专题07 圆的有关计算与证明问题（解析版）【浙江专用】

决胜2020年中考数学压轴题全揭秘（浙江专用）专题07圆的有关计算与证明问题【考点1】圆中有关角的计算问题【例1】（2019•台州）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为．【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合三角形外角的性质得出答案．【解析】∵圆内接四边形ABCD，∴∠D＝180°﹣∠ABC＝116°，∵点D关于AC的对称点E在边BC上，∴∠D＝∠AEC＝116°，∴∠BAE＝116°﹣64°＝52°．故答案为：52°．点评：此题主要考查了圆内接四边形的性质以及三角形的外角，正确得出∠AEC的度数是解题关键．【例2】（2019•温州）如图，⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，点P在优弧（EDF）上，若∠BAC＝66°，则∠EPF等于度．【分析】连接OE，OF，由切线的性质可得OE⊥AB，OF⊥AC，由四边形内角和定理可求∠EOF＝114°，即可求∠EPF的度数．【解析】连接OE，OF∵⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F∴OE⊥AB，OF⊥AC又∵∠BAC＝66°∴∠EOF＝114°∵∠EOF＝2∠EPF∴∠EPF＝57°故答案为：57点评：本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，熟练运用切线的性质是本题的关键．【考点2】切线的有关线段计算问题【例3】（2019•舟山）如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（）A．2 B．3 C．2 D．1【分析】连接OA，根据圆周角定理求出∠AOP，根据切线的性质求出∠OAP＝90°，解直角三角形求出AP即可．【解析】连接OA，∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，∵过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点P，∴∠OAP＝90°，∵OA＝OC＝1，∴AP＝OAtan60°＝1×3故选：B．点评：本题考查了切线的性质和圆周角定理、解直角三角形等知识点，能熟记切线的性质是解此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．【例4】（2019•台州）如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O的半径为（）A．23 B．3 C．4 D．4-【分析】设⊙O与AC的切点为E，连接AO，OE，根据等边三角形的性质得到AC＝8，∠C＝∠BAC＝60°，由切线的性质得到∠BAO＝∠CAO=12∠BAC＝30°，求得∠AOC【解析】设⊙O与AC的切点为E，连接AO，OE，∵等边三角形ABC的边长为8，∴AC＝8，∠C＝∠BAC＝60°，∵圆分别与边AB，AC相切，∴∠BAO＝∠CAO=12∠BAC∴∠AOC＝90°，∴OC=12AC＝∵OE⊥AC，∴OE=32OC＝2∴⊙O的半径为23，故选：A．点评：本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．【考点3】扇形与弧长的有关计算问题【例5】（2019•宁波）如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（）A．3.5cm B．4cm C．4.5cm D．5cm【分析】设AB＝xcm，则DE＝（6﹣x）cm，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可．【解析】设AB＝xcm，则DE＝（6﹣x）cm，根据题意，得90πx180=π（6﹣解得x＝4．故选：B．点评：本题考查了圆锥的计算，矩形的性质，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．【例6】（2019•绍兴）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°．若BC＝22，则BC的长为（）A．π B．2π C．2π D．22π【分析】连接OB，OC．首先证明△OBC是等腰直角三角形，求出OB即可解决问题．【解析】连接OB，OC．∵∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣70°＝45°，∴∠BOC＝90°，∵BC＝22，∴OB＝OC＝2，∴BC的长为90⋅π⋅2180=故选：A．点评：本题考查圆周角定理，弧长公式，等腰直角三角形的性质的等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【考点4】圆锥的有关计算问题【例7】（2019•湖州）已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的侧面积是（）A．60πcm2 B．65πcm2 C．120πcm2 D．130πcm2【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算．【解析】这个圆锥的侧面积=12×2π×5×13＝65π（故选：B．点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．【例8】（2019•金华）如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A＝90°，∠ABC＝105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（）A．2 B．3 C．32 D．【分析】先证明△ABD为等腰直角三角形得到∠ABD＝45°，BD=2AB，再证明△CBD为等边三角形得到BC＝BD=2AB，利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：【解析】∵∠A＝90°，AB＝AD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴∠ABD＝45°，BD=2AB∵∠ABC＝105°，∴∠CBD＝60°，而CB＝CD，∴△CBD为等边三角形，∴BC＝BD=2AB∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，∴下面圆锥的侧面积=2×1故选：D．