2021年北京市高考数学试卷真题（含答案及详细解析）

2021年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)

数学

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项.

1.已知集合4="|一1<%<1},B={x|0<x<2},则AUB=()

A.(-1,2)B.(-1,2]C.[0,1)D.rO,l]

2.在复平面内，复数z满足(l—i)z=2,则2=()

A.2+zB.2-iC.1-zD.1+z

3.已知f(x)是定义在上[0,1]的函数，那么“函数f(x)在[0,1]上单调递增”是“函数/(x)在

[0/1上的最大值为了⑴”的()

A.充分而不必要B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为()

3+V3

B.4C.3+V3D.2

2

双曲线c：5q=i过点(①码

5.,且离心率为2,则该双曲线的标准方程为()

2

2D.号-八】

A.x-^-=\B.—~y2=\

33--聆

6.{叫和也}是两个等差数列，其中,(1必<5)为常值，4=288,%=96,a=192,贝岫=

()

A.64B.128C.256D.512

7.函数/（x）=cosx-cos2x,试判断函数奇偶性及最大值（）

A.奇函数，最大值为2B.偶函数，最大值为2

99

C.奇函数，最大值为£D.偶函数，最大值为9

OO

8.定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm）来判断降雨程度.其中小雨（＜10mm）,

中雨（10mm-25mm）,大雨（25mm-50mm）,暴雨（5（）mm-l（X）mm）,小明用一个圆锥形容

器接了24小时雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（）

A.小雨B.中雨D.暴雨

9.已知圆C:x2+y2=4直线/：y=辰+加，当Z变化时，/截得圆C弦长的最小值为2,则

m=()

A.±2B.±72C.+>/3D.±y/5

10.数列｛4｝是递增的整数数列，且623,4+a2+…=100,则”的最大值为（)

A.9B.10C.11D.12

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题5小题，每小题5分，共25分.

11.（尤3-L）4展开式中常数项为.

X

12.已知抛物线C:：/=4x,焦点为尸，点M为抛物线。上的点，且怛闿=6,则”的横坐

标是；作MNJ_x轴于N,则=

13.a=(2,1),b=(2,-1),c=(0,1),则(4+B)-c=；ah=.

14.若点P(cosasine)与点08n。+。,而(，+刍)关于〉轴对称，写出一个符合题意的6=.

66

15.已知函数f(x)=|lgx|-h-2,给出下列四个结论：

①若左=0,则/*)有两个零点；

②及＜0,使得了⑴有一个零点；

③业＜0,使得Ax)有三个零点；

④来＞0,使得f(x)有三个零点.

以上正确结论得序号______.

三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

2万

16.已知AAbC中，c-2bcosB,C=—.

3

(1)求8的大小；

(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使AA5c存在且唯一确定，并求出8C边上

的中线的长度.

①c=6jy;②周长为4+26；③面积为心此=苧；

17.已知正方体ABC。-AfCQ，点E为AQ中点，直线BG交平面8E于点F.

(1)证明：点尸为与q的中点；

(2)若点M为棱A冉上一点，且二面角M-5-E的余弦值为逝，求筹的值.

3ABi

18.为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“A合1检测法”，即将A个人的拭子样本

合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的

每个人再做检测.现有100人，己知其中2人感染病毒.

(1)①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数;

②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为(•，定义随机变量才

为总检测次数，求检测次数1的分布列和数学期望以心；

(2)若采用“5合1检测法”，检测次数r的期望为庾力，试比较以加和E(D的大小(直

接写出结果).

19.已知函数/(力=7二.

(1)若4=0,求y=/(x)在(1,7(1))处切线方程；

(2)若函数/(X)在x=T处取得极值，求“X)的单调区间，以及最大值和最小值.

22

20.已知椭圆E:5+2=l(a>b>0)过点40,-2),以四个顶点围成的四边形面积为4行.

(1)求椭圆£'的标准方程；

(2)过点尸(0,-3)的直线/斜率为在，交椭圆£于不同的两点8,C,直线〃'交

片-3于点"、A；直线力。交尸-3于点人若|4必+|削W15,求4的取值范围.

21.定义(数列｛风｝:对实数0，满足：①4+pZO,4+。=。；②③

a

«,„+„e+„+P，a”,+。“+P+1｝,tn,n&N,.

