高中数学各章节复习提纲

高三数学复习提纲第62页第01章集合与简易逻辑集合及其运算一．集合的概念：某些指定的对象集在一起就称为一个集合，也简称集．二．集合的特征：⑴确定性⑵无序性⑶互异性三．表示方法：⑴列举法⑵描述法⑶图示法⑷区间法四．两种关系：1．从属关系体现了对象与集合的关系，用、等符号连接；2．包含关系体现了集合与集合的关系，用、等符号连接；注：⑴子集：对于两个集合与，如果集合中的每一个元素都在集合中，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作：，也称作集合A是集合B的子集．⑵集合相等：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作．⑶真子集：对于两个集合与，如果，并且，我们就说集合A是集合B的真子集，记作．五．三种运算：交集：并集：补集：六．运算性质：1．子集（真子集）的性质：⑴空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集．⑵含有个元素的集合的所有子集的个数为，所有真子集的个数为，所有非空真子集的个数为，所有二元子集（含有两个元素的子集）的个数为．2．交集的性质：⑴，，；⑵若，则，反之也成立3．并集的性质：⑴，，，⑵若，则，反之也成立．4．补集的性质：⑴，，．⑵，．六．常见数集：正整数集自然数集整数集有理数集实数集复数集简易逻辑一．逻辑联结词：1．命题是可以判断真假的语句的语句，其中判断为正确的称为真命题，判断为错误的为假命题．2．逻辑联结词有“或”、“且”、“非”．3．不含有逻辑联结词的命题，叫做简单命题，由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题．4．真值表：pq非pp且qP或q真真假真真真假假真假真真假真假假假假二．四种命题：1．原命题：若则逆命题：若P则q，即交换原命题的条件和结论；否命题：若q则p，即同时否定原命题的条件和结论；逆否命题：若┑P则┑q，即交换原命题的条件和结论，并且同时否定．2．四个命题的关系：⑴原命题为真，它的逆命题不一定为真；⑵原命题为真，它的否命题不一定为真；⑶原命题为真，它的逆否命题一定为真．三．充分条件与必要条件1．“若则”是真命题，记做，“若则”为假命题，记做，2．若，则称是的充分条件，是的必要条件3．若，且，则称是的充分非必要条件；若，且，则称是的必要非充分条件；若，且，则称是的充要条件；若，且，则称是的既不充分也不必要条件．4．若的充分条件是，则；若的必要条件是，则．第02章函数指数与对数运算一．分数指数幂与根式：如果，则称是的次方根，的次方根为0，若，则当为奇数时，的次方根有1个，记做；当为偶数时，负数没有次方根，正数的次方根有2个，其中正的次方根记做．负的次方根记做．1．负数没有偶次方根；2．两个关系式：；3、正数的正分数指数幂的意义：；正数的负分数指数幂的意义：．4、分数指数幂的运算性质：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸，其中、均为有理数，，均为正整数二．对数及其运算1．定义：若，且，，则．2．两个对数：⑴常用对数：，；⑵自然对数：，．3．三条性质：⑴1的对数是0，即；⑵底数的对数是1，即；⑶负数和零没有对数．4．四条运算法则：⑴；⑵；⑶；⑷．5．其他运算性质：⑴对数恒等式：；⑵换底公式：；⑶；；⑷．函数的概念一．映射：设A、B两个集合，如果按照某中对应法则，对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，这样的对应就称为从集合A到集合B的映射．二．函数：在某种变化过程中的两个变量、，对于在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，都有唯一确定的值和它对应，则称是的函数，记做，其中称为自变量，变化的范围叫做函数的定义域，和对应的的值叫做函数值，函数值的变化范围叫做函数的值域．函数是由非空数集到非空数集B的映射．三．函数的三要素：解析式；定义域；值域，函数当且仅当解析式和定义域相同时，才是相同的函数函数的解析式一．根据对应法则的意义求函数的解析式；例如：已知，求函数的解析式．二．已知函数的解析式一般形式，求函数的解析式；例如：已知是一次函数，且，函数的解析式．三．由函数的图像受制约的条件，进而求的解析式．函数的定义域一．根据给出函数的解析式求定义域：⑴整式：⑵分式：分母不等于0⑶偶次根式：被开方数大于或等于0⑷含0次幂、负指数幂：底数不等于0⑸对数：底数大于0，且不等于1，真数大于0二．根据对应法则的意义求函数的定义域：例如：已知定义域为，求定义域；已知定义域为，求定义域；三．实际问题中，根据自变量的实际意义决定的定义域．函数的值域一．基本函数的值域问题（见第9页）：二．求函数值域（最值）的常用方法：函数的值域决定于函数的解析式和定义域，因此求函数值域的方法往往取决于函数解析式的结构特征，常用解法有：观察法、配方法、换元法（代数换元与三角换元）、常数分离法、单调性法、不等式法、*反函数法、*判别式法、*几何构造法和*导数法等．反函数一．反函数：设函数的值域是，根据这个函数中，的关系，用把表示出，得到．若对于中的每一值，通过，都有唯一的一个与之对应，那么，就表示是自变量，是自变量的函数，这样的函数叫做函数的反函数，记作,习惯上改写成．二．函数存在反函数的条件是：、一一对应．三．求函数的反函数的方法：⑴求原函数的值域，即反函数的定义域⑵反解，用表示，得⑶交换、，得⑷结论，表明定义域四．函数与其反函数的关系：⑴函数与的定义域与值域互换．⑵若图像上存在点，则的图像上必有点，即若，则．⑶函数与的图像关于直线对称．函数的单调性一．定义：一般的，对于给定区间上的函数，如果对于属于此区间上的任意两个自变量的值，，当时满足：⑴，则称函数在该区间上是增函数；⑵，则称函数在该区间上是减函数．二．判断函数单调性的常用方法：1．定义法：⑴取值；⑵作差、变形；⑶判断：⑷定论：*2．导数法：⑴求函数f(x)的导数；⑵解不等式，所得x的范围就是递增区间；⑶解不等式，所得x的范围就是递减区间．