重庆市二0三中学高三上学期第二次质量监测数学试题

二0三中学校202223上期高三第二次质量监测数学试题一､选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化简集合，然后根据交集运算即可得到答案【详解】解：因为，且，所以，故选：D2.根据分类变量与的观察数据，计算得到，依据下表给出的独立性检验中（）A.有的把握认为变量与独立B.有的把握认为变量与不独立C.变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过D.变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过【答案】D【解析】【分析】根据独立性检验的含义进行判断可得.【详解】由题意，，所以有的把握认为变量与不独立，即变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过.故选：D3.函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分析函数的奇偶性排除两个选项，再利用时，值为正即可判断作答.【详解】函数定义域为R，，即是奇函数，A，B不满足；当时，即，则，而，因此，D不满足，C满足.故选：C4.经研究发现，某昆虫释放信息素后，在距释放处的地方测得信息素浓度y满足，其中A，K为非零常数.已知释放1s后，在距释放处2m的地方测得信息素浓度为a，则释放信息素4s后，信息素浓度为的位置距释放处的距离为（）A. B. C.2m D.4m【答案】D【解析】【分析】根据题意，根据和时的表达式，结合对数运算，即可求解.【详解】根据题意，由，，，得当，时，，即，因此，故.故选：D.5.六名大四学生（其中4名男生、2名女生）被安排到A、B、C三所学校实习，每所学校2人，且2名女生不到同一学校，也不到C学校，男生甲不到A学校，则不同的安排方法共有（）A.9种 B.12种 C.15种 D.18种【答案】D【解析】【分析】用分步方法安排：第一步安排2名女生到两个学校，第二步学校选除男生甲外的1名男生，第三步学校再从剩下的3名男生中选1名，第四步最后2名男生安排到学校，由乘法原理计数．【详解】第一步2名女生分配到两个学校，方法数为，第二步学校选1名男生，方法数为（不含男生甲），第三步学校从剩下的3名男生中选1名，方法为，最后还有2名男生到学校，所以总方法数为．故选：D．6.曲线上的点到直线的最短距离是（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出曲线与直线平行的切线的切点，则到直线的距离即为所求．【详解】解：由题知：，再令得，故与直线平行的切线的切点为，所以所求的距离为：．故选：D．7.若，且，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由及二倍角的余弦公式可得，根据两角差的正弦公式可得，由诱导公式及的范围，结合正弦函数的单调性即可求解.【详解】解：∵，∴.由，可得，即.∴，∴.∵，∴，且.由于函数在上单调递增，∴，即.故选:C.8.若，且的解集为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】当时，由，得到，求导得到单调递增，从而求得的范围，再求得当时，的范围，再结合题意得到结果即可.【详解】当时，，由，可得，设，则，则在递增，所以，即当时，，可得当时，的解集为当时，的解集为，不满足题意，舍去因为关于的不等式的解集为当时，，满足当时，，不满足综上可得:的取值范围是故选:B.二､多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知随机变量服从正态分布，定义函数为取值不超过的概率，即.若，则下列说法正确的有（）A. B.C.在上是增函数 D.【答案】ACD【解析】【分析】根据正态分布的性质和逐个分析判断即可.【详解】对于A，因为随机变量服从正态分布，，所以，所以A正确，对于B，因为，，所以B错误，对于C，因为随机变量服从正态分布，，所以当时，随的增大，的值在增大，所以在上是增函数，所以C正确，对于D，因为，所以，所以D正确，故选：ACD10.已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（）A.B.的图象关于直线对称CD.在上的值域为【答案】AC【解析】【分析】结合函数图像求出的解析式，进而判断AC；利用代入检验法可判断B；利用换元法和三角函数性质求出在上的值域可判断D.【详解】由图像可知，，，故A正确；从而，又由，，因为，所以，从而，故C正确；因为，所以不是的对称轴，故B错误；当时，则，因为在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，，所以，故，即，从而，即在上的值域为，故D错误.故选：AC.11.已知函数，则下列说法正确的有（）A.在单调递增B.为的一个极小值点C.无最大值D.有唯一零点【答案】ABC【解析】【分析】求出函数的导数，借助导数分析、推理判断选项A，B，C；举例说明判断D作答.【详解】依题意，，令，求导得，当时，令，则，即在上递增，，则在上递增，，因此在上递增，A正确；当时，，求导得，显然函数在上递增，而，，则存在，使得，当时，，函数在上单调递增，当时，，即当时，，则，因此为的一个极小值点，B正确；当时，令，求导得，函数在上递增，当时，，而在上递增，值域为，因此当时，，所以无最大值，C正确；因，即和是函数的零点，D不正确.故选：ABC【点睛】结论点睛：可导函数y=f(x)在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同．12.已知a，，满足，则（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】A、D利用基本不等式即可判断，注意等号成立条件；B由，构造且，利用导数证明不等式；C根据A、B的分析，应用特殊值法判断.【详解】A：由，即，当且仅当时等号成立，正确；B：由，则且，令且，则，递减，所以，，即成立，正确；C：当时，，错误；D：由，当且仅当时等号成立，正确.故选：ABD三､填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.命题“，”是______（填：真/假）命题，它的否定是________.【答案】①.真②.