去=0的解，所以爲=‘-、^2=、0为，抵=0的线性无关解，3-/?(A)>2,R(A)<1,而距阵2是非零矩阵，R(A)=1,01>所以才的特征值为A所以才的特征值为A=-，6常几+仏+%=丄+1+丄=1% -- ” 632=—48:-12=—48:2-D=tl

…02-12-10_12-1■■00一■0■0…0=/!+1‘1-20)3. B=(A2EFA=1 0 0k00一14设 A=(apa2,avof4,a5),1-1201-12031310-2722、15f仃00<0000031 2、100110<421401°000丿 丿向咼组的秩为3,匕，冬勺是一个极大无关组。三、1对方程组的增广阵进展初等行变换zzl-10133_2a+1014112、—11_1001B=24I31a+\110I221a+5|b+610/T00100001a+1|2、1b-l0z=2>R(B)=3,R(A)HR(B),方程组无解:时,

R(A)=R(B)=2<4方程组有无穷多解。00此时BT 10 0310310O+&-11■00

3 1 | 21 0 | 10 0 | 00 0 | 0矩阵J的特征多项式2-12-a\

U-5_2-a|2E-A|=-4 2-3 0^+2^22-102-30-2 1A-5| I0152—5—2—aE—2斤0A+12a5)(兄~—45—2a)0 1 久-5假设几=5是/25-—4x5—5—2a=0,a=0T5E-AT5E-A=M-20、-420T10T<4-200100o, 2=5的两个线性无0;关的特征向量，所以矩阵2可相像对角化:2=5J的单特征值，令—5-2—22是/2gcc9-22-918—36(1-2一9\T20-918000k2£-人=-4-1-21所以，属于几=2的任

20->0-3 0

意两个特征向量都线性相关，矩阵/不能相像对角化。‘2112-1:厂1-1 2丿人=入=1,人=4为特征值,h/x/T1/^6-1/V?取正交阵为P=1/>/21/>/6-1/V302/V61/V3x=Py化二次型为/Xy；+o四、1.

00]012A=A,,001,

<010、B100=耳100ly仃23、 <100、 ‘010、 仃23、由{\B 110 得012由{

AB 100

110=\211,=

<00\/ <00

<211丿‘10(T -1 23、‘010 -i z2 1AB=012、001

110 10021b 0°L

= -1_3-2<1

〔B〕正确2〔D〕证法

假设匕心心线性无关，由于匕心心心

J相关〔4个三维向量线性相关)，所以，久可由匕8巾线性表示，与冲突，假设不成立。3选(B)方程组 无解。4・Aa}

=a,Aa=a{ 2

3y3

,所以，是/的属于人=〈=1的线性无关的特征向疑，色2的属于入=0的特征向量。矩阵P是由』分别属于人=召=1,4=0的线性无关特征向量构成，(D)不满足条件,由于冬+匕：不是』的特征向量。应选(D)aa--a线性表示，而ctg…a

012t3 r r虫,…,0・关，与冲突，假设不成立，所以，存在伙使0ss…％线性无关。2.ij：由于仏=(aT+/3J)a=a(a)+0(0a)=2a所以(A+E)a=Aa=3a同理G4+E)0=30由于p=0,a=j3/=2所以,0所以入=入=3为A+E的二重特征值。由于心2妙厂，R(A)<R(a)+R(/3/)=\+\=2t|A|=0,0是/的特征值，从而入=1A+EA+E3阶矩阵，所以人=心=3,心=1A+E的全部特征值。一、1・・・・t=|外川=-2屮2/T1-2仆|6A-,|=6<-L=-1081””同2345=2345—2345“3234511221122§11221122abed1100abed00-2-2abcd_2abed1100abed00-2-2abcd_200-3-3abed_222112,,2.•A+2}1A=22a|S10”1-10“bJ<1-1(Tabc〔000;2 y:c(aa线性相关vvy4. 令B=(apa2,a3)”1”1J0Ta28=5+30「9,・.・AB=O/.a^a,a

是AX=0的解。ff1X*0T+*21R(A)+R(B)53<1-2“+<1-2“+3、8=03a06-9丿仃-23、0“010°3“丿R(B)<2即“=0，ass9\<R(A)<2A1A1=0,即=T1丄5・.a 为A”1的一个特征向量・.aA的一个特征向咼厂4一22” 仃