3．复合函数的单调性：对于复合函数，设，则，可根据它们的单调性确定复合函数，具体判断如下表：增增增增减减减增减减减增函数的奇偶性：一．定义：对于函数定义域中的任意一个，如果满足，则称函数为奇函数；如果满足，则称函数为偶函数．二．判断函数奇偶性的步骤：1．判断函数的定义域是否关于原点对称，如果对称可进一步验证，如果不对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数．2．验证与的关系，若满足，则为奇函数，若满足，则为偶函数，否则既不是奇函数，也不是偶函数．二．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．三．已知、分别是定义在区间、上的奇（偶）函数，分别根据条件判断下列函数的奇偶性．奇奇奇奇奇偶奇偶奇偶奇偶奇偶偶偶偶偶五．若奇函数的定义域包含，则．六．一次函数是奇函数的充要条件是；二次函数是偶函数的充要条件是．七．奇函数在对称区间上的单调性相反；偶函数在对称区间上的单调性相同．函数的周期性：一．定义：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，则为周期函数，为这个函数的一个周期．二．如果函数所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期．如果函数的最小正周期为，则函数的最小正周期为．三．如果函数满足、或恒成立，均可证明函数为周期函数，且为这个函数的一个周期．函数的图像一．基本函数的图像1．反比例函数图像定义域值域单调性在，为减函数在，为增函数奇偶性奇函数奇函数2．一次函数图像定义域值域单调性在为增函数在为减函数奇偶性当时为奇函数当时为奇函数3．二次函数图像定义域值域单调性在为减函数在为增函数在为增函数在为减函数奇偶性当时为偶函数当时为偶函数4．指数函数图像定义域值域单调性在为减函数在为增函数奇偶性既不是奇函数也不是偶函数既不是奇函数也不是偶函数其它当时，当时，当时，当时，5．对数函数图像定义域值域单调性在为减函数在为增函数奇偶性既不是奇函数也不是偶函数既不是奇函数也不是偶函数其它当时，当时，当时，当时，二．图像变换：将图像上每一点向上或向下平移个单位，可得的图像将图像上每一点向左或向右平移个单位，可得的图像将图像上的每一点横坐标保持不变，纵坐标拉伸或压缩为原来的倍，可得的图像将图像上的每一点纵横坐标保持不变，横坐标压缩或拉伸为原来的，可得的图像关于轴对称关于轴对称将位于轴左侧的图像去掉，再将轴右侧的图像沿轴对称到左侧，可得的图像将位于轴下方的部分沿轴对称到上方，可得的图像三．函数图像自身的对称关系图像特征关于轴对称关于原点对称关于轴对称关于直线对称关于直线轴对称关于直线对称周期函数，周期为四．两个函数图像的对称关系图像特征与关于轴对称与关于轴对称与关于原点对称与关于直线对称与关于直线对称与关于轴对称第03章数列数列的基本概念一．数列是按照一定的顺序排列的一列数，数列中的每一个数都叫做这个数列的项．二．如果数列中的第项与项数之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公事，它实质是定义在正整数集或其有限子集的函数解析式．三．数列的分类：按项的特点可分为递增数列、递减数列、常数列、摇摆数列按项数可分为有穷数列和无穷数列四．数列的前项和：与的关系：五．如果已知数列的第1项(或前几项)，且任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是给出数列的一种方法．如：在数列中，，，其中即为数列的递推公式，根据数列的递推公式可以求出数列中的每一项，同时可根据数列的前几项推断出数列的通项公式，至于猜测的合理性，可利用数学归纳法进行证明．如上述数列，根据递推公式可以得到：，，，，进一步可猜测．等差数列一．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示．二．通项公式：若已知、，则；若已知、，则三．前项和公式：若已知，，则；若已知、，则注：⑴前项和公式的推导使用的是倒序相加法的方法．⑵在数列中，通项公式，前项和公式均是关于项数的函数，在等差数列通项公式是关于的一次函数关系，前项和公式是关于的没有常数项的二次函数关系．⑶在等差数列中包含、、、、这五个基本量，上述的公式中均含有4基本量，因此在数列运算中，只需知道其中任意3个，可以求出其余基本量．四．如果、、成等差数列，则称为与的等差中项，且．五．证明数列是等差数列的方法：1．利用定义证明：2．利用等差中项证明：3．利用通项公式证明：4．利用前项和公式证明：六．性质：在等差数列中，1．若某几项的项数成等差数列，则对应的项也成等差数列，即：若若，则．2．若两项的项数之和与另两项的项数之和相等，则对应项的和也相等，即：若，则．3．依次相邻每项的和仍成等差数列，即：，，成等差数列．4．，，，…，，仍成等差数列，其公差为．等比数列一．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的比都是同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用宇母表示．二．通项公式：若已知、，则；若已知、，则三．前项和公式：当公比时，当公比时，若已知、、，则若已知、、，则注：⑴等比数列前项和公式的推导使用的是错位相减的方法．⑵在等比数列中包含、、、、这五个基本量，上述的公式中均含有4基本量，因此在数列运算中，只需知道其中任意3个，可以求出其余基本量．四．若、、成等比数列，则称为与的等比中项，且、、满足关系式．五．证明数列是等比数列的方法：1．利用定义证明：2．利用等比中项证明：3．利用通项公式证明：六．性质：在等比数列中，1．若某几项的项数成等差数列，则对应的项成等比数列，即：若，则2．若两项的项数之和与另两项的项数之和相等，则对应项的积相等，即：若，则3．若数列公比，则依次相邻每项的和仍成等比数列，即，，成等比数列。4．，，，…，，仍成等比数列，其公比为．