(1)对于前4项2,-2,0,1的数列，可以是R?数列吗？说明理由；

(2)若｛4｝是凡数列,求。5的值；

(3)是否存在仍使得存在(数列｛4｝,对▽〃©"同"。？若存在，求出所有这样的

夕；若不存在，说明理由.

参考答案

一、选择题

1.B2.D3.A4.A5.A6.B7.D8.B9.C10,C

二、填空题

11.-4

12.(1).5(2).45

13.(1)-0(2).3

14.工(满足6=居+k兀，k*Z即可)

15.①②④

三、解答题

16.(1)-

6

(2)答案不唯一

17.(1)证明见解析；(2)山%-=三

A1B12

18.(1)①20次；②分布列见解析；期望为等

(2)若P="E(X)=E(Y)

19.(1)4x+y-5=0；(2)函数f(x)的增区间为(-8,-1)、(4+8),单调递减区间为

GL4),最大值为1,最小值为-士

4

x2y2

20.(1)—+—=1(2)[-3,-1]U[1,3]

54

答案详解

1.结合题意利用并集的定义计算即可.

由题意可得：&U'8｛国I1<M,Bp，1.

故选：B.

2.由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.

2_2(1+4.

由题意可得：.Z<1I/

匚飞旬―2-1—

故选：D.

3.利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.

若函数f(x)在［0,1】上单调递增，则f(x)在［0,1］上的最大值为f(1),

若f(x)在［0,1］上的最大值为f(1),

比如，孔岭=卜一1

但y(4=(«--'r在【°，9】为减函数，在【：，1】为增函数，

'\/33，

故/(x)在【0,1］上的最大值为f(1)推不出/行)在【0,1】上单调递增，

故“函数分(x)在10,1】上单调递增”是“f行)在［0,1］上的最大值为f(D”的充分不必要条件,

故选：A.

4.根据三视图可得如图所示的几何体(三棱锥)，根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积.

【详解】根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥0-ABC,

其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形，

由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1,

故其表面积为，3x-xlxl+^x(^f=^^

2碑%』2

故选：A.

5.分析可得b二百a,再将点(或，旧)代入双曲线的方程，求出a的值，即可得出双曲线的标准方程.

【详解】九*卷=±=2则c=2a，9=：J蜻——=

则双曲线的方程为，

_____J

将点A/之、怎的坐标代入双曲线的方程可得屏W,解得a=l,故b=JW,

因此，双曲线的方程为.

故选：A.”

6.由已知条件求出b$的值，利用等差中项的性质可求得从的值.

%_%幺为现96x192

【详解】由已知条件可得，则1可怠=工=~^~=64

因此，逸.="色=卓更=1然

故选：B.

7.由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断

最大值.

由题意/＜一想=加欧一£1一加•一萩)二缈醺或一馔泗方=/(力所以该函数为偶函数，

,(1丫9

又，/(x)=eosx—2x=—2GOSZ-X+eosx+1=-2.修◎魅喜——+—

'I4,J8

19

所以当COSX=---时，f(X)取最大值---.

48

故选：D.

8.计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.

刈15.白

【详解】由题意，一个半径为殁一=100(mm)的圆面内的降雨充满一个底面半径为T”筋

高为150(mm)的圆锥，

-Kx5(rxl.5O

所以积水厚度，源=赘^^_=9$日加"属于中雨

部X1W,'

故选：B.

9.先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m

【详解】由题可得圆心为(0,0),半径为2,

则圆心到直线的距离，核=左^

则弦长为，2.14-^—

\籍+1

则当k=o时，弦长取得最小值为，2/—W2=2解得辗一±4.

故选：C.

10.使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式即可得解.

【详解】若要使〃尽可能的大，则0,递增幅度要尽可能小，

不妨设数列｛4｝是首项为3,公差为1的等差数列，其前〃项和为Sn

3+1^J.14

4=砰+2=--xll=SS<W5xll2=102>II

所以〃的最大值为11.

故选：C.

H.【详解】试题分析：卜」丫的展开式的通项a=’5/丫1一1

1V4v./1%餐3

令厂3得常数项为.蓦=(-!0C：=—4

12.根据焦半径公式可求M的横坐标，求出纵坐标后可求.S/、FMN

【详解】因为抛物线的方程为/=4%,故p=2且F(1,0).

因为IMF|=6,怎期+正=自解得篇^=5*=土绫6

2

所以，・%»=：城5_［抉％/5=系后

故答案为：5,475.

化—dk-

13.根据坐标求出款+&,再根据数量积的坐标运算直接计算即可.