(b-2b

r pAAX=“一2ab= 2a+2b=Ab=AbT11> kby J=>=A=29此时同HO,.・.“=0,

b=2二、1£>

1 3 1 0一_2 3

1 2-37-11

711

711

=-12= 4 01 一1

1725

17250_4 1 _9 -1

〕17-2502.\AB=A+2Bp221:10p221:100<1 00:234：0 10010：0<356：001J<0 01：-17-5、-32Tb7一(A- 5_3-12E)T7-5 14一-32 —11 -2 43」a.a,a^a线性相关。} 2 4/./?(aPa2,«va4)<4即—4=0,即P=4此时/?(apa2,a3,a4)=3相应的一个极大无关组为22、2323…川a-1ci0ci010…0—1…0=0…—Ha+2a+...+na23…M0-10…000一1…0•■2000・一11〕

(-1)^=02咛即心侖三、1线性方程组增广矩阵为1 1 -23| -64| 、

Z. 1

_2 3| -4|

1-2 3| 0-2|B^[A\b]=

2 1

0- -1

20- -1-23 2 a6|-2 0 -1 a+6-3| _2 0 0“+8 -1J -1

_6_2|

巧 J -2 _4 -5|

[0 00

-11 b+2)‘110--1

-2 3I_2 -2|

0” ‘1 1 _2 3| 0-1 0-1 -2 -2| —10 0,0 0当“工-8时，有唯一解=_8,心-3时，无解

“+8 °1 b_30 1|b+2

0 0 0 b+20 a+80|_b_3丿z当“=_8,b=_3时，有无穷的解110-1(A：b)110-1(A：b)=00(00(keR)/ trA=12=&+入+心又|人|24‘入=50—12当几=5时，-4 -12 5E-A= 1 0<4 12

_3 R(SE-A)=2R(SE—A)=21个解,故不能相像对角化。二 =8又|A|=26—2a= =32~1一3-1、1~1一3-1、143124131000000(2£-A)x=02个解，故不能相像对角化.二次型/(召宀,七)的矩阵为A的特征多项式为/(2)=\AE-A|=

几一12 12兄一4—2=2 (久一6)因此的全部特征值为入=6对应于&=入=0,求齐次线性方程组-Ar—122—122-4-2仃-2000000\171-2-1\得根底解系<<r1-i1、01A=6＞求齐次线\7丿(6£-A)=0的根底解系6E-A6E-A=<521>22-2<1-25J仃1-1]01-2<0°°>得根底解系将§屋屋标准化得L72‘ V3I 丄720丄 /0IIV3II一一1屁 ”11-1 忑

1-1一X/6一732一X/6.\p=(pp,p)[92 y1 1忑1 2=祈 7?-1 1X=PY.二次型化为标准形f(x,x

9X3)A7Ax=YlP7AP=x 22023 年东北电力大学试卷(答案解析)课程名称：线性代数 专业:全校 年级：13级学期13-14学年第一学期|A|=3则的=丄而才=同屮,则有3附-2才|=阿-2卜鬥=|-3冋=(-3)卡牛-92. |A+B|=|«+^2/p2/2|=|a.2/p2/2|+|/?,2/p2y2|=4|A|+4|B|=2O设/人人为任意常数，&出出k(a-a)+k(a+ma)+k^(a

-a5)=Ox x 2由题可得<込一《=0A=mk2一&0-1由题可得<込一《=0A=mk2一&0-1100m-1=0

2 2 3 {2 { 2 2 3010101zn+1=0即m—1由前“-1个列向量线性相关得|A|=0,r(A)<n-l：由后“-1个列向量线性无关得1 1r(A)>/?-1/.r(A)=”一1而A. AX=0有非零解，且1为其一个特解=0， ■ 1■r(A)=r(A)=n-又可知q可由冷匕…匕线性表示，设其系数分别为则可知1—k则通解为Xy-匕冬一匕巾-----=0，丛 有H-(H-1)=1个线性相关解向崑则通解为X—1+2ar—2=AAct=AaI2+a+2=Aa/.2=La=2-lx3+4=26—13=3x6-3xl3=-21

