专题14 比例线段、黄金分割、平行线分线段成比例之六大考点(原卷版)

专题14比例线段、黄金分割、平行线分线段成比例【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一成比例线段】 1【考点二比例的性质】 2【考点三利用黄金分割求线段的长】 3【考点四与黄金分割有关的证明】 5【考点五由平行判断成比例的线段】 9【考点六由平行截线求相关线段的常或比值】 11【过关检测】 14【典型例题】【考点一成比例线段】例题：（2023·广东湛江·岭师附中校联考三模）下列四组线段中，成比例线段的是（

）A．4，1，3，8 B．3，4，5，6 C．4，8，3，5 D．15，5，6，2【变式训练】1．（2023秋·陕西咸阳·九年级统考期末）下列给出长度的四条线段中，是成比例线段的是（

）A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，2．（2023秋·陕西渭南·九年级统考期末）已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则（）A． B． C． D．【考点二比例的性质】例题：（2023春·江西九江·九年级校联考阶段练习）已知，则．【变式训练】1．（2023秋·辽宁辽阳·九年级统考期末）已知，则．2．（2023·湖南株洲·统考一模）已知，且，若，则．【考点三利用黄金分割求线段的长】例题：（2023·全国·九年级假期作业）点P是长度为10的线段上的黄金分割点，则较短线段的长度为（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2023春·黑龙江大庆·八年级统考阶段练习）在长度为1的线段上有一点P．满足，则长为（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·九年级假期作业）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图（1），点把线段分成两部分，如果，那么称点是线段的黄金分割点．如图（2），点分别是线段的黄金分割点，（），若，则的长是（）A． B． C． D．【考点四与黄金分割有关的证明】例题：（2023·全国·九年级假期作业）中，D是上一点，若，则称为的黄金分割线．(1)求证：若为的黄金分割线，则D是的黄金分割点；(2)若，求的面积．（结果保留根号）【变式训练】1．（2022秋·九年级单元测试）如图所示，以长为2的定线段为边作正方形，取的中点P，连接，在的延长线上取点F，使，以AF为边作正方形，点M在上．(1)求的长；(2)点M是的黄金分割点吗？为什么？2．（2023秋·山西运城·九年级统考期末）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：黄金分割：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus，约前408年一前355年）发现：如图1，将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫做线段PB，AB的比例中项），则可得出这一比值等于（0.618…）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点P叫做线段AB的黄金分割点．采用如下方法可以得到黄金分割点：如图2，设AB是已知线段，经过点B作BD⊥AB于点B，且使BD＝AB，连接DA，在DA．上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE，C就是线段AB的黄金分割点．任务：（1）求证：C是线段AB的黄金分割点．（2）若BD＝1，则BC的长为．【考点五由平行判断成比例的线段】例题：（2023春·山西临汾·九年级统考开学考试）如图，在中，，，则下列比例式中正确的是（）

A． B． C． D．【变式训练】1．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是（）

A． B． C． D．2．（2023秋·广东佛山·九年级统考期末）如图，直线，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论不正确的是（

）A． B． C． D．【考点六由平行截线求相关线段的常或比值】例题：（2023春·吉林长春·九年级统考阶段练习）如图，、相交于点，点、分别在、上，，如果，，，，那么．【变式训练】1．（2023·江苏南京·南师附中树人学校校考三模）如图，已知直线，如果，，那么线段的长是．

2．（2023秋·河南周口·九年级统考期末）如图，点分别在的边上，且，过点作，分别交、的平分线于点．若，平分线段，则．【过关检测】一、单选题1．（2023春·安徽·九年级校联考阶段练习）下列各组种的四条线段成比例的是（

）A．、、、 B．、、、C．、、、 D．、、、2．（2023春·湖南株洲·九年级统考开学考试）已知，那么的值是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试）如图，在中，点D在边上，，若，则的值是(

)

A． B． C． D．4．（2023春·河北邢台·九年级统考开学考试）如图，是叶脉的黄金分割点，则（

）

A． B． C． D．5．（2023秋·湖南益阳·九年级统考期末）如图，是平行四边形对角线上的点，若，，则的长为（

）

A．6 B．7 C．8 D．9二、填空题6．（2023·上海嘉定·模拟预测）已知：，则．7．（2023春·安徽·九年级专题练习）已知三条线段a、b、c，其中，c是a、b的比例中项，则cm．8．（2023·北京·统考中考真题）如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为．

9．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在中，D为边的中点，点E在线段上，的延长线交边于点F，若，，则线段的长为．

10．（2023春·安徽·九年级专题练习）鹦鹉螺是一类古老的软体动物．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为8cm，则的长为cm．（结果保留根号）三、解答题11．（2023·上海·九年级假期作业）如图，，，，，求、的长．12．（2022秋·安徽六安·九年级校考阶段练习）已知，且．(1)求的值；(2)若，求的值．13．（2022秋·九年级单元测试）与在网格中的位置如图所示，且每个小正方形的边长都是．

(1)求，，的值(2)在，，，，，这六条线段中，指出其中三组成比例的线段．14．（2023·浙江绍兴·统考三模）小明在学习角平分线知识的过程中，做了进一步探究：如图，在中，的平分线交于点，发现．小明想通过证明来验证这个结论．

证明：延长至，使得，请你完成上述证明过程：结论应用：已知在中，，，边上有一动点，连接，点关于的对称点为点，连接交于点．(1)如图2，当，，求的值．(2)如图3，当，与的边垂直时，求的值．

15．（2023·河南南阳·统考三模）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．(1)【操作判断】操作一：如图1，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在上的点E处，折痕为，把纸片展平，连接；操作二：如图2，将矩形纸片再次折叠，使点A与点E重合，得到折痕为，把纸片展平；操作三：如图3，连接，并把折到上的