，【解析】【分析】利用判定全称量词命题真假方法判断，再写出其否定作答.【详解】命题“，”是全称量词命题，因，，则，所以命题“，”是真命题，其否定是：，.故答案为：真；，14.已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sinβ的值为________．【答案】【解析】【详解】2tan(π－α)－3cos＋5＝0化为－2tanα＋3sinβ＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1化为tanα－6sinβ＝1，解方程组因而sinβ＝.故填.15.函数的所有零点之和为__________．【答案】9【解析】【分析】根据给定条件，构造函数，，作出这两个函数的部分图象，确定两个图象的交点个数，再结合性质计算作答.【详解】由，令，，显然与的图象都关于直线对称，在同一坐标系内作出函数，的图象，如图，观察图象知，函数，的图象有6个公共点，其横坐标依次为，这6个点两两关于直线对称，有，则，所以函数的所有零点之和为9.故答案为：916.记定义在上的可导函数的导函数为，且，，则不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】首先设函数，利用导数判断函数的单调性，不等式等价于，利用函数的单调性，即可求解.【详解】设，，所以函数单调递增，且，不等式，所以.故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.设函数，在处的切线方程为.（1）求实数，值；（2）求函数在上的单调区间和最值.【答案】（1）（2）单调递增区间为，单调递减区间为，最大值为1，最小值为.【解析】【分析】（1）由题意先求的导函数，利用导数的几何意义和切点的性质，建立的方程求解即可.（2）求的导函数，确定函数的单调性，即可求函数在上的最值.【小问1详解】因，所以，又的图象在处的切线方程为，所以解得【小问2详解】由（1）可知，，则当时，；当时，，故的单调递增区间为，单调递减区间为，又，所以在上的最大值为1，最小值为.18.（1）设，为锐角，且，，求的值；（2）化简求值：．【答案】（1）；（2）1【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系求得，然后算出的值，结合范围即可得到答案；（2）利用同角三角函数的基本关系、辅助角公式和二倍角公式，求得所给式子的值.【详解】解：（1）∵为锐角，，且，∴；∵为锐角，，且，∴，∴，∵，∴；（2）19.高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：，，，，，，．其中，，成等差数列且．物理成绩统计如表．（说明：数学满分150分，物理满分100分），若数学成绩不低于140分等第为“优”，物理成绩不低于90分等第为“优”.分组频数6920105（1）根据频率分布直方图，求出实数，，的值以及数学成绩为“优”的人数；（2）已知本班中至少有一个“优”同学总数为6人，从该6人中随机抽取3人，记为抽到两个“优”的学生人数，求的分布列和数学期望．【答案】（1），，，4人；（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）根据题中条件和频率分布直方图的性质列出方程，从而解得结果；（2）依题意可得抽取6人中，两科均为“优”的同学为3人，写出的可能值，求出对应的概率，进而可得分布列和数学期望.【详解】（1）由于，，．解得，，，数学成绩为“优”的人数：（人）（2）数学成绩为“优”的同学有4人，物理成绩为“优”有5人，因为至少有一个“优”的同学总数为6名同学，故两科均为“优”的同学为3人，故的取值为0，1，2，3．，，．则的分布列为0123．20.已知函数.（1）求的最小正周期和对称轴方程；（2）若函数在存在零点，求实数的取值范围.【答案】（1）最小正周期为，对称轴方程为（2）【解析】【分析】（1）化简函数，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）根据题意转化为在上有解，根据时，得到，即可求解.【小问1详解】解：对于函数，所以函数的最小正周期为，令，解得，所以函数的对称轴的方程为.【小问2详解】解：因为函数在存在零点，即方程在上有解，当时，可得，可得，所以，解得，所以实数的取值范围.21.2022年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市.为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：（1）在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求在抽到学校至少有一个参与“自由式滑雪”超过40人的条件下，“单板滑雪”不超过30人的概率；（2）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行､转弯､停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”.则该轮测试记为“优秀”，在集训测试中，小明同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到3次，那么理论上至少要进行多少轮测试？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件结合条件概率的概率公式求解；（2）根据题意，结合二项分布的概率公式求解.【小问1详解】由题可知10个学校，参与“自由式滑雪”的人数依次为27，15，43，41，32，26，56，36，49，20，参与“单板滑雪”的人数依次为46，52，26，37，58，18，25，48，32，30，其中参与“自由式滑雪”的人数超过40人的有4个，参与“自由式滑雪”的人数超过40人，且“单板滑雪”的人数超过30人的有2个.设事件为“从这10所学校中抽到学校至少有一个参与“自由式滑雪”的人数超过40人”事件为“从10所学校中选出的3所学校中参与“单板滑雪”的人数不超过30人”则，，，所以.【小问2详解】由题意可得小明同学在一轮测试中为“优秀”的概率为，所以小在轮测试中获得“优秀”的次数满组，由，得.所以理论上至少要进行12轮测试.22.设，其中．（1）讨论的单调性；（2）令，若在上恒成立，求的最小值．【答案】（1）答案见解析；