【详解】，vS=(2=(X-11^=(04)

:金+苫=(4,0)--.(5+i)-e=4x0+0xl=0

II

:.勰%=2x2+1x(—1)=3

故答案为：0;3.

14.根据P,Q在单位圆上，可得9,。七-关于y轴对称，得出程+.+等=您+麓霖*鑫总之求解.

【详解】v产(的玦血图与白H喉H#+副关于,轴对称，

即0,。七一关于)，轴对称,

则，电=最需+~~力复云Z

12

当k=0时，可取。的一个值为等.

故答案为：(满足导=垢士启M公?即可)

1212

15.

由/(R)=0可得出|lgx|=Ax+2,考育直线j-=fcv+2

与曲线g(x)=|lgx|的左、右支分别相切的情形，利用方

程思想以及数形结合可判断各选项的正误.

【详解】对于①，当£=0时，由/(x)=|lgx|-2=0,

可得工=看或x=100，①正确；

对于②，考查直浅y=匕+2与曲线

F=-lgx(0<x<l)相切于点尸(，,一也，)r

对函数J=-lgK求导得尸’=一一,由题意可得

xlnlO

K+2=-lgr

1,辫得

/InlO

所以，存在£=——lge<0,使得/(k)只有一个零

e

点，②正确；

对于③，当直线P—过点(1,0)时，^+2=0,解

得£=-2,

IQQ

所以，当--^-lge<«<_2时，直线y=*x+2与曲线

y=-lg.v(0<x<1)有两个交点,

若函数/(x)有三个零点,则直线.r=kx+2与曲域

j，=-lgx(0<x<l)有两个交点,

直设y=fcv+2与曲浅.r=lgx(x>l)有f交点,所

-------1ge<K<—2“

以Jes,此榜式无解,

jt+2>0

因此，不存在A<0,使得函数/(x)有三个零点，③错

误；

对于④，考直直线.v=h+2与曲级y=lgx(x>l)相切

于点P(，,lgr),

对函数y=lgA求导得y'=\,由题意可得

xlnlO

灯+2=lg/t=100e

.1r解得〜Ige，

K=-------

/In10100e

所以，当0<«<襄时，困数/(x)有三个零点，④

正确>

故答案为：①②④.

【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数

的零点问题，求解此类问题的一般步骤：

(1)转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；

(2)列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；

(3)得解，即由列出的式子求出参数的取值范围.

16.(1)由正弦定理化边为角即可求解:

(2)若选择①：由正弦定理求解可得不存在;

若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求;

若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.

【详解】（I）・：c=2b8sB,则由正弦定理可

得sinC=2sin^cos5,

..2/r6

..sinID=sin—=—，•C———,

323

二研哈），240,日，

.•-25=^,解得3=9；

36

（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得

也

csinC7r-

一=----=十=73>

6sin8J

2

与‘=&6矛盾，故这样的A.4BC不存在；

若选择②：由（1）可得H=f,

设A.48C的外接圆半径为火,

则由正弦定理可得a=b=2Rsin£=R,

6

c=2Rs\n=^-=>J3R,

则周长a+b+c=2R+GR=4+26，

解得R=2,则a=2,c=2\/5.

由余弦定理可得8c边上的中线的长度为：

J（2V3）：+l:-2x273xlxcos^=V7；

若选择③：由⑴可得X=g,即a=b,

则S皿=L”>sinC=1/x在=逆，解得

皿2224

a=6，

则由余弦定理可得8C边上的中线的长度为：

L'+f-]-2x6x-xcos—=J3+—+>/3x—=

'⑴23V422

17.解析

（1）首先将平面CDE进行扩展，然后结合所得的平面与直线Bi。的交点即可证得题中的结论;

（2）建立空间直角坐标系，利用空间直角坐标系求得相应平面的法向量，然后解方程即可求得实数X的值.

【详解】⑴如图所示，取BQ的中点F',连结DE,EF',F'C,,

由于ABCD-ABCD为正方体，E,F’为中点，故EF'〃CD,

从而E,F',C,D四点共面，即平面G组即平面CDEF',

据此可得：直线BC交平面CDE于点F',

当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点F与点F'重合，

即点F为BC中点.