1 56

=0-6

5_3-32 4-1o-31231111・・•12-D=n0H0=01-2一3一八200・•・03・・•201…10…03…0••••••••••••••••• •••••0・・••n•0•••3.由题可知AB=A+2B所以(A^2E)B=A而(A«2£)=0111 -10A・2E可逆,/.B=A(A-2E)”11(A-2E)”2=0 1一1001\/

<011 ,|A-2E|0可知01丿<3<311=〔003,1-10“3-2001一1=<001J0,03-203?24、24、-13-1271>仃324、01110-3-3-2,011119,<1324、01110001lO000,7214.令A=(aa.a.aJ=〔°r2 3

「25r(A)=3,英一个极大无关组为冬匕<4一2-町5由题可得(5E-A)=-420厂2-6 由|5E-A|=0且N5E-A)=1, 6/=0♦/?=—1‘11‘11有题可知人=0121213、13”-1_1243a+231110101221-12-104a+9\b+516T|/?-1T、0-4一4a+11>011-1|-100r/-30|/?所以①留神3时，R(A)=R(B)=4此时有唯一解②当“=3,.00 0“-3|0丿1 0 1 3 |4,A=

011-1|-100|00 000|000\1四、由题其系数矩阵10 1/.A为实对称阵，故由相像对角确妃，令0A-1一1\AE-A\0贝ij-12-1=仇-2)仇+1)2其特征值为人=心=-1,人=2当；I—2=-1-1一12‘11「时，对(-£-A)X=O可矢叭-E-A)=000可知其根底解系含有两个线性无关解向量 ,<00oja】=1a20_「对(2E-A)X=0,可知(-2E-A)01-1所以苴根底解系特征向疑为<000丿

施密特征变化，则卩严、 02=冬_40*

~0亍-0.5=冬将vvy

(0M)1丿〔%必』3〕使〔%必』3〕使/(W2，xJ=0一1 0其标准形为/〔X1,X2,X3〕=-彳一€+2疋<00五、〔1〕D (3)C (4)A+kd+lp+lP=0vaa

与0】,02正交，所以将①与0】做内积，可得}{ 22 xx 22 v2厶|0『=0. .厶=0同理&卡2=0, Gs久伙,线性无关2023 年东北电力大学试卷〔答案解析〕课程名称:线性代数 专业：全校年级：12级学期12-13学年第一学期20“10011. |A|=2, =而 0|内屮.计2川一2列=|一2们=〔一2〕*们=72由题 0|20“1001匕心2,匕线性无关,令 A=(ag，aJ1 1U1 1U12b1=0021

满足关系式为 2Z?-“工0由题可知匕,冬为方程组AX=fi的两个解向量。二可知/(A)=/(A)<2 而又可知/(A)>2,/./(A)=2■■«1-«2=-2■■«1-«2=-2=222■■-111则/A%=0的一个解1AX=/3x=k-111+1AX=/3x=k-111+20由题&A“a亦为/的特征向量。设特征值为几Aa=Aa则”+1=0可知&“収一上 Ak=1—1 4 1 0 0 1 8 6 6 4 4 1

3)x

=421一 00・・•000102 10・..0000-1 2—1・・•00000一 12-100・・•0—12

2-100・-.000—12-10・-.0000 0 0 0 一 12-10 0 0 0 ・・•0-12n-l1宀仏+2=,3.由题E4=A+2B:.B=A(A-2E}

2—1.B(A-2E)=A”1”11rA-2E=011J12_I11|100仃00|1-10011|010112|001丿T010|11-1001|-101,-10-101J”1-1(T<3111 ‘1-10、V-20](A-2E)“I= 11-1几-32|A£—A|=—a/i—.B=031 11-1U14, -101=2「203-23,2-I_3172 254.令A=(0^6^仪 3,a4,a5)= 144 06_0 3 112AT

22一72一75-14■■1072■312125T_4-40_4-40001112000001/./(A)=3 a?，4一1a=(2_2)[(久—3)~_(a+1)]=(A—2)(2-—6z+8_a)①假设 2=2为重根，则2?-6x2+8-a=0即^=0：②假设几=2不为重根，则8-“=9,即“=一1。可知 “=0或“=一12由题，共增广矩阵:1_12_1r1_12_1:1”1_12-1:1”A=v1020113a753“+1502‘T<h0001131Cl363“+17:-1:2:b_200010016：-1“-1-3: 301:h+\可知： 有唯一解②“H1， 无解③“H1且b=-1时, 有无穷双解此时①“H1时,/(A)=/(A)=3四、由题,其系数矩阵:「其为实对称矩阵，可相像对角化令-2_2\AE-A\=_2 A-12=(2+1)2(2-5)=0IJ1,盒=512_2 z-2(-1・E-A)X=O,可得(一一人)》yh

