北师大版九年级数学上册第01课 菱形的性质与判定（解析版）

第01课菱形的性质与判定课后培优练课后培优练级练培优第一阶——基础过关练一、单选题1．下列四边形中不一定为菱形的是（）A．对角线相等的平行四边形 B．对角线平分一组对角的平行四边形C．对角线互相垂直的平行四边形 D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形【答案】A【解析】A.对角线相等的平行四边形是矩形而不一定是菱形；

B.对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

D.用两个全等的等边三角形拼成的四边形四条边形等是菱形；故选A.2．在菱形ABCD中，若∠ADC=120°，则BD：AC等于(

)A．：2 B．：3 C．1：2 D．：1【答案】B【解析】解：由题可知设，则，故选B3．菱形的两条对角线长分别为6㎝和8㎝,则这个菱形的面积为(

)A．48 B． C． D．18【答案】B【解析】试题解析：根据菱形的面积公式：故选B.4．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠B：∠BCD＝1：2，则对角线AC等于()A．5 B．10 C．15 D．20【答案】A【解析】试题解析：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B+∠BCD=180°，AB=BC，∵∠B：∠BCD=1：2，∴∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=5．故选A．5．菱形ABCD中,AE⊥BC于E,若S菱形ABCD=24cm2,则AE=6cm,则菱形ABCD的边长为()A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【答案】A【解析】试题解析：如图所示：∵菱形ABCD的面积为，AE=6cm，AE⊥BC，∴菱形的面积=24=AE×BC，则AB=BC=24÷6=4(cm).故选A.点睛：菱形的性质：四条边相等.6．如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm【答案】C【解析】试题分析：∵菱形ABCD的周长为48cm，∴AD=12cm，AC⊥BD，∵E是AD的中点，∴OE=AD=6（cm）．故选C．考点：菱形的性质；三角形中位线定理．7．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,AD＝2,DE＝2,则四边形OCED的面积为（）A．2 B．4 C．4 D．8【答案】A【解析】连接OE，与DC交于点F，∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，即OA=OB=OC=OD，∵OD∥CE，OC∥DE，∴四边形ODEC为平行四边形，∵OD=OC，∴四边形ODEC为菱形，∴DF=CF，OF=EF，DC⊥OE，∵DE∥OA，且DE=OA，∴四边形ADEO为平行四边形，∵AD=，DE=2，∴OE=，即OF=EF=，在Rt△DEF中，根据勾股定理得：DF==1，即DC=2，则S菱形ODEC=OE•DC=××2=．故选A．8．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为（）A．28° B．52° C．62° D．72°【答案】C【解析】【分析】根据菱形的性质以及AM＝CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO＝CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，AB＝BC，∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO，在△AMO和△CNO中，∵，∴△AMO≌△CNO（ASA），∴AO＝CO，∵AB＝BC，∴BO⊥AC，∴∠BOC＝90°，∵∠DAC＝28°，∴∠BCA＝∠DAC＝28°，∴∠OBC＝90°﹣28°＝62°．故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质．二、填空题9．若▱ABCD的对角线AC平分∠DAB，则对角线AC与BD的位置关系是________．【答案】互相垂直【解析】【分析】证明AB=BC可得到四边形ABCD是菱形，即可得到对角线AC与BD的位置关系．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA．∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC，∴∠BCA=∠BAC，∴AB=BC．∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD为菱形，∴对角线AC与BD的位置关系是：互相垂直．故答案为：互相垂直．【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质、平行四边形的性质，关键是掌握邻边相等的平行四边形是菱形．10．矩形和菱形都是常见的几何图形，请根据它们的性质，写出矩形和菱形的两个不同点：①_________﹔②________．【答案】

