人教A版高中数学(选择性必修第一册)同步讲义第04讲 1.3 空间向量及其运算的坐标表示（含解析）

第04讲1.3空间向量及其运算的坐标表示课程标准学习目标①理解和掌握空间向量的坐标表示及意义②会用向量的坐标表达空间向量的相关运算③会求空间向量的夹角、长度以及有关平行、垂直的证明利用空间向量的坐标表示，将形与数有机结合，并能进行相关的计算与证明是学习空间向量及运算的关键.也是解决空间几何的重要手段与工具.知识点01：空间向量的正交分解及其坐标表示1、空间直角坐标系空间直角坐标系及相关概念(1)空间直角坐标系：在空间选定一点SKIPIF1<0和一个单位正交基底SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为原点，分别以SKIPIF1<0的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系SKIPIF1<0.(2)相关概念：SKIPIF1<0叫做原点，SKIPIF1<0都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为SKIPIF1<0平面、SKIPIF1<0平面、SKIPIF1<0平面，它们把空间分成八个部分．2、空间向量的坐标表示2.1空间一点的坐标：在空间直角坐标系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为坐标向量，对空间任意一点SKIPIF1<0，对应一个向量SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0的位置由向量SKIPIF1<0唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0.在单位正交基底SKIPIF1<0下与向量SKIPIF1<0对应的有序实数组SKIPIF1<0叫做点SKIPIF1<0在此空间直角坐标系中的坐标，记作SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0叫做点SKIPIF1<0的横坐标，SKIPIF1<0叫做点SKIPIF1<0的纵坐标，SKIPIF1<0叫做点SKIPIF1<0的竖坐标．2.2空间向量的坐标：在空间直角坐标系SKIPIF1<0中，给定向量SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0.有序实数组SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0在空间直角坐标系SKIPIF1<0中的坐标，上式可简记作SKIPIF1<0.【即学即练1】（2023春·高二课时练习）已知SKIPIF1<0是空间的一个单位正交基底，向量SKIPIF1<0用坐标形式可表示为________．【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0是空间的一个单位正交基底，则有SKIPIF1<0.所以向量SKIPIF1<0用坐标形式表示为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0知识点02：空间向量运算的坐标表示设SKIPIF1<0，空间向量的坐标运算法则如下表所示：运算坐标表示加法SKIPIF1<0减法SKIPIF1<0数乘SKIPIF1<0数量积SKIPIF1<0知识点03：空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示1、两个向量的平行与垂直SKIPIF1<0平行（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0SKIPIF1<0垂直（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0SKIPIF1<0（SKIPIF1<0均非零向量）特别提醒：在SKIPIF1<0SKIPIF1<0中，应特别注意，只有在SKIPIF1<0与三个坐标平面都不平行时，才能写成SKIPIF1<0.例如，若SKIPIF1<0与坐标平面SKIPIF1<0平行，则SKIPIF1<0，这样SKIPIF1<0就没有意义了.【即学即练2】（2023春·四川成都·高二四川省成都列五中学校考阶段练习）已知两个空间向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的值为__________．【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<02、向量长度的坐标计算公式若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度3、两个向量夹角的坐标计算公式设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0【即学即练3】（2023春·高二课时练习）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求x，y，z的值；(2)求向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，设存在实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.∴所以SKIPIF1<0.（2）由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.∴向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0.4、两点间的距离公式已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0题型01空间向量的坐标表示【典例1】（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）在空间直角坐标系中，已知三点SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内，则点SKIPIF1<0的坐标可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共线，根据向量基本定理可得SKIPIF1<0，故C点坐标为SKIPIF1<0，经验算只有B选项符合条件，此时SKIPIF1<0，故选：B【典例2】（多选）（2023·全国·高二专题练习）如图，在正三棱柱SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0的边长为2，三棱柱的高为SKIPIF1<0的中点分别为SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为原点，分别以SKIPIF1<0的方向为SKIPIF1<0轴､SKIPIF1<0轴､SKIPIF1<0轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABC【详解】在等边SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：ABC【典例3】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考开学考试）已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的坐标是________.【答案】SKIPIF1<0【详解】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为坐标原点.由点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的坐标是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0．【变式1】（2023秋·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中，正方体SKIPIF1<0的棱长为1，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由题，在空间直角坐标系中，正方体SKIPIF1<0的棱长为1，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选C．【变式2】（2023春·高二课时练习）若SKIPIF1<0､SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的坐标是___________.【答案】SKIPIF1<0【详解】解：SKIPIF1<0点SKIPIF1<0､SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上一点，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；故答案为：SKIPIF1<0．题型02空间向量的坐标运算【典例1】（2023春·高二课时练习）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)2(3)4【详解】（1）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0【典例2】（2023春·高二课时练习）如图，在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系SKIPIF1<0．(1)写出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四点的坐标；(2)写出向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐标．【答案】(1)点SKIPIF1<0SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0SKIPIF1<0，点CSKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．【详解】（1）点SKIPIF1<0在z轴上，且SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的坐标是SKIPIF1<0．