数列求和1．常见数列的前n项和：⑴自然数数列：1，2，3，…，n，…⑵奇数列：1，3，5，…，，…⑶偶数列：2，4，6，…，，…⑷自然数平方数列：，，，…，，…2．等差、等比数列：利用等差、等比数列的求和公式．3．数列满足：，其中、为等差或者等比数列．方法：拆项，转化成两个等差或等比各项的和（差）．4．数列满足：，其中是公差为的等差数列；是公比为的等比数列．方法：错位相减．5．若数列满足：，其中、、均为常数．方法：裂项法，设，其中为可确定的参数．第04章三角函数角度与弧度制1．弧度与角度的互化：2．终边相同角：与角有相同终边的角的集合可以表示为：3．特殊角的集合：⑴各个象限的角的集合第一象限角：第二象限角：第三象限角：第四象限角：⑵角的终边在各个坐标轴上的角的集合终边在轴的角：终边在轴的角：终边在坐标轴上的角：终边在第一三象限角平分线上：终边在第二四象限角平分线上：4．弧长公式和扇形面积公式：已知设扇形的半径为，圆心角为，则弧长，扇形的面积任意角三角函数的定义：二．任意角三角函数的定义：1．定义：以角顶点为原点，始边为轴的非负半轴建立直角坐标系。在角的终边上任取不同于原点的一点，设点与原点的距离为，则，则角的六个三角函数依次为：，，，，2．特殊角的三角函数值00101000103．三角函数的定义域与值域：定义域值域4．三角函数值的符号：5．三角函数线如左图，角的终边与单位圆交于点，过点作轴的垂线，垂足为，则有向线段为角的正弦线，有向线段为角的余弦线；过点作轴的垂线交角的终边或角终边的反向延长线于，则有向线段为角的正切线．同角三角函数基本关系式倒数关系：、、商数关系：、平方关系：正弦、余弦的诱导公式“奇变偶不变”：当为奇数时，的三角函数值为的余函数，当为偶数时，的三角函数值为的原函数；“符号看象限”：在的三角函数前加上一个把看作锐角时原三角函数值的符号.；．；．；．；．；．；．；．；．；．两角和与差的三角函数：一．基本公式：二．常见关系：1．辅助角公式：如：；；二倍角公式一．基本公式：二．常见关系式：1．2．三角函数的图像：一．正弦、余弦、正切函数的图像：1．正弦函数2．余弦函数3．正切函数二．三角函数的图象变换：1．：将图象上各点横坐标保持不变，纵坐标拉伸或压缩为原来的倍得到．2．：将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标压缩或拉伸为原来的倍得到．3．：将的图象向右或向左平移个单位得到．4．函数的图象可以看作是由函数的图象分别经过下面的两种方法得到：⑴①将的图象向左或向右平移个单位，可得到函数图象；②将得到图象点的纵坐标保持不变，横坐标压缩或拉伸为原来的倍，得到函数图象；③将新图象各点横坐标保持不变，纵坐标拉伸或压缩为原来的倍，可得函数图象．⑵①将图象点纵坐标保持不变，横坐标压缩或拉伸为原来的倍，可以得到函数图象；②将得到的图象向左或向右平移个单位就得到函数图象；③将新的图象各点横坐标保持不变，纵坐标拉伸或压缩为原来的倍，可得函数的图象．三．形如的函数图像的画法——五点法，即根据分别取、、、、时对应的与的值描点作出的一个周期的图像．三角函数的性质函数名称正弦函数余弦函数正切函数定义域RR值域R最值当时，当时，当时，当时，周期奇偶性奇函数偶函数奇函数对称轴对称中心单调性增减三角形中的边角关系一．正弦定理：在一个三角形中，各边和他所对角的正弦的比都等于该三角形外接圆的直径，即：二．余弦定理：三角形任意一边的平方等于其他两边的平方减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即：推论：；；三．相关结论：在中，角、、所对的边分别为、、，⑴，，⑵，，，，⑶根据正弦定理：，，⑷三角形面积公式：=1\*GB3①三角形的面积等于三角形任意一边与对应边上的高的乘积的一半，即：=2\*GB3②三角形的面积等于三角形的任意两边与其夹角的正弦值乘积的一半，即：第05章平面向量向量的基本概念1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量可以用一条有向线段来表示．2．向量的长度：向量的大小，也就是向量的长度（也称为的模），记作．3．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作，零向量的方向是任意的．4．单位向量：长度等于1的向量叫做单位向量．5．平行向量：方向相同或相反的向量叫做平行向量，也叫做共线向量，若向量、平行，记作．6．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量的加法与减法：1．两个向量的和：已知向量、，平移向量，使的起点与的终点重合，那么以的起点为起点，的终点为终点的向量叫做向量与向量的和．求两个向量和的运算叫做向量的加法．2．向量加法的三角形法则：根据向量和的定义，以第一个向量的终点A为起点作第二个向量，则以的起点O为起点，以的终点B为终点的向量就是与的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的三角形法则．3．向量加法的平行四边形法则：以同一点A为起点的两个已知向量、为邻边作平行四边形ABCD，则以A为起点的对角线就是，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．4．向量加法运算律：⑴交换律：⑵结合律：5．相反向量：与向量方向相反的向量叫做的相反向量，记作．规定：零向量的相反向量仍是零向量．性质：⑴⑵6．两个向量的差：加上的相反向量叫做与的差，即：7．向量的减法：求两个向量差的运算叫做向量的减法。法则：如图所示，已知向量、，在平面内任取一点O，作，，则，即表示从向量的终点指向的终点的向实数与向量的积：1．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：⑴⑵当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反2．实数与向量的积所满足的运算律：设、为实数，那么：⑴；⑵⑶3．