矩形的对角线相等；（答案不唯一）

菱形的对角线互相垂直．（答案不唯一）【解析】【分析】根据矩形和菱形的性质，然后判断它们性质的不同点，即可得到答案．解：根据题意，矩形的性质有：两组对边平行且相等；每个内角都是90°；对角线互相平分且相等；菱形的性质有：两组对边平行且相等；四条边都相等；对角线互相平分且垂直；∴不同点有：①矩形的四个内角都是90°；②矩形的对角线相等；③菱形的四条边都相等；④菱形的对角线互相垂直．故答案为：矩形的对角线相等；菱形的对角线互相垂直．（答案不唯一）【点睛】本题考查了矩形和菱形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形和菱形的性质进行分析．11．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，C在轴上，顶点B的坐标为（2，3），那么顶点D的坐标是______________；【答案】【解析】【分析】由菱形的性质和已知条件得出、关于轴对称，由顶点的坐标为，即可得出点的坐标．解：菱形的顶点，在轴上，，菱形关于轴对称，、关于轴对称，顶点的坐标为，顶点的坐标是；故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质、对称的性质等知识；熟练掌握菱形的性质和关于轴对称的性质是解题的关键．12．如图，在四边形中，对角线相交于点，且互相垂直平分，若，若上有一点，使，那么_______．【答案】25°【解析】【分析】首先证明四边形ABCD是菱形，可求∠ABD＝50°，又因为BE＝BO，所以∠BEO＝∠BOE＝65°，然后可得结果．解：∵对角线相交于点，且互相垂直平分∴四边形ABCD是菱形，∵∠BAD＝80°，∴∠ABD＝∠ADB＝×（180°−80°）＝50°，又∵BE＝BO，∴∠BEO＝∠BOE＝×（180°−50°）＝65°．∴90°−65°＝25°，故答案为25°．【点睛】此题考查了菱形的判定和性质以及等边对等角，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．．三、解答题13．已知▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OA，OB，AB的长分别为3，4，5，求其他各边以及两条对角线的长度．【答案】其他各边的长都是5，两条对角线的长分别为6，8【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理，先证明AC⊥BD，得四边形ABCD是菱形，即可解决问题．解：∵OA=3，OB=4，AB=5，∴OA2+OB2=32+42=25，AB2=25，∴AO2+OB2=AB2，∴∠AOB=90°，∴AC⊥DB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=5，AC=2AO=6，BD=2BO=8．．答：其他各边的长都是5，两条对角线的长分别为6，8．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是利用勾股定理的逆定理得出对角线互相垂直．14．已知：如图，在菱形中，，对角线与相交于点O．求证：（1）；（2）．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）直接利用菱形的性质得出AD＝BC，AB＝DC，进而得出答案；（2）利用线段垂直平分线的判定与性质得出答案．证明：（1）∵四边形是菱形，∴（菱形的对边相等）又∵，∴．（2）∵，∴是等腰三角形．又∵四边形是菱形，∴（菱形的对角线互相平分）．在等腰三角形中，∵，∴，即．【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及等腰三角形的三线合一，正确应用菱形的性质是解题关键．培优第二阶——拓展培优练一、单选题1．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形 B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形 D．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是正方形【答案】D【解析】【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形；根据对角线相等的平行四边形是矩形；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形.