同理，点C的坐标是SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，O，SKIPIF1<0，它们在坐标轴上的坐标分别为3，0，2，所以点SKIPIF1<0的坐标是SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，C，SKIPIF1<0，它们在坐标轴上的坐标分别为3，4，2，所以点SKIPIF1<0的坐标是SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．【变式1】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三向量共面，则实数SKIPIF1<0等于（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三向量共面，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：D【变式2】（2023秋·高二课时练习）已知点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0点的坐标为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】设点SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故点SKIPIF1<0.故选：B.题型03空间向量数量积（坐标形式求空间向量的数量积）【典例1】（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）若向量SKIPIF1<0，满足条件SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．2【答案】B【详解】根据向量的运算可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：B【典例2】（2023春·高二课时练习）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【详解】由向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.【变式1】（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由题意知，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：B.【变式2】（2023秋·天津·高二统考期末）已知空间向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：A题型04空间向量数量积（坐标形式求空间向量数量积的最值范围问题）【典例1】（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0内一动点，若直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0平行，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．17 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】以D作坐标原点，DA，DC，SKIPIF1<0所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，设平面MPN的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0平行，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值，最小值为SKIPIF1<0.故选：A【典例2】（2023春·山东烟台·高二山东省烟台第一中学校考开学考试）正四面体SKIPIF1<0的棱长为2，动点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为直径的球面上，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．4 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】设SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为原点建立如图所示的空间坐标系，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为球心，以SKIPIF1<0为半径的球面上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与单位圆SKIPIF1<0相切时，截距取得最小值，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故选：C【典例3】（2023·江苏·高二专题练习）在空间直角坐标系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上运动，则当SKIPIF1<0取得最小值时，SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】解：因为点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上运动，SKIPIF1<0，所以设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值，此时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0【变式1】（2023秋·河南郑州·高二郑州市第九中学校考阶段练习）已知空间直角坐标系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上运动，则当SKIPIF1<0取得最小值时，点SKIPIF1<0的坐标为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】设SKIPIF1<0，由点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，可得存在实数SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0，根据二次函数的性质，可得当SKIPIF1<0时，取得最小值SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0.故选：C.【变式2】（2023秋·上海徐汇·高二南洋中学校考期末）已知SKIPIF1<0是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别为1、1、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为________.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为MN是长方体外接球的一条直径，长方体的棱长分别为1、1、SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，如图，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时取等号，此时点P在ABCD平面内，又SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时取等号，此时点P在ABCD平面内.即所求的范围是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0题型05空间向量的模（坐标形式求空间向量的模（距离，长度））【典例1】（2023春·江苏南京·高二南京市第五高级中学校考期中）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．5【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：C．【典例2】（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，H为SKIPIF1<0的中点．求|SKIPIF1<0|.【答案】SKIPIF1<0【详解】如图，建立空间直角坐标系D－xyz，D为坐标原点，则有SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【典例3】（2023秋·山东日照·高二统考期末）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_____．【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【变式1】（2023秋·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为______.【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0题型06空间向量的模（根据空间向量的模求参数）【典例1】（2023·全国·高二专题练习）已知向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0____________．【答案】3【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案为3.题型07空间向量的模（坐标形式求空间向量模的最值（范围）问题）【典例1】（2022·高二课时练习）已知正方体SKIPIF1<0的棱长为4，点SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中点，动点SKIPIF1<0在正方形SKIPIF1<0内（包括边界）运动，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0长度的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】以D为原点，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.取SKIPIF1<0的中点为H，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0为平行四边形，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0.