2021江苏省三校联考高三数学模拟检测试题含答案解析

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江苏省三校联考（新高考）数学模拟检测试题含答案解析

2021届高三年级三校联考

数学

注意事项：

I.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上

秘

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回

一、选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.已知（c/i）n8=0,则下面选项中一定成立的是

A.A^\B=AB./n8=BC.D.A［）B=R

【答案】B

2.已知/是虚数单位,在复平面内，复数-2+i和1-3,对应的点间的距离是

A.>/5B.710C.5D.25

【答案】C

3.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与弩马发长安至齐，良

马初日行一百零三里,日增十三里；弩马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎弩

马，九日二马相逢，则长安至齐

A.1120里B.2250里C.3375里D.1125里

【答案】D

4.甲、乙、丙、丁四位同学决定去巴城老街、干灯古镇、周庄游玩，每人只能去一个地方，

周庄一定要有人去，则不同游览方案的种数为

A.60B.65C.70D.75

【答案】B

5.已知4B是圆。：t2+/=1上的两个动点，卜道，OC=3OA-2OB,M为线段

/仍的中点，则1•两的值为

11c33

A.-B.-C.-D.一

4242

【答案】A

6.雷达是利用电磁波探测目标的电子设备.电磁波在大气中大致沿直线传播.受地球表面曲率的

影响，雷达所能发现目标的最大直视距离

L=^（R+h^-R2++=S跖+月+,2火色+片，其中九为雷达天线架

设高度，色为探测目标高度，R为地球半径.考虑到电磁波的弯曲、

折射等因素，R等效取8490%"?，故R远大于九，公假设某探测

目标高度为25m,为保护航母的安全，须在直视距离390如，外探

测到目标，并发出预警,则舰载预警机的巡航高度至少约为

（参考数据：72x8.49=4,12）

A.6400/7?B.7200mC.8100/wD.lOOOOw

【答案】C

7.下列图象中可以作为函数/（幻=（金-14OSX部分图象的是

【答案】B

［解析】/（、）=雳3为奇函数，排除A，C

当x*国时，f（x）＜0，故选B

8.已知函数/(x)=*-2孚+1,(&LO);函数g(x)=xlnx;若歹(x)±2g(x),对

KX

Dxe(0,+8)恒成立，则实数〃的取值范围为

A.U,+8)B.[e,+8)C.—,+cc^D.—,+oc^j

【答案】D

【解析】Aefa-^^+A>2xln^=>fctefa-21n^+fcr>2x2lnx(*)

x

=>Ax(efa+1)>lnx2(x2+1)=Injc2-(e1"^+1)

令尸(x)=x(e*+l),F(kx)>F(lnx2)

由(*)式知显然A>0,当Inx?40时，不等式显然成立

当lnW>0时,Sfcr,lnx2>0,尸(x)在(0,+«))上/

Ax>Inx2=2InJC=>A>[2-I=—,故选D.

kx人赳e

二、选择题：本题共4小时,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得o分.

9.新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试(合格考)和选择性考试(选择考)，

其中"选择考"成绩将计入高考总成绩，即将学生考试时的原始卷面分数由高到低进行排序，

评定为48,C,Q,E五个等级，再转换为分数计入高考总成绩.某试点高中2020年参加"选

择考"总人数是2018年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生"选择考"

的水平情况，统计了该校2018年和2020年"选择考"成绩等级结果，得到如图所示的统计图

年读住竽业*甲法与iXttlK统计

E等筌器

针对该校“选择考"情况，2020年与2018年比较，下列说法正确的是

A.获得/等级的人数增加了

B.获得8等级的人数增加了15倍

C.获得。等级的人数减少了一半

D.获得E等级的人数相同

【答案】AB

10.A/1BC中，。为边4C上的一点，且满足而=g反,若尸为边8。上的一点，且满

足万=mAB+nAC(m>0,n>0),则下列结论正确的是

A.m+2n=\B.mn的最大值为—

12

4Ip-1

C.—+-的最小值为6+4V2D./M2+9n:的最小值为-

mn2

【答案】BD

11.已知函数/(x)=|cosx|Tsin|x||,下列说法正确的是

A.f(x)是偶函数B./(x)是周期为n的函数

C.〃x)在区间(天费)上单调递减D./(x)的最大值为正

【答案】ABC

【解析】对于A,由/(r)=|cosx|Tsin|M=/(x)知/(x)为偶函数，A正确；

对于B,f(x+n)=|cos(x+^)|-|sin|jf+^-||=|cosx|-|sin|JC||=f(x),，B正确；

对于C,当时,/(x)=-cosx+sinx=五sin(x-彳),

.•./。)在(T,?［上单调递减，C正确；

对于D,显然/(x)的最大值为1,D错误

故选ABC

12.已知正方体ABCD-43C。的棱长为4,M为DD,的中点，N为ABCD所在平面上

一动点，M为43。4所在平面上一动点，且MV1，平面4BCQ,则下列命题正确的是

兀"1

A.若MN与平面所成的角为-,则点N的轨迹为圆-------------

B.若三棱柱NAD-M4A的表面积为定值，则点N的轨迹为椭圆f.w

C.若点N到直线与直线QC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线:)