解：∵四边形ABCD是平行四边形，则A、当AB=BC时，四边形ABCD是菱形，正确，不符合题意；B、当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形，正确，不符合题意；C、当AC=BD时，四边形ABCD是矩形，正确，不符合题意；D、当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形，故错误，符合题意；故选：D.【点睛】本题考查了菱形的判定和矩形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形和矩形的判定定理.2．菱形中，．点、分别在边、上，且．若，则的面积为（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先证明△ABE≌△ACF，推出AF＝AE，∠EAF＝60°，得到△AEF是等边三角形，即可解决问题．解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠D=∠B＝60°，AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∵AC是菱形的对角线，∴∠ACF∠DCB＝60°，∴∠B=∠ACF，∵AB=AC，BE=CF，∴△ABE≌△ACF，∴AF＝AE，∠BAE=∠CAF，∴∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC，即∠EAF＝∠BAC=60°，∴△AEF是等边三角形，∵EF＝2，∴S△AEF×22，故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是证明全等三角形得到△AEF是等边三角形，牢记等边三角形面积公式是解题关键．3．四边形是菱形，，，对角线与相交于点，点在上，若，则（

）A． B． C．或 D．4【答案】C【解析】【分析】根据菱形的性质得出AB=AD=6，AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，结合题意得出△ABD是等边三角形，再利用勾股定理确定OC=OA，考虑点E在AC上，可能在点O的左边或右边，结合图形求解即可．解：∵四边形ABCD是菱形，如图所示，∴.AB=AD=6，AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=6，OB=BD=3，∴OC=OA=，∴.AC=2OA=，∵点E在AC上，可能在点O的左边或右边，OE=，∴CE=OC+OE=或CE=OC-OE=，故选：C．【点睛】题目主要考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识是解题的关键．4．如图，点A在x轴正半轴上，点，将菱形ABCO绕原点O旋转90°，则旋转后点B的对应点的坐标是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【解析】【分析】将菱形ABCO绕原点O逆时针或顺时针旋转90°，分别作出图形求出、的长度即可求得答案．如图所示，将菱形ABCO绕原点O逆时针旋转90°，过点B作BD⊥x轴于点D，过作于点，过点C作CE⊥x轴于点E，∵点，∴OE=4，CE=3，∴,∵四边形ABCO是菱形，∴OA=OC=AB=5，OC∥AB，∴∠COE=∠BAD，又∵∠CEO=∠BDA，∴△COE≌△BAD（AAS），∴AD=OE=4，BD=CE=3，由旋转可得，△BAD≌△,∴,，，∴，

∵在第二象限，∴；如图所示，将菱形ABCO绕原点O顺时针旋转90°，过点B作BD⊥x轴于点D，过作于点，过点C作CE⊥x轴于点E，同理可得，△BAD≌△，∴,，，∴，∵在第四象限，∴；综上所述，或；故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质，平面直角坐标系中点的坐标特点，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．5．如图，在菱形中，，点为对角线上一点，为边上一点，连接、、，若，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先求出∠BAD=140°，∠ADB=∠ABD=20°，然后证明△ABE≌△CBE得到∠BEA=∠BEC=56°，则∠BAE=104°，∠DAE=36°，证明∠EFA=∠EAF=36°，则由三角形外角的性质可得∠DEF=∠EFA-∠EDF=16°．解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=40°，∴AB=CB=AD，∠ABE=∠CBE=20°，，∴∠BAD=140°，∠ADB=∠ABD=20°，又∵BE=BE，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴∠BEA=∠BEC=56°，∴∠BAE=104°，∴∠DAE=36°，∵AE=FE，∴∠EFA=∠EAF=36°，∴∠DEF=∠EFA-∠EDF=16°，故选A．