0-11-100-1 -11 >ta,=<0 :留神=5时对(5£-A)X=0,■0 11 _1 2_1;r _31503 0:50 11 _1 2_1;r _31503 0:50 116 5-1 一0511 0:50 00 1 5-1 1 0-100 1: _10 0 0 0

0 0000

0: 0» 10 -1” • ■可得(5E-A)T・ 01 一>-1..其根底解系所含特征向量为0=1-000

0心“8施密特正4.02=02-長卷

20严＜ 丄21616:令p1忑AU_766761帀1忑1-1/(AHA\,X3)5即/Uf3)+5x；五、l.D2.A3.D 4.C六、解：由题介六、解：由题介X111>=0<111,二。为其特征向量且其特征向量为,11丄而Aa=30•Aj3=3a可知il-zy—QzyA2/?=9/7

可知久 0应为/的特征向量，且对应特征值不为O可知』共有 3个线性无关特征向量，故d可相像对角化，即与对角阵相像。2023年东北电力大学试卷〔答案解析〕1.|21AM_,-4A-,|=|(21A1-4)A1.|21AM_,-4A-,|=|(21A1-4)A_,|=|2A_,|=241A_,|=24K=2.2.Az0001J0r00><0(T101bq00(T10-i=B10B=CA2「= 31-1<005,3.(aaa)‘00<101010rf\0-21<011丿］、0•=3r(A){230设心<03r线性无关4. -+=是川的特征值1-21124-2一2 22-1 〔〕—3—3a-2 A=22个根底解系得a=5,1+4+5=2+2+/?=>/?=6——A计算题1.24-1535124100-7-3723433—2厂0-1一2-103_3q+21234-X-D30-7-1-2-103_>0一7—9一1379一13073-1-2-1079-13‘073、T-1-2-10 —5—、0-5-83,

=-566832.D、= 2 0 22-八 2_20A 01AM-AN

2 2-A1 0A0 1AntM一00 In

m _AH2-2-222-A032 0023 00In2n-—32=(-2) 232n2n20 A

Am=(-ir5-^rM2JH23.AB=A+2B=>(A—2E)B=(A-2EflM(A-(A-2E尸<-100“31J25007-22_33000T，］-20<32_5_3601-30-2、-141仃->00<00-1丿2一1=013021.2、34一①T仃00<02 02、3一13<12_110一0100 00 0T0<0001002、3_50>1213J20、0T/1213J20、0T/3-2(T(A-2E)1= -110、10-1丿B=J20 3、J一4 4一4心)=2由*与才积的关系得r(^)=l94. 极•.AA^A=O的解解即人人0+k2aaa

1 -2t24

7 X /vA^=(A)E=OV3+3=A3+a=A/?-6=01-2一3三.\AE-A\= 0一2-2 =(A+2)(52—A“—13)6 -64一兄・・513无解.\A=-2:又T(A)HO=为的1EU1EeT—<E1ooo9z9zE—z1Z51111ou1q1、oze1s1q7JooonzE—9q”—i00z»—•ooOiUe—E5V-MX^_- oo onJiZEn<NEsIX-*EoMW—00E(NuE1qV—<e—E>—<sOOU •―<iZEzo ooo oJ“遂寸S-0N5IT“建康駅憾罗寸EHqHBdSHOOH*U+IE电E—E训—E训MHI罚(2-2TA=-2—14,24-1五、当2=3时RE_A|=

|久*-內=0得入=3,A,=—6、000,000X当A=6^\AE-A\=，2-5-护011,000’7i= 1 >7z= 0<0 J丿

7.=”