D.若"N与48所成的角为;,则点N的轨迹为双曲线

【答案】ACD

【解析】对于A,在底面ABCD的射影为ZMND，则

ITI。

^MND=-,:.DN=DM=2不-------

・•.N在以。为圆心，2为半径的圆上运动，A正确；

对于B,如图建系，设N(xj)油题意知,4(0,0),。(0,4)

.,.4jW+V+4jW+(y-47+16+4区为定值,即

乂4+即+汽石为定值，8错误；

对于C,由题意知8(4,0),NB=yJ(x-4)2+y2,/.V(^-4)2+/=|y-4|

Qy_y.2

N的轨迹方程为y=——为抛物线，C正确；

o

对于D,在民。基础上加上以441方向为二轴,此时。(0,4,4),N(xj,0)

48=(4,0,0),Q]N=(x,y-4,-4)

=>3x2-3-4)2=16

4次+(3-4)2+16

式-空=LN轨迹为双曲线’D正确

3

故选ACD

三、填空题：本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.在产品质量检测中，已知某产品的一项质量指标X~N(100,102)，且110<X<120的

产品数量为5436件.请估计该批次检测的产品数量是_________件

参考数据：一。<X=0.6826,P(p-la<X<p-v2cr)=0.9545,

尸(〃-3a<X<p+3cr)=0.997

【答案】40000

14.已知函数/(幻满足：/(x)=/(2-x)=-/(2+x),则符合题意的一个/(x)的解析式

可以为__________

0=0,/(x)=sin(5x)筹

【答案】答案不唯一，f(.

15.在四面体/8CZ)中，AB=五，DA=DB=CA=CB=\,则四面体ABCD的外接球

的体积为__________

【答案】当

3

【解析】取43中点E,贝\EA=EB=EC=ED=—,/\；\....-V

B41&后“乙二5^\/

二四面体外接球的半径为］丁，体积为三江•索•刀一二一—

Z3ZZJ3c

x2y

16.已知双曲线C：一—=!=l(b>0)，若在直线/:x+y+2=0上满足：端P能

4b

向双曲线。引两条互相垂直的切线,，则双曲线C的离心率取值范围是__________

【答案】“用

B/

【解析】设过尸点且与双曲线相切的直线方程为

y=k(x-xa)+ya,ya=-x0-2

I；**：；!；；n6丫-4丁，-2X/+x；)+y；+2A0y0(x-x0)]=4/

(b2-4k2*+(8A\-8®o)x-4k?x；-4y：+8h讯-4/=0

222

A=64(A\-koyo)+4(〃-4A)(4Ax^+44-Skxoyo+4^)=0

2222

4(kxu-ky0)+(b-4A2)(/*+页-2kx0y、+b)=0

222224

4(%与：-2k\y0+ky-)+bx1k+by^-2kbxoyo+b-4Ax—A/

322

+SxQyok-4kb=0

22224

(b飞-4b)k-2bxoyok+by^+b=0

(x；-4)公-2x0y0k+*+/=0,两根设为kt,k2

二"+从

=-1n(x0+2)2+/=4-^0

x；-4

x；+4x°+4+〃=4-x；,2x；+4xo+b2=O看成关于看的方程

A=16-8f»2>0=>0</>2<2

，双曲线C离心率e=坪=何4用

四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17(10分应①(a+b)(a-b)=(a-c)c，②2a-c=26cosC,(§)>/3(a-bcosC)=csinB

三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题

在A4BC中，内角48c的对边分别是。也c,且满足6=2百

(I)若a+c=4,求AJBC的面积；

(2)求。+。的取值范围

【解析】

22»21

若选①，由题意(a+b)(a-b)=(a-c)c,化简得一二-

2ac2

即cosB,0<B<不，得B=%

23

(I)由余弦定理6=(a+c):-2ac-2accosB，得12=4?-lac-lac•—,

的/曰41・1•乃G

解彳导ac=—,S=—crcsinn=-xsin—=——.