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，证明△ABE≌△CBE是解题的关键．6．如图，在菱形ABCD中，AB=AC=4，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠FHC=∠B；③△ADO≌△ACH；④S菱形ABCD=8；其中正确的结论个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】【分析】根据菱形的性质，利用SAS证明即可判断①；根据△ABF≌△CAE得到∠BAF=∠ACE，再利用外角的性质以及菱形内角度数即可判断②；通过说明∠CAH≠∠DAO，判断△ADO≌△ACH不成立，可判断③；再利用菱形边长即可求出菱形面积，可判断④.解：∵四边形ABCD为菱形，∴，∵AB=AC=4，∴△ABC为等边三角形，∴∠B=∠CAE=60°，又∵AE=BF，∴△ABF≌△CAE（SAS），故①正确；∴∠BAF=∠ACE，∴∠FHC=∠ACE+∠HAC=∠BAF+∠HAC=60°，故②正确；∵∠B=∠CAE=60°，在△ADO和△ACH中，∠OAD=60°=∠CAB，∴∠CAH≠60°，即∠CAH≠∠DAO，∴△ADO≌△ACH不成立，故③错误；∵AB=AC=4，过点A作AG⊥BC，垂足为G，如图所示：∴∠BAG=30°，BG=2，∴AG==，∴菱形ABCD的面积为：=，故④正确；综上分析可知，正确的结论有3个，故C正确．故选：C.【点睛】本题主要考查了全等三角形判定和性质，菱形的性质和面积，等边三角形的判定和性质，外角的性质，解题的关键是利用菱形的性质△ABF≌△CAE．7．如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（

）A．3 B．5 C． D．【答案】A【解析】【分析】直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小属“将军饮马”模型，由D关于直线AC的对称点B，连接BE，则线段BE的长即是PD+PE的最小值．如图：连接BE，，∵菱形ABCD，∴B、D关于直线AC对称，∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值．，∵菱形ABCD，，点，∴，，∴∴△CDB是等边三角形∴∵点是的中点，∴,且BE⊥CD，∴故选：A．【点睛】本题考查菱形性质及动点问题，解题的关键是构造直角三角形用勾股定理求线段长．8．如图，点，分别在菱形的边，上，点，分别在，的延长线上，且．连结，，，，若菱形和四边形的面积相等，则的值为（

）A． B． C． D．1【答案】D【解析】【分析】根据题意先证四边形EFGH是平行四边形，由平行四边形的性质求出EH∥AC，进而由面积关系进行分析即可求解．解：连接HC、AF、HF、AC，HF交AC于O，连接EG．∵四边形ABCD是菱形，∠D=∠B，AB=CD=AD=BC，∵AE=AH=CG=CF，∴DH=BF，BE=DG，在△DHG和△BFE中，，∴△DHG≌△BFE，∴HG=EF，∠DHG=∠BFE，∵BC∥AD，∴∠BFE=∠DKF，∴∠DHG=∠DKG，∴HG∥EF，∴四边形EFGH是平行四边形．∵AH=CF，AH∥CF，∴四边形AHCF是平行四边形，∴AC与HF互相平分，∵四边形EFGH是平行四边形，∴HF与EG互相平分，∴HF、AC、EG互相平分，相交于点O，∵AE=AH，DA=DC，BE∥DC，∴∠EAH=∠D，∴∠AEH=∠AHE=∠DAC=∠DCA，∴EH∥AC，∴S△AEH=S△EHO=S△AHO=S△AHC=S四边形EFGH=S四边形ABCD，∴S△AHC=S四边形ABCD=S△ADC，∴AD=AH，∴=1.故选：D．【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，证明EH∥AC是解题的关键．二、填空题9．如图，将两条宽度均为2的纸条相交成角叠放，则重合部分构成的四边形的面积为______．【答案】8【解析】【分析】先根据AB∥CD得到∠ABC=30°，再根据纸条宽度为2得到AB的长，同理得到AD的长，再证明四边形ABCD是菱形，就可以求出四边形ABCD的面积；∵AB∥CD，∴∠ABC=30°，又∵两条纸条的宽度均为2，∴AB=4，同理可得AD=4，又∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB=AD=4，∴四边形ABCD是菱形，∴S菱形ABCD=4×2=8，故答案为8．【点睛】本题考查菱形的性质与面积，熟练掌握菱形的性质和面积公式是解决本题的关键．10．如图，在菱形中，，B的坐标是，则A，C两点间的距离是__________．