点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质．【考点5】圆与多边形的有关计算问题【例9】（2019•湖州）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠ABD的度数是（）A．60° B．70° C．72° D．144°【分析】根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出∠ABC、CD＝CB，根据等腰三角形的性质求出∠CBD，计算即可．【解析】∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠ABC＝∠C=(5-2)×180°5∵CD＝CB，∴∠CBD=180°-108°2∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝72°，故选：C．点评：本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于（n﹣2）×180°是解题的关键．【例10】（2018•温州）小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形．图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接正六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB＝5cm，小正六边形的面积为4932cm2，则该圆的半径为8【分析】设两个正六边形的中心为O，连接OP，OB，过O作OG⊥PM，OH⊥AB，由正六边形的性质及邻补角性质得到三角形PMN为等边三角形，由小正六边形的面积求出边长，确定出PM的长，进而求出三角形PMN的面积，利用垂径定理求出PG的长，在直角三角形OPG中，利用勾股定理求出OP的长，设OB＝xcm，根据勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．【解析】设两个正六边形的中心为O，连接OP，OB，过O作OG⊥PM，OH⊥AB，由题意得：∠MNP＝∠NMP＝∠MPN＝60°，∵小正六边形的面积为4932cm∴小正六边形的边长为733cm，即PM＝73∴S△MPN=14734∵OG⊥PM，且O为正六边形的中心，∴PG=12PM=732cm，在Rt△OPG中，根据勾股定理得：OP=(72设OB＝xcm，∵OH⊥AB，且O为正六边形的中心，∴BH=12x，OH=∴PH＝（5-12x）在Rt△PHO中，根据勾股定理得：OP2＝（32x）2+（5-12x）2解得：x＝8（负值舍去），则该圆的半径为8cm．故答案为：8点评：此题考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形的性质是解本题的关键．【考点6】圆中有关线段的最值问题【例11】（2019•嘉兴）如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为12【分析】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出即可．【解析】连接OD，如图，∵CD⊥OC，∴∠DCO＝90°，∴CD=O当OC的值最小时，CD的值最大，而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，∴CD＝CB=12AB=1即CD的最大值为12故答案为：12点评：本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，能求出点C的位置是解此题的关键．【考点7】圆中有关计算与证明综合问题【例12】（2019•金华）如图，在▱OABC中，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点B，与OC相交于点D．（1）求BD的度数．（2）如图，点E在⊙O上，连结CE与⊙O交于点F，若EF＝AB，求∠OCE的度数．【分析】（1）连接OB，证明△AOB是等腰直角三角形，即可求解；（2）△AOB是等腰直角三角形，则OA=2t，HO=O【解析】（1）连接OB，∵BC是圆的切线，∴OB⊥BC，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA∥BC，∴OB⊥OA，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠ABO＝45°，∴BD的度数为45°；（2）连接OE，过点O作OH⊥EC于点H，设EH＝t，∵OH⊥EC，∴EF＝2HE＝2t，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB＝CO＝EF＝2t，∵△AOB是等腰直角三角形，∴OA=2t则HO=OE∵OC＝2OH，∴∠OCE＝30°．点评：本题主要利用了切线和平行四边形的性质，其中（2），要利用（1）中△AOB是等腰直角三角形结论．【例13】（2019•衢州）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若DE=3，∠C＝30°，求AD【分析】（1）连接OD，只要证明OD⊥DE即可；（2）连接AD，根据AC是直径，得到∠ADC＝90°，利用AB＝AC得到BD＝CD，解直角三角形求得BD，在Rt△ABD中，解直角三角形求得AD，根据题意证得△AOD是等边三角形，即可OD＝AD，然后利用弧长公式求得即可．【解答】（1）证明：连接OD；∵OD＝OC，∴∠C＝∠ODC，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠ODC，∴OD∥AB，∴∠ODE＝∠DEB；∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠ODE＝90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．（2）解：连接AD，∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠B＝∠C＝30°，BD＝CD，∴∠OAD＝60°，∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD＝60°，∵DE=3，∠B＝30°，∠BED＝90∴CD＝BD＝2DE＝23，∴OD＝AD＝tan30°•CD=33×2∴AD的长为：60π⋅2180点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．一．选择题（共5小题）1．