（2）以点D为坐标原点DA,DC,DD„方向分别为x轴，y轴，z轴正方形，建立空间直角坐标系，D-xyz

不妨设正方体的棱长为2,设，普=豌'。£为口）

则:M（2,2^2.）,C（0,2,0）,r[1,2,2）,£（1,0.2.）

从而：就=（—2逐_2庶一23序=0儿2），届=（0,-2,0）

设平面MCF的法向量为：，二_与贝I：

iii-MC=-2x^(2-2X)yx-2zx=0

mCF=X]+2z,=0

令4=-l可得：w=|2，Y~~,-\

设平面CFE的法向量为：”=（三,儿片?）,贝！I：

n-FE=-2y2=0

n-CF=x2+2Z2=0，

令4=-l可得：n=(2,0,-l),

,1i3

整理可得：=［，故（%=;舍去）.

【点睛】本题考查了立体几何中的线面关系和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻

辑推理能力，对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利

用向量的夹角公式求解.

18.解析

（1）①由题设条件还原情境，即可得解；

②求出才的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；

（2）求出E（Y）,分类即可得解.

【详解】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次;

所以总检测次数为20次；

②由题意，X可以取20,30,

.限=剪=《P(.X=30)=l-i=^

则x的分布列:

20・，30“

110

P*5一/—P

1111

所以；现町=20x1+3fix®=—

―111111

(2)由题意，丫可以取25,30,设两名感染者在同一组的概率为0,

#(¥=25)=^P(F=30)=1-/?

则，£(-F)=25p+30(l-p)=30-5p

若弃看时，喜㈤=或吟；

若斟嗑寸，双星A嚣⑺；

若然品，域，k呢分.

19.解析

(1)求出/(I)，/'(D、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；

(2)由/(-1)=0可求得实数”的值，然后利用导数分析函数分/6J的单调性与极值，由此可得出结

果.

3-，v

【详解】(1)当。=0时，/(*)=—^,贝！I

/，(x)=311^1，二〃1)=1,/，⑴=7,

X

此时，曲线,r=/(x)在点(1,/⑴)处的切线方程为

y-l=-4(x-l),即4x+y-5=0;

3-2x

(2)因为/(》)=不j，贝!J

_,()2x(32x)2(/3x~~0)

廿十°y'

“2(4-a)

由题意可得/(Tn)=；一~k=°,解得。=4,

(。+1)

3-2x",\_2(K+1)(X-4)

故/(*)=一7,/(”)=-「左一,列表如

、/JC+4(K+4)

下：

x.»d卜e(-L4)”4・，(4+8卜

，(力0”一•》03+♦

增.极大值.4极小值，塌.

所以，函数/(X)的增区间为(-8,-1)、(4,"),单调

递减区间为(T,4).

当x<：时，f(x)>0;当乂>：时，/(x)<0.

所以，/(X二=/(一1)=1,/(^L=/(4)=4-

20.(1)根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求ab,从而可求椭圆的标准方程.

⑵设典典QOKd"J,求出直线AB,AC的方程后可得M,N的横坐标，从而可得I喇+脚，联立直

线BC的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简I•微司+懈即，从而可求K的范围，注意判别式的要求.

【详解】(1)因为椭国过.4(0,-2),故6=2,

因为四个顶点围成的四边形的面积为4后,故

：x2ax2b=4召，即q=4,

设5«,凹）,。（通，％），

因为直浅的斜率存在,故演三H0,

T♦2

^，令y=-3，则

,同理Ev

弘+2

y-kx-3

:v=fcr-3r由

（4+5£；）/-308+25=0,

故△=900p一100（4+5左？）>0,解得《<一1或左>1.

T,故X/,>0,所以

4+5K-4+5太

又|PM|+RV卜匕+叫=4+

50A-30k

Ti,x-I-%丙一（演+±）_4+5£'4+5F

:

kx1-1h\-1|k'xyx2-i（.V1+x;）+l25k3Q9

故5k区15即k区3,

综上，-3<k<-\^\<k<3-

21.解析

⑴由题意考查团的值即可说明数列不是K数列；

(2)由题意首先确定数列的前4项，然后讨论计算即可确定的值；

(3)构造数列儿=an+p，易知数列gn}是R。的，结合(2)中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数p

的值.

【详解】(1)由性质③结合题意可知

0=/G{q+%+2,4+生+2+1}={2,3},

矛盾，故前4项2,-2,0」的数列，不可能是&数列.

(2)14^①qNO,%=0,

由性质③勺+26{。时,%,+1},因此q=q或q=q+i

,%=0或4=1,

若2=