向量共线的充要条件：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得．4．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使．平面向量的坐标运算：1．平面向量的坐标：分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于一个向量，有且只有一对实数、，使得，则称为向量的坐标，记做．2．向量的坐标与起点为原点的向量是一一对应的关系，即：向量向量点3．平面向量的坐标运算：设，，，则：⑴；⑵；⑶．若点，，则．4．向量与共线的充要条件是．平面向量的数量积及运算律：1．两个向量的夹角：已知两个非零向量，作，，则（）叫做向量与的夹角．当时，与同向；当时，与反向，如果与的夹角是时，则称与垂直，记作．2．两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则数量叫做与的数量积，记作，即：．规定：零向量与任一向量的数量积为0，即．3．向量数量积的几何意义：叫做向量在方向上的投影，其中当为锐角时，它是正值，当为钝角时，它是负值，当时，它是0．的几何意义是：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积．4．向量数量积的性质：设、都是非零向量，是与的夹角，则：⑴（是与方向相同的单位向量）⑵⑶当与同向时，；当与反向时，；特殊的，，或者⑷⑸5．向量的数量积的运算律：⑴；⑵⑶6．向量数量积的坐标运算：⑴设，，则．⑵若向量，垂直的充要条件是．⑶若，则．⑷设，，则．线段的定比分点与平移1．点分所成的比：设，是直线上的两点，是上不同于，的任一点，存在实数，使，则叫做点分所成的比．2．定比分点坐标公式：设，，若点分所成的比为，则点的坐标满足：．3．中点坐标公式：若点为，的中点，则．4．平移公式：若点沿向量平移至点，则第06章不等式不等式的性质1．两个实数比较大小的依据：2．反对称性：如果，那么；如果，则．3．传递性：如果，且，那么．4．加法性质：如果，那么．推论1：如果，那么．推论2：如果，，那么．推论3：如果，，那么．5．乘法性质：如果，，那么；如果，，那么．推论1：如果，，那么．推论2：如果，那么，且．推论3：如果，，那么．*推论4：如果，，那么．6．开方性质：如果，那么，且．7．；．注：⑴当且仅当时取到等号；⑵；．8．绝对值不等式的性质：．不等式的解法：1．一元一次不等式：RR2、一元二次不等式：两个不等的实根、两个相等的实根没有实数根RRR2.高次不等式：穿线法：例如：第1步：将的最高次项的系数化为正数，并分解为若干一次因式的乘积，即：第2步：将方程的根标在数轴上，并从右上方依次穿过各点画曲线，且奇穿过，偶回头。第3步：根据曲线显示的的值的符号的变化规律，写出不等式的解集。或或3．分式不等式：分式化整式：1.；2.；3.4．含绝对值的不等式：1.2.3.或或第07章直线与圆一．直线的斜率：1．直线的倾斜角：将直线绕它与轴的交点逆时针旋转形成的最小的正角称为直线的倾斜角．直线的倾斜角满足：．2．直线的斜率：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率．直线的斜率常用k表示．已知点，，若经过这两点的直线的斜率存在（即），则：．3．若直线的斜率为，倾斜角为，则：二．直线的方程：名称条件方程限制点斜式点，斜率不能表示垂直于轴的直线斜截式点，斜率不能表示垂直于轴的直线两点式点，不能表示垂直于轴和轴的直线截距式点，不能表示垂直于轴、轴以过原点的直线一般式、不同时为零说明：⑴确定直线的条件：⑴两个点；⑵一点和直线的方向．⑵方向向量：为经过点，的直线的一个方向向量，若直线的斜率存在，则向量也是它的方向向量．⑶直线在坐标轴的截距是坐标，不是距离．如直线在轴的截距为，在轴的截距为．三．点与直线的关系：已知点，直线，1．若点在直线上，则2．点到直线的距离四．两条直线的位置关系1．平行：⑴若，，则，且⑵与直线平行的直线方程为：．⑶两条平行直线，间的距离2．垂直⑴若，，则，⑵与直线的垂直的直线的方程为．3．三种位置关系的判断：直线，直线重合平行相交注：以上判断均针对于参数、、、不为零的情况，否则根据具体情况具体判断．4．夹角：⑴到的角：直线依逆时针方向旋转到与重合时所转的角，且⑵与的夹角：两条直线所成的不大于直角的角，且，五．对称1．点关于点的对称点：中点问题若点，，则点关于点的对称点的坐标为：2．直线关于点的对称直线：平行线问题若直线与关于点对称，则，且点到两直线的距离相等．3．点关于直线的对称点：垂直平分线问题点、关于直线对称，则直线是线段的垂直平分线，满足条件：⑴；⑵中点在直线上，以此列出下列方程组：，可以求得坐标．4．直线关于直线的对称直线：角平分线问题．简单的线性规划一．二元一次不等式（或）在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线）．二．确定二元一次不等式表示的区域的步骤如下：1．在平面直角坐标系中作出直线．2．在直线的某一侧取一点，特殊地，当时，常把原点作为此特殊点．3．将代入求值．4．若，则包含点的半平面为不等式所表示的平面区域，不包含此点的半平面为不等式所表示的平面区域．三．目标函数，线性目标函数线性规划问题，可行解，可行域，最优解：在数学中有这样的一类问题：求出一组变量、的值，使它们满足不等式组（方程组）：并且使函数取得最大值（或最小值）．式中的，，…，，，，，…，，，均是给定的常数．上述问题中，不等式组是一组对变量、的约束条件，由于这组约束条件都是关于、的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．是欲达到最大值或最小值所涉及的变量、的解析式，我们把它称为目标函数．由于又是关于、的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数．求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域．