【答案】【解析】【分析】根据勾股定理得出OB，进而利用菱形的性质和勾股定理得出AC即可．解：连接OB，AC相交于点H，∵四边形OABC是菱形，∴，∵，∴△AOB是等边三角形，∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：6．【点睛】本题考查菱形的性质，解题关键是根据菱形的性质和勾股定理得出AC解答．11．如图，菱形的对角线相交于点O，点E在上，连接，点F为的中点，连接，若，，，则线段的长为___________．【答案】【解析】【分析】先根据菱形的性质找到Rt△AOE和Rt△AOB，然后利用勾股定理计算出菱形的边长BC的长，再根据中位线性质，求出OF的长．已知菱形ABCD，对角线互相垂直平分，∴AC⊥BD，在Rt△AOE中，∵OE=3，OA=4，∴根据勾股定理得，∵AE=BE，∴，在Rt△AOB中，即菱形的边长为，∵点F为的中点，点O为DB中点，∴．故答案为【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、中位线的判定与性质；熟练掌握菱形性质，并能结合勾股定理、中位线的相关知识点灵活运用是解题的关键．12．如图，在菱形ABCD中，，∠BCD＝60°，对角线AC、BD相交于点O，点E是OC上一点，连接ED，若，则DE的长为______．【答案】【解析】【分析】根据菱形的性质证明再求解再根据勾股定理可得答案．解：菱形ABCD，∠BCD＝60°，，故答案为：【点睛】本题考查的是含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，菱形的性质，熟练的利用菱形的性质求解线段长度是解本题的关键．13．如图，菱形ABCD，，点E为垂足，点F为AE的中点，连接BF并延长交AD于点G，连接CG，，则AF的长为__________．【答案】【解析】【分析】过点G往BC所在直线作垂线，垂足记为H，连接EG，证明，得到AG=BE，所以四边形ABEG为平行四边形，设AG=BE=x，则AD=GE=2+x，在和中用勾股定理列方程进行求解．如图所示，过点G往BC所在直线作垂线，垂足记为H，连接EG，∵F是AE中点，∴AF=EF，∵四边形ABCD是菱形，则，且AE⊥BC，∴∠GAF=∠BEF=90°，在中，∴，∴AG=BE，又∵，∴四边形ABEG为平行四边形，则GE=AB，设AG=BE=x，则AD=GE=2+x，∴CH=EH-CE=AG-CE=x-2，

在和中，,即，解得x=6，则AE=，∴AF=0.5AE=，故答案为．【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定、勾股定理等，设线段长为x，寻找等量关系列出方程是解题的关键．14．如图，菱形ABCD中，，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且，连结BE，分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：①；②；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④．其中正确的结论是______（请填写正确的序号）【答案】①③④【解析】【分析】①由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG=DG，证出OG是△ABD的中位线，得出OG=AB，①正确；③先证明四边形ABDE是平行四边形，证出△ABD、△BCD是等边三角形，得出AB=BD=AD，因此OD=AG，得出四边形ABDE是菱形，③正确；④证OG是△ACD的中位线，得OG∥CD∥AB，OG=CD，则S△ACD=4S△AOG，再由S△AOG=S△BOG，则S△ACD=4S△BOG，④正确；②连接FD，由等边三角形的性质和角平分线的性质得F到△ABD三边的距离相等，则S△BDF=S△ABF=2S△BOF=2S△DOF=S四边形ODGF，则S四边形ODGF=S△ABF，②错误；即可得出结论．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD，OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，∴∠BAG=∠EDG，∵CD=DE，∴AB=DE，在△ABG和△DEG中，，∴△ABG≌△DEG（AAS），∴AG=DG，∴OG是△ABD的中位线，∴OG=AB，故①正确；∵AB∥CE，AB=DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠BCD=∠BAD=60°，∴△ABD、△BCD是等边三角形，∴AB=BD=AD，∠ODC=60°，∴平行四边形ABDE是菱形，故③正确；∵OA=OC，AG=DG，∴OG是△ACD的中位线，∴OG∥CD∥AB，OG=CD，∴S△ACD=4S△AOG，∵S△AOG=S△BOG，∴S△ACD=4S△BOG，故④正确；连接FD，如图：∵△ABD是等边三角形，AO平分∠BAD，BG平分∠ABD，∴F到△ABD三边的距离相等，∴S△BDF=S△ABF=2S△BOF=2S△DOF=S四边形ODGF，∴S四边形ODGF=S△ABF，故②错误；正确的是①③④，故答案为：①③④．