2 ”01=02=

0.8<1>

A=7i将其单位化得f(x^,x.)X=f(x^,x.)X=PY3<六、a=k.a.+kg+7kg工标椎型为0/3‘2，“)=3彳+3送-6彳证明：由题可得1 135 n«=&=0,&0a=ka+皿3=0=>,=东北电力大学试卷课程名称:线性代数 专业：全校年级：2023级 学期：2023-2023(1)5315分)1.设/3阶段矩阵，且|A|=2,求|2A，_6A［；22.假设向量组a,=(1,0,2/,a=(a,O.h冬=(1,2,3「线性相关，求“上满足的条件:23.向量组匕,冬.再线性无关，推断向量组e-&2+2a＜，2a?+aa+a乞的线性相关性:3 { 24设4A=(a^a,a^ajapa2,a3.a44a^a,a

a

=a,-2 2 3 42a+3q»0=匕+a2

+AX=0的通解：A1IAM5. 321.2.4,A的伴随矩阵才=九A22九三人％仏求Ai+^a+Aa-二.〔4624分〕1 2 343 501讣算四阶行列式

2 7510 1651 -1002.402-1002<3003设矩阵人=2403211S”41S”44维列向量组:-1=23a.=25<8>2，=s0,一〔11一2

AB=A+23,求矩阵万;求该向咼组的秩及一个极大无关组。三. 〔此题共3小題，每题10分，总分值30分〕Xx+2X{ 2

+3X4=14lx

+屯+10“=1当“上为何值时，线性方程组 3 2

有唯一值。X2x+3X} 2

+ax4

+5X4=3x一X]+(a+l)兀=b2无解，有无穷多解？并在方程组有无穷多解时求其通解。1相像对角化，说明理由。-2的特征值，且/2能否T相像对角化，说明理由。

,求证交线性变换X2 }2 23X=PYP及该二次型的标准形。四. 单项选择题(此题共5小题，每题1分，共5分)(注：请将答案填在括号内，否则答案视为无效)1设GG«12a!2°32«13a23°33九+知%、,B=Ot+&23a2122+=z010“100<001,,£=a23«3i aaoo010<oioy则B=( )PAP(B)PAP: (C)AP,P: (D)APP} 2 2 } 2 ZX2/是ntxn矩阵，Bnxm矩阵，且=

贝lj( )J的行向量组必线性无关, E的行向量组必线性无关;zl的行向量组必线性无关,E的列向量组必线性无关;A的列向量组必线性无关, B的行向量组必线性无关;A的列向量组必线性无关, E的行向虽:组必线性无关。线性方程组召匕+xa

+入也+兀勺=8有通解22(2,0,0,1)「+狀1,-1,2,0厂则以下说法正确的选项是( )

q不能由冬心心线性表示

a线性表示

不能由冬心心线性表示r293 x4设/为4x5矩阵，2的秩R(A)=4.B为4x2矩阵，则错误的选项是( )叫异“只有零解; (B) X=0(0HO)必有唯一值:(C)(A\B)X=0必有无穷多解： (D)(庄B)X=0(0HO)必有无穷解5假设 =

A+GA—X,f+A，f—A—2E中的可逆矩阵的个数为( )(A) 1： (B)2； (C)3： (D)4五. (此题总分值6分)己知三阶实对称矩阵/的特征值为0,1,1. 为-4的两个不同特征向量。且A(a+aa,证明：a”q=0。{ 2 2东北电力大学试卷(正考)课程名称:线性代专业：全校年级：16级学期：2023-2023(1)4课程名称:线性代专业：全校年级：16级学期：2023-2023(1)1设3阶矩阵/的行列式为|A|=3,求|3A-,-2A2|；2.e=(121)J4=(0“掰，=(1,3,2/线性相关，求“上满足的条件:3设4A=(a^a,a^aj,apa2,a3.a44a^a^a线性无关,2 4a=3a-a^+4a,假设2 } 4”=-冬+8-2AX=0的通解：4.

“2-1b”设3-1a2

a=1是/的特征向量,1二. 〔此题共4小題，每题6分，总分值24分〕1 1一102讣算四阶行列式D30

3 354 32122计算行列式Dn0 0…一口

2 3・・・n2 —2 0…0=30—3・・・0 ；■n420)3设矩阵 A二-12012，a2=21zv12，a2=21zv—t0^3—”2)03T,<i*勺一0f3133