其中可行解、(一般是区域的顶点)分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解．四．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1．根据线性约束条件画出可行域（即不等式组所表示的公共区域）；2．设，画出直线；3．观察、分析，平移直线，从而找到最优解、；4．最后求得目标函数的最大值及最小值．圆与圆的方程一．圆的标准方程：1．圆的标准方程：，圆心为，半径为2．点与圆的位置关系：设圆，点点在圆上点在圆外点在圆内3．直线与圆的位置关系：⑴方程的思想：由直线方程与圆的方程联立，利用方程组的解的个数，可解决直线与圆的交点问题和位置关系（相交、相切、相离）问题．⑵几何的性质：利用圆心到直线的距离与圆的半径的关系解决．对于直线，圆圆心到直线的距离位置关系相离相切相交图示几何关系代数关系4．圆与圆的位置关系设圆，、两个圆圆心距离，两个圆的位置关系可通过、、的关系确定．外离外切相交内切内含二．圆的一般方程：1．圆的一般方程：对于圆的一般方程，可配方为：因此其圆心坐标为，半径2．二元二次方程表示圆的充要条件：⑴；⑵；⑶4．圆的参数方程：⑴圆心在原点，半径为的圆的参数方程⑵圆心在，半径为的圆的参数方程第08章圆锥曲线椭圆一．定义：⑴平面内到两个定点、的距离之和等于常数（大于）的动点的轨迹为椭圆．⑵平面内到定点和定直线的距离之比为常数的动点的轨迹为椭圆．二．几何性质：方程图形范围，，对称关于、轴成轴对称、关于原点成中心对称焦点、、顶点、、轴长长轴长、短轴长离心率准线方程双曲线一．定义：⑴平面内到两个定点、的距离差的绝对值等于常数（小于）的动点的轨迹为双曲线．⑵平面内到定点和定直线的距离之比为常数的动点的轨迹为双曲线．二．几何性质：方程图形范围对称关于轴、轴成轴对称、关于原点成中心对称焦点顶点轴长实轴长为，虚轴长为离心率准线渐近线抛物线一．定义：在平面内，到定点与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线．二．几何性质：方程图形特征焦点准线开口向右开口向左开口向上开口向下直线与圆锥曲线设直线，双曲线，联立直线方程与双曲线方程，建立方程组，消元转化为关于或的一元二次方程：一．公共点个数的确定：当，即时，方程只有一解，则直线与双曲线相交但是只有一个交点，此时直线与双曲线的渐近线平行，当，即时，计算的值：若，则直线与双曲线有两个公共点；若，则直线与双曲线有一个公共点；若，则直线与双曲线没有公共点．二．弦长的确定：设直线与双曲线相交于两点、，直线的斜率为，则：因此要求弦长，只需建立直线方程与双曲线方程组成的方程组，然后消元转化为关于或的一元二次方程，利用根与系数关系解决．三．弦中点的确定：利用韦达定理还可以求出中点的横坐标，然后代入直线方程可以求出纵坐标．在解决弦长及弦中点问题，需要求未知系数时，在求出系数后应检验直线与曲线是否存在两个交点，即检验关于的一元二次方程是否有两个根．四．其它问题：在某一些直线与曲线相交的问题的处理中，并不是上述类型的问题，但是总可以将题中给出的直线与曲线产生的几何关系用直线与曲线的交点坐标表示出来，然后再利用相关的工具（如根与系数关系）解决．第09章直线、平面、简单几何体平面的性质【公理1】如果一条直线上有两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内（图1）．【公理2】如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过这个公共点的公共直线（图2）．【公理3】经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（图3）．图1图2图3【推论1】经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面（图4）．【推论2】经过两条相交直线有且只有一个平面（图5）．【推论3】经过两条平行直线有且只有一个平面（图6）．图4图5图6直线、平面的平行与垂直1．直线与直线平行文字语言图形符号定义：在同一个平面内没有公共点的两条直线．平行公理：平行于同一条直线的两条直线平行．直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线与交线平行．直线与平面垂直的性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．平面与平面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。2．直线与平面平行文字语言图形符号定义：直线与平面没有公共点．直线与平面平行的判定：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．平面与平面平行的性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线必平行于另一个平面．3．平面与平面平行文字语言图形符号定义：两个平面没有公共点．平面与平面平行的判定：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．如果一条直线与两个平面都垂直，那么这两个平面平行．4．直线与直线垂直文字语言图形符号定义：两条直线成角．如果一条直线与两条平行直线中的一条直线垂直，那么它一定与另外一条直线也垂直．直线与平面垂直的性质：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线一定与该平面中的每一条直线都垂直．三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．5．直线与平面垂直文字语言图形符号定义：直线和平面内的每一条直线都垂直．直线与平面垂直的判定：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．