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及三角形面积等知识，综合运用以上知识是解题的关键．三、解答题15．如图，在中，交于点，点在上，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若求证：四边形是菱形．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）先根据四边形ABCD为平行四边形，得出，，再根据，得出，即可证明结论；（2）先证明，得出，证明四边形ABCD为菱形，得出，即可证明结论．(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴，，∵，∴，即，∴四边形是平行四边形．(2)∵四边形ABCD为平行四边形，∴，∴，∵∴，∴，∴四边形ABCD为菱形，∴，即，∵四边形是平行四边形，∴四边形是菱形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和性质，菱形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握菱形和平行四边形的判定方法，是解题的关键．16．如图，线段，D是线段AC上一点，连接DE交AB于点F，若AF＝BF，求证：(1)DF=EF；(2)连接AE，BD，若△ABC是等边三角形∠E=30°，求证：四边形ADBE是菱形．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】(1)首先由平行线的性质，可证得∠FEB=∠FDA，即可证得，再根据全等三角形的性质，即可证得结论；(2)首先根据等边三角形及平行线的性质，可得∠BAC＝60°，∠FEB=∠FDA=30°，可证得AB⊥DE，再由AF=BF，DF=EF，可证得四边形ADBE是平行四边形，据此即可证得结论．(1)证明：∵，∴∠FEB=∠FDA，在△EFB与△DFA中，∴，∴EF＝DF；(2)证明：如图：∵AF=BF，DF=EF（已证），∴四边形ADBE是平行四边形，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵，∴∠FEB=∠FDA=30°，∴，∴AB⊥DE，∴四边形ADBE是菱形．【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等边三角形的性质，平行四边形及菱形的判定．17．如图，在四边形ABCD中，，，对角线AC，BD交于点O，AC平分，过点C作交AB的延长线于点E，连接OE．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若，，求OE的长．【答案】(1)见解析；(2)2【解析】【分析】（1）先判断出∠OAB=∠DCA，进而判断出∠DAC=∠DCA，得出CD=AD=AB，即可得出结论；（2）先判断出OE=OA=OC，再求出OB=1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．(1)证明：∵AB∥CD，∴∠OAB=∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB=∠DAC，∴∠DCA=∠DAC，∴CD=AD=AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD=AB，∴▱ABCD是菱形；(2)解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE=OA=OC，∵BD=2，∴OB=BD=1，在Rt△AOB中，，OB=1，∴，∴OE=OA=2．【点睛】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出CD=AD=AB是解本题的关键．18．如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，分别在，上，连接，，，．(1)求证：；(2)若，求菱形的周长．【答案】(1)见解析(2)8【解析】【分析】根据菱形的性质和证明，进而利用全等三角形的性质解答即可；根据菱形的性质和面积公式解答即可．(1)证明：四边形是菱形，∴∴，∴在与中，∴（SAS）(2)解：∵∴AC∙BD=由可知，是等边三角形∵四边形是菱形∴∴在Rt中，BO=∴BD=2BO==∴解得：∴AC=（负值舍去）∴∴菱形的周长为．【点睛】本题考查菱形的性质，菱形的面积和周长公式，全等三角形的判定和性质．解题的关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答．