同理可证：SKIPIF1<0面SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以点P只能在线段SKIPIF1<0上运动．易知SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值36．故PC长度的取值范围为SKIPIF1<0．故选：C【典例2】（2023·高二课时练习）如图，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，求线段SKIPIF1<0长的最小值．【答案】SKIPIF1<0【详解】依题意，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．若线段EF的长最小，则必满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，所以线段EF长的最小值为SKIPIF1<0．【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知单位空间向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0．若空间向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且对于任意实数SKIPIF1<0的最小值是2，则SKIPIF1<0的最小值是_________．【答案】SKIPIF1<0【详解】以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方向为SKIPIF1<0轴，垂直于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方向为SKIPIF1<0轴建立空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0是单位空间向量可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值是2，所以SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式1】（2023春·上海宝山·高二统考期末）已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是空间互相垂直的单位向量，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是______.【答案】4【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0是空间相互垂直的单位向量，SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取得等号，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最小值是4．故答案为：4．【变式2】（2023·上海·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是空间两两垂直的单位向量，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为________．【答案】SKIPIF1<0【详解】由题意可设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时等号成立），所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式3】（2023·江苏·高二专题练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为__________．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，即SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0.题型08空间向量的夹角问题（坐标形式）【典例1】（2023秋·山东临沂·高二校考期末）已知空间向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0．故选：A．【典例2】（2023春·江苏·高二南师大二附中校联考阶段练习）若向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角的余弦值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．2【答案】A【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角的余弦值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，注意到SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A.【典例3】（2023秋·高二课时练习）已知空间三点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角SKIPIF1<0的大小是________．【答案】120°【详解】由题意，空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【典例4】（2023秋·河南周口·高二统考期末）已知向量SKIPIF1<0(1)求SKIPIF1<0；(2)求向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角的余弦值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角的余弦值为SKIPIF1<0.【变式1】（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）若向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的夹角的余弦值为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0等于（

）.A．0 B．SKIPIF1<0 C．0或SKIPIF1<0 D．0或SKIPIF1<0【答案】C【详解】由题意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故选:C．【变式2】（2023春·甘肃白银·高二校考阶段练习）在空间直角坐标系中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0夹角的余弦值是______．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由空间向量的夹角公式可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0夹角的余弦值是SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.【变式3】（2023秋·吉林辽源·高二校联考期末）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)求向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角的余弦值.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【详解】（1）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角的余弦值为SKIPIF1<0.题型09空间向量的投影向量（坐标形式）【典例1】（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量为（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量为SKIPIF1<0.故选:C.【典例2】（2023春·江苏徐州·高二统考期中）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量的坐标是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量是SKIPIF1<0，所以向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量的坐标是SKIPIF1<0，故选：D.【变式1】（2023·全国·高二专题练习）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量为SKIPIF1<0故选：B【变式2】（2023秋·广东广州·高二秀全中学校考期末）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量为（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】解：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量为SKIPIF1<0故选：C题型10空间向量的平行关系（坐标形式）【典例1】（2023·江苏·高二专题练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】B【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0故选：B【典例2】（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）已知两个向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【详解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故选：C【典例3】（2023·高二单元测试）向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______.【答案】SKIPIF1<0【详解】因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则有SKIPIF