直线与平面垂直的判定：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．平面与平面平行的性质：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另外一个平面．平面与平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．6．平面与平面垂直文字语言图形符号定义：与成直二面角，则．平面与平面垂直的判定：如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．距离问题关于距离问题主要有：点与点的距离、点和直线的距离、直线与直线（平行直线、异面直线）的距离、点和平面的距离、直线与平面的距离、平面与平面的距离．在本部分内容中以考察点到平面的距离为主，直线与平面的距离、平面与平面的距离最终都转化为点到平面的距离解决．一般的，要求点到平面的距离，需过点作平面的垂线，为垂足，求线段的长度即为点到平面的距离，但有时垂线并不容易直接作出，以下为常见的解决点到平面的距离的方法．1．垂面法：对于求点到平面的距离问题，可以利用平面与平面垂直的性质定理采取如下方式解决：作过点的平面，使得，交线为．在平面内过点作直线于，根据平面与平面垂直得性质定理可知：，因此线段的长就是点到的距离．2．转化法：3．等积法：等积法是将点到平面的距离转化为三棱锥的高，利用调换同一锥体的顶点和底面，但是锥体的体积不变的性质确定点到平面的距离．如图，若要求点到平面的距离，可将到平面的距离看作三棱锥的高，若能求与的面积以及以为底面时棱锥的高，则可以利用三棱锥的体积等于三棱锥的体积，求出到平面的距离．注：棱锥的体积，其中为底面面积，为棱锥的高．空间的角一．异面直线所成角过空间任意一点分别作异面直线、的平行直线、，则与所成的锐角或直角是异面直线与所成的角．与所成角的范围：．二．直线（斜线）与平面所成角过平面的斜线上不同于斜足的任意一点作平面的垂线，垂足为，则称为斜线与平面所成的角．直线与平面所成角的范围：．三．二面角以二面角棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，二面角平面角的大小就是二面角的大小．二面角大小的范围：．求二面角的大小关键是作出二面角的平面角，在二面角的平面角的作图中，主要利用定义作图、利用特殊图形作图、利用三垂线定理或逆定理作图法、利用与棱垂直的平面，另外还可利用面积射影定理避开二面角的平面角作图，直接求二面角的大小．1．利用特殊图形的作二面角的平面角主要有两种类型．⑴由两个有相同底边的等腰三角形组成二面角，如下图所示．如果满足条件：，，则二面角的平面角可以按如下方式作图：取中点，连结、，可得：，，因此是二面角的平面角．⑵由两个全等的三角形拼成的二面角，如下图所示．如在正四棱锥中，与全等，因此二面角的平面角可以按下列方式作出：作于点，连结，可以证明与全等，则，因此是二面角的平面角．2．利用三垂线定理或者逆定理作图．如上图所示，在二面角的平面角的作图中，如果能在其中的一个平面内的一点作出另外一个平面垂线，则可以利用三垂线定理或逆定理找到二面角的平面角．若作于点，连结，则是在平面内的射影，根据三垂线定理的逆定理可得：，因此是二面角的平面角．若作于点，连结，则是在平面内的射影，根据三垂线定理可得：，因此是二面角的平面角．通过上述两个途径可以发现，无论是那种方式，都以过其中的一个面作另外一个平面的垂线为入手点，根据这条垂线，可以确定两个平面内的两个点（上图中的、），分别从其中一点作二面角棱的垂线即可．简单的几何体一、棱柱1．棱柱：两个面互相平行，其余各面为四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫棱柱．2．棱柱的分类：按侧面与底面位置关系分类：按底面多边形的边数分类：三棱柱、四棱柱、五棱柱、…3．特殊的四棱柱：⑴平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱⑵直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体⑶长方体：底面是矩形的直平行四面体⑷正方体：棱长相等的长方体4．棱柱的性质：⑴侧棱都相等；侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形⑵过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形⑶直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形⑷长方体对角线的长度的平方等于长方体交于同一顶点的三条棱的长度的平方和．⑸直棱柱的侧面积；棱柱的体积．二．棱锥：1．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥．如果一个棱锥的底面为正多边形，且顶点在底面射影为底面中心，这样的棱锥叫正棱锥．2．平行于棱锥底面的截面性质：如果棱锥被平行于底面的截面所截，那么截面与底面相似，并且它们的面积比等于截得的棱锥的高与已知棱锥高的平方比．即．3．正棱锥的性质：⑴四个直角三角形：高、斜高和斜高在底面内的射影组成直角三角形，即；高、侧棱和侧棱在底面内的射影组成直角三角形，即；斜高、侧棱和底面边长的一半组成直角三角形，即；斜高在底面内的射影、侧棱在底面内的射影和底面边长的一半组成直角三角形，即；⑵两个角：：侧面与底面所成的二面角的平面角；：侧棱与底面所成的角．4．正棱锥的侧面积：；棱锥的体积三．球1．球面与球：半圆以它的的直径为旋转轴旋转一周所成的曲面叫球面．球面所围成的几何体叫做球体，简称球．球面也可看作在空间，与定点的距离等于定长的点的集合．2．球的截面性质：⑴球心与截面圆心的连线垂直于截面；⑵球心到截面的距离与球的半径及截面的半径的关系为：3．经线与纬线⑴经线：球面上从北极到南极的半个大圆称为经线。两地的经度之差实际上是两条经线所在半圆所成二面角的度数．