19．已知：如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、DC的中点，AE、AF分别交BD于点M、N，且，连接CM、CN．(1)求证：四边形AMCN是平行四边形；(2)如果，求证：四边形ABCD是菱形．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）只需要证明NF是△DCM的中位线，ME是△BCN的中位线，推出，即可证明四边形AMCN是平行四边形；（2）连接AC交BD于O，只需要证明四边形AMCN是菱形，得到OM=ON，OA=OC，AC⊥MN，从而推出OB=OD，AC⊥BD，即可证明四边形ABCD是菱形．(1)解：∵，∴M、N分别是BN、DM的中点，又∵E、F分别是BC，CD的中点，∴NF是△DCM的中位线，ME是△BCN的中位线，∴，，∴，∴四边形AMCN是平行四边形；(2)解：连接AC交BD于O，∵四边形AMCN是平行四边形，∴，∵，∴，∵AE=AF，∴ME=NF，∴AM=CN=AN=CM，∴四边形AMCN是菱形，∴OM=ON，OA=OC，AC⊥MN，又∵BM=DN，∴OB=OD，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，证明出四边形AMCN是平行四边形是解题的关键．20．如图，，将沿斜边翻折得到，过点作于点，交于点，连接．(1)如图1，求证：四边形为菱形；(2)如图2，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出四个三角形使每个三角形的面积都等于面积的2倍．【答案】(1)证明见解析；(2)△EBA、△BEC、△DEA、△DEC；【解析】【分析】（1）由平行线的判定和性质，对称的性质可得四边形BCDE是平行四边形，再由一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可证明；（2）由∠BAC=30°可得AC=2BE，∠BCA=60°，由四边形BCDE是菱形可得△BCE、△DCE是等边三角形，于是AE=EC=BC=BE，由等腰三角形的性质可得△EBA面积=2△AEF面积，再根据等底等高和对称的性质可得△BEC、△DEA、△DEC面积都为2△AEF面积；(1)证明：∵DF⊥AB，∠ABC=90°，∴BC∥FD，∴∠BCD+∠CDF=180°，∵△BEC和△DEC关于AC对称，∴∠EBC=∠EDC，∴∠EBC+∠BCD=180°，∴BE∥CD，∴四边形BCDE是平行四边形，由对称的性质可得CB=CD，∴平行四边形BCDE是菱形；(2)解：当∠BAC=30°时，∠BCA=60°，由对称的性质可得∠DCA=60°，∵四边形BCDE是菱形，∴BC=CD=DE=EB，∴△BCE、△DCE是等边三角形，∴BC=EC=BE，Rt△ABC中，∠BAC=30°，则AC=2BE，∴AE=EC=BC=BE，△EBA中，EB=EA，EF⊥BA，∴BF=AF，∴△EBA面积=2△AEF面积，∵△BEA和△BEC等底等高，∴△BEC面积=△BEA面积=2△AEF面积，由对称的性质可得△DEA面积=△BEA面积，△DEC面积=△BEC面积，∴△DEA面积=2△AEF面积，△DEC面积=2△AEF面积，故答案为：△EBA、△BEC、△DEA、△DEC；【点睛】本题考查了对称的性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形等知识；掌握菱形的判定和性质是解题关键．21．已知在菱形ABCD中，点P在CD上，连接AP．(1)在BC上取点Q，使得∠PAQ＝∠B，①如图1，当AP⊥CD于点P时，求证：AP=AQ．②如图2，当AP与CD不垂直时，判断①中的结论（即AP=AQ）是否仍然成立，若成立，请给出证明，若不成立，则需说明理由．(2)如图3，在CD的延长线取点N，连接AN，使得∠PAN＝∠B，若AB＝6，∠B＝60°，∠ANC＝45°，求此时线段DN的长．【答案】(1)①见解析；②成立，理由见解析(2)【解析】【分析】（1）①由菱形的性质得出BC=CD，，证明，由菱形的面积公式可得出答案；②过点A作于M，于N，证明，由全等三角形的性质可得出答案；（2）过点A作于点H，由直角三角形的性质求出HN，DH的长，则可得出答案．(1)①证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，，∴∠B+∠QCD＝180°，∵∠PAQ＝∠B，∴∠PAQ+∠QCD＝180°，∴∠APC+∠AQC＝180°，∵AP⊥CD，∴∠APC＝90°，∴∠AQC＝90°，∴AQ⊥BC，∵S菱形ABCD＝，∴AP＝AQ；②当AP与CD不垂直时，①中的结论仍然成立；证明：如图2中，过点A作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N，∵四边形ABCD是菱形，AM⊥BC，AN⊥CD，∴S菱形ABCD＝BC•AM＝CD•AN，∵BC＝CD，∴AM＝AN，∠AMQ＝∠ANP＝90°，，∴∠B+∠C＝180°，∵∠PAQ＝∠B，∴∠PAQ+∠C＝180°，∴∠AQC+∠APC＝180°，∵∠AQM+∠AQC＝180°，∴∠AQM＝∠APN，在△AMQ和△ANP中，，∴．