32233

(2)由正弦定理'一=上=上一=半=4,又因为<+。=生,

sinJsinesin8，33

~T

所以a+c=4(sin力+sinC)=4sin力+sin

=4^3—cosJ+—sinJ=4>^sinfj+—1,

22I6J6

因为0<<<且，—<J+—<—,sinf^+—^^—,1,Q+CW(20,46]

3666I6J12

若选②，由2a-c=26cosC,

彳导2sin力一sinC=2sinBcosC,2sin(B+C)-sinC=2sinBcosC,

化简得2cos8sinC=sinC，彳导cosB=',0<8<乃，得B=三

23

以下与选①同

若选③，由行(。一6cosc)=csin8，得力(sin4一sinBcosC)=sinCsinB,

即由[sin(3+C)—sin8cosC]=sinCsin3，化简得tanB=g,0<8〈万，

得8=3以下与选①同

18.（12分）设｛4｝是等比数列,公比大于0,他｝是等差数列，已知%=1,%=%+2,

a4=b3+b5,%="+2b6

（1）求应｝和低｝的通项公式;

fi3*<M<3A+,

（2般数列｛%｝满足9=,2=1£=［；“_3+其中*N•求数列｛%0-1）｝

的前〃项和

【解析】

(1)a,=1,Oj=%+2ng2_g_2=0

解得q=2或q=7(舍)

4+4=824+6d=84=1

所以4:2”一34+134=160

bA+2b6-16J=1

所以〃二，

(2)%=3〃，Cy=%=2J,.・.％=2R

B

br<cy-1)=3"(2"-'-1)=3x6"-'-3

设S"=(3x6°-3i)+(3x6i-32)+(3x62-33)+“・+(3x6"T-3")

=(3X6°+3X6'+3X62+-+3X6"-,)-(3I+32+-+3")

3：JX(1-6")3x(l-3")3x6"3"、9

-x-r+w

19.(12分)如图，三棱锥S-48C的底面48C和侧面SBC都是等边三角形，且平面SBC1

平面4BC

(I)若尸点是线段”的中点，求证："±平面P8C;

(2)点0在线段”上且满足月,求80与平面S/C所成角的正弦值§

【解析】/'\

(1)因为A/J3C和A58c都为等边三角形，且有公共边3C,QJy^J.c\

PHVAAB=SB=BC=AC=SC

因为尸为S4的中点，所以S413P,S4_LCP,|z

又因为BPRCP=P，所以S41平面P8C

(2)取8(7的中点。，连接。40S,由条件可得O45C0S两两垂直/：l\

以。为坐标原点，方，而，方的方向分别为X,%二轴的正方向\

建立空间直角坐标系，如图

B

X

设力8=2,则/O=OS=G,

则点/(C,0,0),8(0,1,0),C(0,-l,0),5(0,0,5/3),Q当,0堂

所以思=(6,1,0),&4=(V3,0,->/3),丽=(乎-1,用

设平面S4C的一个法向量为〃=(x,y,二)，

则，上一,+:°',令x=l,可得3=(1,-遥,1)

n-SA=->J3x-V3z=0,

设5。与平面S/C所成角为。,

0+乎

3710

sin。=|cos^BO,卜

10

xx/1+3+1

20.(12分)在新的高考改革形式下，江苏、辽宁、广东、河北、湖南、湖北、福建、重庆八

个省市在2021年首次实施"3+1+2”模式新高考为了适应新高考模式,在2021年I月23

日至1月25日进行了“八省联考"，考完后，网上流传很多种对各地考生考试成绩的评价，对

12种组合的选择也产生不同的质疑为此，某校随机抽一名考生小明(语文、数学、英语、物

理、政治、生物的组合)在高一选科前某两次六科对应成绩进行分析，借此成绩进行相应的推

断下表1是小明同学高一选科前两次测试成绩(满分100分)：

语文数学英语物理政治生物

第一次879291928593

第二次829495889487

(I)从小明同学第一次测试的科目中随机抽取I科，求该科成绩大于90分的概率；；

(2)从小明同学第一次测试和第二次测试的科目中各随机抽取1科，记X为抽取的2科中成

绩大于90分的科目数量，求X的分布列和数学期望E(X);

(3)现有另一名同学两次测试成绩(满分100分)及相关统计信息如下表2所示：

语文数学英语物理政治生物6科成绩均值6科成绩方差

第一次

q。2%%演

第二次bbx

a2b、b、f42D2

将每科两次测试成绩的均值作为该科的总评成绩，这6科总评成绩的方差为。，有一种观点认

为：若*=<D2,能推出D,<D}<D2则有理由认为"八省联考"考生成绩与选科有

关，否则没有理由否定12种选科模式的不合理性，即新高考模式12种选科模式是可取的假

设这种观点是正确的，通过表2内容，你认为新高考模式12种组合选科模式是否可取？

【解析】

(I)共有6科成绩，其中成绩大于90分的有数学、英语、物理和生物共4科，

所以从张明同学第一次测试的科目中随机抽取I科，该科成绩大于90分的概率为24=:2

(2)X的所有可能取值为：0,1,2,

P(X=0)=第弓，尸(X=l)=尸(『)=也」

叱2，(

所以X的分布列为:

X012

1

P

623

1117

数学期望£(X)=0x—+lx—+2x-=—

(3)设玉=/，则4+/+…+&=4+4+…+4=6x,

则6。[=(q-x)2+(%-4+…+(4-"

=。；+a；+…+%—2(<7]+生+…+4)x+6x~=a；+a：+…+Q；—12x~+6k

=a；+用+…+a；—6x.i

同理可得63=b-…-6/,

62=（等J+（叫+.••+（哨-6/.

因为。＜。2，所以+…+《＜月+片+…+4，

所以6。「60,=（怨j++…+_（］+a；+…+蛇）

=—4）（"+3aJ+（^2—"?），坛+、日2）+・..+-4X也+306）的符号不确定,

444

所以4与与无法比较大小，

6。广62=（粤］+（空］+…+（乎）〔而+后+…+幻

〈立尤+公出+…+妇生:+M+…+3

222'1267

=a；+a；+…+a：（6；+*+…+硝

所以，

综上所述由$=x?,£）,＜£）,,推不出。V。34a

故新高考模式12种组合选科模式是可取的

21（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆

P为右准线上一点点Q在椭圆上，且FQLFP

（I）若椭圆的离心率为;,短轴长为2』

①求椭圆的方程；

②若直线。。/0的斜率分别为3片,求&我的值；

（2）若在x轴上方存在P,。两点，使。,£尸,。四点共圆，求椭圆离心率的取值范围

【解析】解析一：

（1）①设椭圆的焦距为2c,

—C——1

a2'

a=2,

由题意，得2b=2瓜所以

b=y/3.

a2=b2+c2,

所以椭圆的方程为±+!=1

43

②由①得，焦点尸(1,0),准线为x=4,

解析1：

/v21

设P(4j),0(%,%),则乎+勺=1,所以火=3-9.

434

所以苑=(3T%),而=(3,，),

因为FPLFQ，所以国•而=3(x0-l)+%=0,

所以-%=3(X()-1).

解析2:

设。际%),则今+4=1,所以尤=3-白,

当XH1时，直线F。存在斜率，贝必做=工4，

又FPLFQ，所以直线程的方程为、=-上二■(x-1),

所以点P的坐标为f4,—3(犷1)]

I%J

3(x0-1)3

所以4.k2=---%—=乂；：3(%-1)=3欧+3*01)=-3；

X。x0-4x0-4x0x0-4x04

当x=l时，点2的坐标为,点尸的坐标为（4,0），也满足4.&=-：，

所以4.质的值为

（2）解析一:

，。（工0，%），因为尸尸，尸。,

则AO0的外接圆即为以PQ为直径的圆(jr-xo)+(y-/)(y-jo)=O

(c-Xo)+伙=0,

由题意，焦点/，原点。均在该圆上，所以

2

a八

—x0+%=0

c

消去仍得C---（C-X。）-----xo=0，所以Xo=C----

因为点尸,。均在X轴上方，所以一"C-区'<c,即C?+双一。2>0,

所以/+-1>0，又因为0<e<l,

所以^^<e<

1

2

解析二：

因为O,F,P,。四点共圆且尸,所以P0为圆的直径，

所以圆心必为尸。中点A/,

又圆心礴。尸的中垂线x=］上，

所以圆心M的横坐标为x“=1,

22

所以点Q的横坐标为XQ=2X„--=C--（以下同方法I）.

解析三：

⑴哈”=

椭圆标准方程为片+片=1

43

②椭圆右准线方程为工=4,F(1,O)

设小明四⑴%％1若•昌=!亨+力

则占生=纭维”j：：3x0-3

-%x0-4x„-4x0x：-4xo

K+3X「33%-2二3

x：-4xox：-4xo4

(2)-.-O,F,P,Q四点共圆且尸P1FQ

.•.P。为圆的直径

.•.圆心必过P。中点”(x。,%),又•.•圆心也在线段。尸的中垂线x=］上，

ccT

・・・%=7,/.X=C-----

2Qc

•.,尸,0均在x轴上方，「.一。<。----<c,

c

=>c2+ac-cr2>0=>e2+e-l>0=>