⑵纬线：平行于赤道平面的球的小圆称为纬线圈，地球上某一点的纬度就是这一点与球心的连线与赤道平面所成角的度数．4．球面距离：在球面上，两点之间的最短连线的长度，是经过这两点的大圆在这两点之间的劣弧的长度，这个弧长叫做两点的球面距离．5．球的内接正方体（长方体）的对角线的长度等于球的直径；球的外切正方体的棱长等于球的直径．6．球的表面积、体积设球的半径为，则球的表面积，体积．第10章排列、组合与二项式定理排列与组合一．分类计数原理和分布计数原理1．分类计数原理（加法原理）：做一件事情，完成它可以有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，……，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：2．分步计数原理（乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事有二．排列1．排列：从个不同元素中，任取个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．3．排列数：从个不同元素中，任取个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示3．排列数公式：三．组合1．组合：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．2．组合数：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示．3．组合数公式：规定：4．组合数的性质：；．二项式定理1．二项式定理的内容：⑴⑵展开式的第项（通项）：，其中叫做二项式的系数．2．求二项展开式中的常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性；注意区分二项式系数与项的系数的区别．3．二项式系数表（杨辉三角）：展开式的二项式系数，当依次取1，2，3，4…时，．4．二项式系数的性质：展开式中各项的二项式系数依次是，，，…，．⑴对称性．在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即，，，…，，…⑵增减性与最大值．当是偶数时，是奇数，展开式中共有项，中间一项，即第项的二项式系数最大，最大值为；当是奇数时，是偶数，展开式中共有项，中间两项，即第和项的二项式系数最大，最大值为．⑶二项式系数的和等于，即：二项展开式中，偶数项系数和等于奇数项的系数之和，即第11章概率一．随机事件的概率1．随机事件及其概率：⑴随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件．必然事件：在一定条件下必然发生的事件．不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件．⑵事件A的概率：在大量、重复进行同一试验时，事件发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件的概率，记作，其范围为．2．等可能事件的概率：⑴基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件）称为一个基本事件．⑵等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是，如果事件包含个结果，那么事件的概率．二．互斥事件有一个发生的概率1．互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件．如果事件，，…，中的任何两个都是互斥的，那么就说事件，，…，彼此互斥．2．对立事件：如果表示事件发生，表示事件不发生，那么事件与中必有一个发生，这种其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，3．互斥事件有一个发生的概率：⑴如果事件，互斥，那么事件发生（即，中有一个发生）的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即：⑵如果事件，，…，彼此互斥，那么事件发生（即，，…，中有一个发生）的概率，等于这个事件分别发生的概率的和，即：⑶对立事件的概率的和等于1，即．三．相互独立事件同时发生的概率1．相互独立事件：．2．相互独立事件同时发生的概率：⑴如果事件，相互独立，那么事件发生即，同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即：⑵如果事件，，…，相互独立，那么事件发生即，，…，同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即：3．独立重复试验：若次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其它各次试验的结果，则称这次试验是独立的．如果在一次试验中，某事件发生的概率是，那么在次独立重复试验中，这个事件恰好发生次的概率为：第12章概率与统计离散型随机变量的分布列一．随机变量：1．如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用希腊字母、等表示．2．对于随机变量可能取的值，如果可以按一定的次序一一列出，则这样的随机变量叫做离散型随机变量．3．若是随机变量，，、是常数，则也是随机变量．二．离散型随机变量的分布列：1．设离散型随机变量可能取得值为：，，…，，…，取每一个值的概率为，则称表…………为随机变量的概率分布，简称的分布列．2．离散型随机变量的分布列的两个性质：⑴，⑵．3．离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和．如：．三．常见的离散型随机变量的分布:1．二项分布：在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率是：（，1，2，…，，），于是得到随机变量的概率分布如下：01…………由于恰好是二项展开式：中的各项的值，所以称这样的随机变量服从二项分布，记作：，其中，为参数，并记．