∴AP＝AQ；(2)如图，过点A作AH⊥CD于点H，∵∠ANC＝45°，∴∠NAH＝45°，∴AH＝HN，∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴∠ADC＝60°，AB＝AD＝6，∴∠DAH=90°-∠ADH=90°-60°=30°，∴DH＝AD＝3，∴AH＝=DH＝3，∴HN＝，∴DN＝HN﹣DH＝．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等直角三角形解决问题．培优第三阶——中考沙场点兵一、单选题1．（2021·陕西·中考真题）如图，在菱形中，，连接、，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】设AC与BD的交点为O，由题意易得，，进而可得△ABC是等边三角形，，然后问题可求解．解：设AC与BD的交点为O，如图所示：∵四边形是菱形，∴，，∵，∴△ABC是等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴；故选D．【点睛】本题主要考查菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键．2．（2021·浙江嘉兴·中考真题）将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．矩形 D．菱形【答案】D【解析】【分析】此题是有关剪纸的问题，此类问题应亲自动手折一折，剪一剪．解：由题可知，AD平分,折叠后与重合，故全等，所以EO=OF;又作了AD的垂直平分线，即EO垂直平分AD，所以AO=DO，且EO⊥AD；由平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形为平行四边形，所以AEDF为平行四边形；又AD⊥EF，所以平行四边形AEDF为菱形．故选：【点睛】本题主要考察学生对于立体图形与平面展开图形之间的转换能力，与课程标准中“能以实物的形状想象出几何图形，有几何图形想象出实物的图形”的要求相一致，充分体现了实践操作性原则．3．（2021·浙江衢州·中考真题）如图．将菱形ABCD绕点A逆时针旋转得到菱形，．当AC平分时，与满足的数量关系是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根据菱形的性质可得AB=AC，根据等腰三角形的性质可得∠BAC=∠BCA=，根据旋转的性质可得∠CAC′=∠BAB′=，根据AC平分可得∠B′AC=∠CAC=，即可得出，可得答案．∵四边形ABCD是菱形，，∴AB=AC，∴∠BAC=∠BCA==，∵将菱形ABCD绕点A逆时针旋转得到菱形，∴∠CAC′=∠BAB′=，∵AC平分，∴∠B′AC=∠CAC=，∴∠BAC=∠B′AC+∠BAB′=2=，∴，故选；C．【点睛】本题考查旋转的性质及菱形的性质，熟练掌握相关性质并正确找出旋转角是解题关键．4．（2020·辽宁锦州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE＋PF的值为(

)A．4 B． C．6 D．【答案】B【解析】【分析】连接BP，通过菱形的周长为20，求出边长，菱形面积为24，求出SABC的面积，然后利用面积法，SABP+SCBP=SABC，即可求出的值．解：连接BP，如图，∵菱形ABCD的周长为20，∴AB=BC=20÷4=5，又∵菱形ABCD的面积为24，∴SABC=24÷2=12，又SABC=SABP+SCBP∴SABP+SCBP=12，∴，∵AB=BC，∴∵AB=5，∴PE+PF=12×=．故选：B．【点睛】本题主要考查菱形的性质，解题关键在于添加辅助线，通过面积法得出等量关系，求出PF+PE的值．5．（2021·山东枣庄·中考真题）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，，，点是上一动点，点是的中点，则的最小值为（

）A． B． C．3 D．【答案】A【解析】【分析】连接，先根据两点之间线段最短可得当点共线时，取得最小值，再根据菱形的性质、勾股定理可得，然后根据等边三角形的判定与性质求出的长即可得．解：如图，连接，由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为，四边形是菱形，，，，，，是等边三角形，点是的中点，，，即的最小值为，故选：A．【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键．二、填空题6．（2020·辽宁辽宁·中考真题）一张菱形纸片的边长为，高等于边长的一