，求该向量组的秩及一个极大无关组,三. 〔此题共3小題，每题10分，总分值30分〕

+x+2x2

+2.Y4=3X2

+壬一兀=_]+4X3+3X4=523AJ一x2

+2+ax=bX3 4X有唯一解，无解、有无穷多解？并在方程组有无穷多解时求其通解。-2112

2a2能3 否相像对角度，说明理由。3.三元实二次型f(x^xx3xf+2xx-2xx-2xx293 {2 x2 2yX=PFP及该二次型的标准形。四、〔6〕设匕心；；,,％_］为“-1个线性无关的“维列向量，$、歹2是和^1©2，，匕 -1均正交的“维列向量,证明：品刍线性相关。428分)设3=E则A+E,-A,+A-2E,-2A+E中的可逆矩阵的个数为(A) 1； (B)2； (C)3： (D)4.设/3213B22倍加到第3行得C,则满足R1=C的可逆矩阵P为( )P01、 “100、 P01(A)010 : (B) 010 : (C) 010 120, <021? J-20;设%,$，“均为”维列向量， /是加xn矩阵,则正确的选项是(

‘100(D) 010〔0-217)假设a.a,---,a线性相关，贝”]Aa^Aa,--^Aa^,性相关：t 2 f 1 fag,…,a,线性相关,贝”JAa^Aa,---.Aa线性无关：2 ya,a,---,aAa^Aa--,Aa线性相关：l 2 i 2t 3a.a,---,aAa?，…‘人冬线性无关。l 2 f=Aapr的非零特征值为(A) 1； (B)2： (C)3： (D)4.4312分)1、 设3阶矩阵A=(aa,fl),B=(a^a,r),中终，％““都是3维列向量，同=1冋iy2 2=2求|2A+B|2、 向量组线性无关，假设向量组/?!=,+2a2

/?,=a2

+lay

=2cr+a,线性相(s(z的值.-1-1 _23阶非零矩阵/满足肋=0其中1-1 -2求齐次线性方程组zL炉0的通解匚-1一1 _2A=G/.)3x3,J的逆矩阵f1,2,3,弘为|州中元素(心123)的代数余子式，求Al+^22+As二. 〔本大题共4小题，每小題5分，满20分〕100・・・000-12 -10・-0002计算幵阶行列式° —12—1…0000 ♦ ♦♦ ♦ ♦000・・12-13设 -120 且AB=A+23,求矩阵E4维向量组,

O3 0 1 7

(2=;求该向量组的5-1240=°1

2 1_3 342 1_3 34-1120522

2 <10>秩及一个极大无关组。三. (本大题共3小题,每题10分，总分值30分)x+3322a.b一码+兀一2X3一A4=_]2片+3A\+(“+10)x3+2A4=bX4.^+X2

有唯一解，无解，无穷多解？并在方程组有无穷多解时求其通解仃222=5为人=4 3 0的特征值，且/有二重的特征值，求a的值并推断矩阵』能2-15否相像对角化，说明理由。f(xxx2彳++lx]+

}293(C)(少+冷冬心) (D)(apa2,a2+ajX=PY 化二次型为标准形，要求写出所用的正交变换矩阵P及二次型的标准形。四. 单项选择题(本大题共4小题，每题2分，总分值8分)2/3阶矩阵将/2E的第一列和其次列互换得$‘123、又11o则加=( )J2ly,12J2ly,121?213/213(A)352(B)-1_3_2rr32“(C)-2_3-1121,(D)‘32r253」21,2@冬心。 是3维非零向量，则正确的选项是( )4l23l23

线性无关，则a

+a4线性无关:{424y(Bqsa线性相关，则少+巾，a{424y2

+a,a4y4

a4线性相关:假设％能由0心心线性表示，则6心心线性无关；a^a,aaaa线性相关。2 3 r293及2为4x5矩阵J的秩R(A)=4B为4x2矩阵，则错误的选项是( )(/J (^T\卜。只有零解 (B) X=b必有唯一解W丿(C) (A”：B)X=O必有无穷多解 (D) (£)X=b必有无穷多解100,Aa=a

==a

*0(/=1,2,3)qy线性无x x000P不能为

2 2 3 }(C)(少+冷冬心) (D)(apa2,a2+aj五. 证明(本大题共2小题，母小题5分，总分值10分)1、向量组匕,冬,…，色线性无关,且可由卩\线性表示，证明：存在一个向量kk2.明：AE的特征值为1,3,3。

535分,1.2A的行到式为|A|=-2，求|22才|22 |A|=21

Aq的代数余子式，求3.向量组区=3.向量组区=1u玄=-1hz玄=0,推断该向量组的线性相关性。‘1-2“+3、4.设川是3阶非零矩阵，且2中各行元素之和均为0,并满宦英中〃=0“ 0厂369)求齐次线性方程组AX=0的通解。2”u可逆, 向Mar=b为的一个特征向量，求“上的值。IT1 1>

〔1丿4520分)1 3 103 0131计算行列式D.=\1—2-312

；9(1+d)Xy+2X

+3x.Jix=04.

