人教A版高中数学(选择性必修第一册)同步讲义第10讲 拓展四：空间中距离问题（原卷版）

第10讲拓展四：空间中距离问题（等体积法与向量法）一、知识点归纳知识点01：用向量法求空间距离1、点到直线的距离已知直线SKIPIF1<0的单位方向向量为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上的定点，SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0外一点.设SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上的投影向量SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由勾股定理得：SKIPIF1<02、点到平面的距离如图，已知平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0内的定点，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0外一点.过点SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂线SKIPIF1<0，交平面SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0的方向向量，且点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离就是SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上的投影向量SKIPIF1<0的长度.SKIPIF1<0二、题型精讲题型01利用向量法求点到直线的距离【典例1】（2023春·四川雅安·高二雅安中学校考期中）直线SKIPIF1<0的方向向量为SKIPIF1<0，且l过点SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023秋·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考期末）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（2023春·江苏淮安·高二淮阴中学校联考阶段练习）已知点SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，则点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为___________.【变式1】（2023秋·天津·高二校联考期末）已知空间内三点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离是（

）．A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（2023春·福建福州·高二校联考期中）已知空间中三点SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为__________．题型02点到平面的距离等体积法【典例1】（2023春·天津河西·高一天津市第四十二中学校考阶段练习）如图，直三棱柱SKIPIF1<0的体积为6，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，已知底面SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上一点．

(1)若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点．(2)线段SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离．【典例3】（2023春·安徽·高一安徽省郎溪中学校联考阶段练习）已知空间几何体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是边长为2的等边三角形，SKIPIF1<0是腰长为2的等腰三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)作出平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的交线，并说明理由；(2)求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离．【典例4】（2023春·陕西商洛·高二镇安中学校考期中）如图,在四棱锥SKIPIF1<0中,已知棱SKIPIF1<0两两垂直且长度分别为1,1,2,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0,证明:SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0;(2)求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离．【变式1】（2023春·重庆·高一重庆一中校考期中）如图所示，在四棱锥SKIPIF1<0中，四边形SKIPIF1<0为等腰梯形，SKIPIF1<0.

(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0：(2)若SKIPIF1<0，求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离.【变式2】（2023·上海·高三专题练习）如图，在正三棱柱SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点.(1)求直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角正切值(2)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，并求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离.【变式3】（2023·河南·许昌实验中学校联考二模）在四棱锥SKIPIF1<0中，四边形SKIPIF1<0为等腰梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离．【变式4】（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且E为SKIPIF1<0中点．求SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离．题型03点到平面的距离的向量法【典例1】（2023春·浙江温州·高二校联考期末）如图所示，在棱长为1的正方体SKIPIF1<0中SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点.

(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离.【典例2】（2023春·高二单元测试）如图，四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为矩形，侧面SKIPIF1<0为正三角形，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0上一点（不与SKIPIF1<0重合），平面SKIPIF1<0交棱SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0.

(1)求证：SKIPIF1<0；(2)若二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0，求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离.【典例3】（2023秋·山西晋中·高二统考期末）在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，过SKIPIF1<0的平面截此正方体，得如图所示的多面体，SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0上的动点.

(1)点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，试确定动点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上的位置，并说明理由；(2)若SKIPIF1<0为底面SKIPIF1<0的中心，求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的最大距离.【变式1】（2023春·江西宜春·高二江西省清江中学校考期中）在棱长为4的正方体SKIPIF1<0中，点P在棱SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．(1)求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值大小；(2)求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离．【变式2】（2023春·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）如图所示的几何体是一个半圆柱，点SKIPIF1<0是半圆弧SKIPIF1<0上一动点（点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不重合），SKIPIF1<0为弧SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0.

(1)证明：SKIPIF1<0；(2)若平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的锐二面角的平面角为SKIPIF1<0，求此时点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离.【变式3】（2023·江苏苏州·模拟预测）在如图所示的圆锥中，已知SKIPIF1<0为圆锥的顶点，SKIPIF1<0为底面的圆心，其母线长为6，边长为SKIPIF1<0的等边SKIPIF1<0内接于圆锥底面，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.

(1)证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，射线SKIPIF1<0与底面圆周交于点SKIPIF1<0，当二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0时，求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离.题型04点到平面的距离的探索性问题【典例1】（2023春·福建·高二校联考阶段练习）如图，三棱锥SKIPIF1<0的底面是以SKIPIF1<0为底边的等腰直角三角形，且SKIPIF1<0，各侧棱长均为3.(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若点SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0的中点，线段SKIPIF1<0上是否存在一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离与SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离之比为SKIPIF1<0？若存在，求出此时SKIPIF1<0的长；若不存在，说明理由.【典例2】（2023春·福建漳州·高二漳州三中校考阶段练习）如图,四棱