2．几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数也是一个正整数的离散型随机变量．“”表示在第次独立重复试验时事件第一次发生．如果把次试验时事件发生记为,事件不发生记为，设，，，那么：0，1，2，…，．因此，随机变量的概率分布如下：123…k…P……称这样的随机变量服从几何分布，记作，其中0，1，2，…，．离散型随机变量的期望与方差…………则称为期望的性质：4．若服从二项分布，即，则5．若服从几何分布，且，则二．方差:…………则称为随机变量的均方差，简称为方差，式中的是随机变量的期望．的算术平方根叫做随机变量的标准差，记作．2．随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．3．方差的性质：；4．若服从二项分布，即5．若服从几何分布，且，则抽样方法在统计里，我们把所要考察对象的全体叫做总体，其中的每一个考察对象叫做个体，从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量．如从5万多名考生中随机抽取500名学生的成绩，用他们的平均成绩去估计所有考生的平均成绩，则5万多名考生的成绩是总体，每一名考生的成绩是个体，随机抽取的500名学生的成绩是总体的一个样本，样本容量是500．统计的基本思想方法是用样本估计总体。通过从整体中抽出一个样本，根据样本的情况来估计整体的情况．因此，样本抽取的是否合理，对于研究整体十分关键．当逐个地从总体中抽个体时，如果每次抽取的个体不再放回总体，这样的抽样方法叫做不放回抽样；当逐个地从总体中抽个体时，如果每次抽取一个个体后，先将它放回总体，然后再抽取下一个个体，这样的抽样方法叫做放回抽样。实践中应用较多的是不放回抽样，主要包括下面三种抽样简单随机抽样、系统抽样、分层抽样．1．简单随机抽样假定一个小组有6个学生，要通过逐个抽取的方法从中取3个学生参加一项活动，第1次抽取时每个被抽到的概率是，第2次抽取时，余下的每个被抽到的概率都是，第3次抽取时，余下的每个被抽到的概率都是．设一个总体的个体数为N，如果通过逐个抽取的方法抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，称这样的抽样为简单随机抽样．从含有6个体的总体中抽取一个容量为2的样本，在整个抽样过程中，总体中的任意一个个体，在第一次抽取时，它被抽到的概率是；若它第1次未被抽到而第2次被抽到的概率是，由于个体第1次被抽到与第2次被抽到是互斥事件，根据互斥事件的概率加法公式，在整个抽样过程中，个体被抽到的概率．又由于个体的任意性，说明在抽样过程中每个体被抽到的概率相等，都是．如果用简单随机抽样从个体数为的总体中抽出一个容量为的样本，那么每个个体被抽到的概率都是．实施简单随机抽样是通常采用抽签法、随机数表法等方法．2．系统抽样当总体个数较多时，我们可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这样的抽样方法叫做系统抽样．系统抽样与简单随机抽样的联系在于，把总体均分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样．3．分层抽样当总体有差异明显的几个部分组成时，为了使样本更加充分地反映总体的情况，常将总体分成几个部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样，这样的抽样方法叫做分层抽样，其中分成的各部分叫做层．4．三种抽样方法的比较：类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽取的概率相等从总体中逐个抽取总体中个体数较少系统抽样将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取在起始部分抽样时采用简单随机抽样总体中个体数较多分层抽样将总体分成几层进行抽取各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体有差异明显的几个部分组成总体分布的估计排除了抽样造成的误差，精确地反映了总体取值的概率分布规律，这种总体取值的概率分布规律通常称为总体分布．从总体中从抽取一个样本，用样本的概率分布估计总体分布，样本的容量越大所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．如果样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么平率分布直方图就会无限的接近于一条光滑的曲线，称为总体密度曲线，如图．总体密度曲线反映了总体分布，即反映了总体在各个范围内的取值的概率．在总体密度曲线中，图中带斜线部分的面积，就是总体在区间内取值的概率．正态分布1．正态分布：某个总体密度曲线就是或者近似地是以下函数的图像：，式中的实数和是参数，分别表示总体的平均数和标准差．这个总体是有无限容量的总体，其分布叫做正态分布，正态分布由参数和唯一确定，因此正态分布常记作，函数的图像被称为正态曲线，它具有两头低、中间高、左右对称的基本特征．2．标准正态曲线：在函数中，当，时，正态总体称为标准正态总体，这时相应的函数表示式是，，相应的曲线称为标准正态曲线．3．正态曲线具有下列性质：⑴曲线在轴上方，且与轴不相交；⑵曲线关于直线对称；⑶曲线在时位于最高点；⑷当时，曲线上升；当时，曲线下降，并且曲线向左右两边无限延伸时，以轴为渐近线，向它无限靠近．⑸当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．4．标准正态分布表中，相应于的值的值是指总体取值小于的概率，即，如果，则．标准正态总体在任一区间内取值的概率是．5．正态总体均可以化成标准正态总体来进行研究，即对于任意正态总体，取值小于的概率．正态总体在任一区间内