2一吃=0一兀=0

r n(n>2)d的值。东北电力大学试卷〔A卷〕课程名称:线性代数专业:全校年级：14级 学期:1415学年第一学期一、〔31030分〕x+x} 2

-2+3=0XX3 4XX为何值时，线性方程组{2.Y,+X2-6^+6X4=-1有唯一解，无解，有无穷多解？并ciXy6X4=-2X=X4在方程组有无穷多解时求其通解。“1a-1“已如几=2为人=15 1的特征值，且有二重的特征值，求a的值并推断矩阵2<4126丿能否相像对角化，说明理由。/〔3〕=4可+球-4舛兀-2XX4XX

,求正交线性变换{2 23X=PYP及该二次型的标准形。2023年东北电力大学试卷〔A卷〕课程名称:线性代数 专业:全校年级:13级 学期13-14学年第一学期一、〔本大题共5个小题，每题4分，总分值20分〕3zl的行列式为|A|=3,求卩川-2列设矩阵向量，己知|A|=3,|B|2,求\AB\；

=〔af,/〕,/,〕»=〔A/r/2〕a、/3、Y\，Y、3维列3向量组 ofa,a

a-aa

r2 3

} 2 2

y { 5条件；4.设”阶方阵人=〔0,&2，・・21.匕〕的前H-1个列向量线性相关，后八-1个列向量线性无关，0=匕+冬+ +%,求线性方程组AX=0的通解：5.a5.a=aA=122 02a的值;4丿1-2一••11-2一••11…10•…03・・•••••••・・•100•••1计算行列式

1 1 1 11 5 63 5 02 3

2.0=1(31「2设 A=03 1且仙=A+23,求矩阵E：03丿13设四维向虽:组: 2

(V19Ct,=

3a4=c2无关组:

“12a4.矩阵A=43 0可以相像对角化，且在几=5是/的二重特征值，求a,b的值。<2b5,10b为何值，线性方程组

X]2+2X32X4=3兀有唯一2x+3X2(a+2)3+3x4=/?+54x,+4X3+(a+9)X4=16解，无解，有无穷解？并在方程组有无穷多解时求其通解。{y12分)三元实二次型,x2,x3)=2X}X22xx{y

+2 ,求正交线性变换2X=PYP及该二次型的标准形。五单项选择题428分)1设d323B21列得单位t

(\00)、001?

ao(T马=oo1,则人=(01o\ Z(C)PR(D),)为幵维列向量,则假设向疑组/线性无关，则向量组〃线性无关;假设向量组〃线性无关，则向量组/线性无关;假设向量组〃线性相关，则向量组Z线性相关;向量组Z与〃有一样的线性相关性。3设 A为mxn矩阵，且R〔A〕=m<n>则〔〕P=(ap2av-a2),FP=O<1 0 0 P=(ap2av-a2),FP=O<1 0 0 仃 0 0” 0 0”⑷ 0 -2 0 (B) 0 _4 0 (0 0 _2 0 (D)<0 0 3, <0 0 _3 _3X <0 0 X六、证明题〔此题总分值5分〕l 2明：jet线性无关。<1 0 00 3 0〔0 -2,,禹正交。证〔C〕A7AX=O有非零解； 〔D〕A4rX=O有非零解；设1,3,-2,相应的特征向量依次为假设00n〔n>4〕I:a,a线性无关，II:0〕2023年东北电力大学试卷〔A卷〕课程名称:线性代数专业：全校年纪：1212-13学年第一学期一、〔5个小420分〕1.32的行列式为|A|=2,求|2川-2才|20、2设 210,求〔才厂<001J〔T31

2

a30线性无关，求“上满足的关系式G“+a2X23=X2X2

-x=b3

的两个解向虽:，求该方