金版教程：2014高考科学复习解决方案 数学理科 第6章 第6讲课件

第6讲直接证明与间接证明不同寻常的一本书，不可不读哟！

1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.

1个熟知关键要搞清分析法、综合法、反证法的特点，把握三种方法在解决问题中的一般步骤，熟悉三种方法适用于解决的问题的类型．2个必会关系1.分析法与综合法往往是相结合的，综合法的过程离不开对问题的分析，分析的结果离不开综合的表达，因此在选择方法时要有综合的意识．2.在数学证明中，通常用分析法探索解题途径，用综合法书写解题过程．3点必记注意1.当题目条件较多，且都很明确时，由因导果较容易，一般用综合法，但在证明中，要保证前提条件正确，推理要合乎逻辑规律．2.当题目条件较少，可逆向思考时，执果索因，使用分析法解决．但在证明过程中，注意文字语言的准确表述．3.利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的.

课前自主导学1.直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的________，最后推导出所要证明的结论________从要________出发，逐步寻求使它成立的________，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止实质由因导果(顺推证法)执果索因(1)思考下列思维特点：①从“已知”逐步推向“未知”，即逐步寻找已知成立的必要条件．②从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”即逐步寻找结论成立的充分条件．满足综合法的是________，满足分析法的是________(请填写相应序号)．2．间接证明(1)反证法的定义假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明________，从而证明________的证明方法．(2)利用反证法证题的步骤①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；②由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止；③由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．简言之，否定→归谬→断言．核心要点研究例1

[2012·福建卷]某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；(2)sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；(3)sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；(4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；(5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(Ⅱ)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立．因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法．其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性．[审题视点]

由已知到结论，方向不够明确，因而采用分析法探明解题途径是必要的．分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导时，常考虑用分析法．注意用分析法证题时，一定要严格按照格式书写．证明：∵m>0，∴1＋m>0.所以要证原不等式成立，只需证明(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，即证m(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立，故原不等式得证.[审题视点]本题结论含有否定词，并且从正面入手不好证，可考虑反证法．奇思妙想：设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？解：(1)证明：假设数列{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，即a(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)，因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与公比q≠0矛盾，所以数列{Sn}不是等比数列．(2)当q＝1时，{Sn}是等差数列；当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则2S2＝S1＋S3，即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，得q＝0，这与公比q≠0矛盾．当一个命题的结论是以“至多”，“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．课课精彩无限【备考·角度说】No.1角度关键词：审题视角对于(1)，由于x≥1，y≥1，所以可先将分式不等式转化为整式不等式，然后作差处理．对于(2)，由于1<a≤b≤c，所以logab≥1，lgbc≥1恰与问题(1)中的x≥1，y≥1对立，故可令x＝logab，y＝logbc，然后借助问题(1)来证明问题(2)．No.2角度关键词：技巧点拨1．综合法和分析法各有其优缺点．分析法有利于思考，综合法宜于表达．因此在解题时常常把分析法和综合法结合起来运用．先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法表述解答或证明过程，有时两者交替使用才能成功．2．本题易失误的地方是不会用分析法寻找突破口，直接入手感觉无思路，从而导致不会．二是在作差变形时，变形不彻底或不会因式分解导致失败．第(2)问中的构造联想(1)问的结论是解题的突破口．经典演练提能1.[2013·绵阳周测]设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列关于t和s的大小关系中正确的是(

)A．t>s

B．t≥sC．t<s

D．t≤s答案：D解析：s－t＝b2－2b＋1＝(b－1)2≥0，∴s≥t，选D项．2．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为(

)A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数答案：D解析：∵a，b，c恰有一个是偶数，即a，b，c中只有一个偶数，其反面是两个或两个以上偶数或没有一个偶数即全都是奇数，故只有D正确．答案：C答案：③解析：(a＋3)2－(2a2＋6a＋11)＝－a2－2