（2020•温岭市一模）如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A＝90°，∠ABC＝105°，则上下两圆锥的侧面积之比为（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：2【分析】设BD＝2r，先利用∠A＝90°得到AB=2r，再计算∠CBD＝60°，则BC＝BD＝2r【解析】设BD＝2r，∵AB＝AD，∠A＝90°，∴AB=2r∵∠ABC＝105°，∴∠CBD＝60°，∴BC＝BD＝2r，∴上下两圆锥的侧面积之比＝（12×2πr×2r）：（12×2πr×2r故选：D．2．（2020•金华模拟）如图，一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面的B点，圆柱底面直径为4，母线为6，则蚂蚁爬行的最短路线长为（）A．36+4π2 B．4+36π2 C．4π 【分析】要求最短路线，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，再利用勾股定理来求．【解析】把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A，B的最短距离为线段AB的长，BC＝6，AC为底面半圆弧长，AC＝2π，所以AB=6故选：A．3．（2020•杭州模拟）如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O，交AB的延长线于点D，交AC于点E，连接OD，OE．若∠A＝α，则∠DOE的度数为（）A．180°﹣2α B．180°﹣α C．90°﹣α D．2α【分析】连接CD，如图，根据圆周角定理得到∠BDC＝90°，利用互余得到∠ACD＝90°﹣α，然后根据圆周角定理得到∠DOE＝2（90°﹣α）．【解析】连接CD，如图，∵BC为直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝90°﹣α，∴∠DOE＝2∠ACD＝2（90°﹣α）＝180°﹣2α．故选：A．4．（2020•温州模拟）如图，△ABC，AC＝3，BC＝43，∠ACB＝60°，过点A作BC的平行线1，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为（）A．3-1 B．7﹣43 C．3 D．【分析】如图，连接CE．首先证明∠BEC＝120°，由此推出点E在以O'为圆心，O'B为半径的BC上运动，连接O'A交BC于E′，此时AE′的值最小．【解析】如图，连接CE．∵AP∥BC，∴∠PAC＝∠ACB＝60°，∴∠CEP＝∠CAP＝60°，∴∠BEC＝120°，∴点E在以O'为圆心，O'B为半径的BC上运动，连接OA交BC于E′，此时AE′的值最小．此时⊙O与⊙O'交点为E'．∵∠BE'C＝120°∴BC所对圆周角为60°，∴BOC＝2×60°＝120°，∵△BOC是等腰三角形，BC＝43，OB＝OC＝4，∵∠ACB＝60°，∠BCO'＝30°，∴∠ACO；＝90°∴O'A=O'C2∴AE′＝O'A﹣O'E′＝5﹣4＝1．故选：D．5．（2020•绍兴一模）如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝20°，则∠D的度数是（）A．40° B．50° C．60° D．70°【分析】连OC，根据切线的性质得到∠OBD＝∠OCD＝90°，根据∠ACE＝20°和OA＝OC求出∠OAC＝∠OCA＝70°，可得∠BOC＝2×70°＝140°，再根据四边形的内角和为360°即可计算出∠D的度数．【解析】连OC，如图，∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，∴∠OBD＝∠OCD＝∠OCE＝90°，∵∠ACE＝20°，∴∠OCA＝90°﹣20°＝70°，∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA＝70°，∴∠BOC＝2×70°＝140°，∴∠D＝360°﹣90°﹣90°﹣140°＝40°．故选：A．二．填空题（共5小题）6．（2020•金华模拟）如图，BC是⊙O的弦，以BC为边作等边三角形ABC，圆心O在△ABC的内部，若BC＝6，OA=3，则⊙O的半径为21【分析】过O作OD⊥BC于D，由垂径定理可知BD＝CD=12BC，根据△ABC是等边三角形可知∠ABC＝60°，故△ABD也是直角三角形，BD＝DD，在Rt△OBD中利用勾股定理求出【解析】过O作OD⊥BC于D，连接OB，∵BC是⊙O的一条弦，且BC＝6，∴BD＝CD=12BC=12∴OD垂直平分BC，又AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上，即A，O及D三点共线，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴AD=3BD＝33∵OA=3∴OD＝AD﹣OA＝23在Rt△OBD中，OB=B故答案为：21．7．（2020•天台县模拟）如图，已知等边△ABC的边长为8，以AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于D、E两点，则劣弧DE的长为43π【分析】连接OD、OE，先证明△AOD、△BOE是等边三角形，得出∠AOD＝∠BOE＝60°，求出∠DOE＝60°，再由弧长公式即可得出答案．【解析】连接OD、OE，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵OA＝OD，OB＝OE，∴△AOD、△BOE是等边三角形，∴∠AOD＝∠BOE＝60°，∴∠DOE＝60°，∵OA=12AB＝∴DE长=60π×4180故答案为：43π8．（2020•绍兴一模）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线有公共点，则r的取值范围为r≥24【分析】如图，作CH⊥AB于H．利用勾股定理求出AB，再利用面积法求出CH即可判断．【解析】如图，作CH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，∴AB=AC∵S△ABC=12•AC•BC=12•∴CH=24∵以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线有公共点，∴r≥24故答案为r≥249．（2020•拱墅区校级模拟）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，点D，E，F分别在线段AB，BP，AP上，且AD＝BE，BD＝AF，∠P＝54°，则∠EDF＝63度．【分析】根据切线长定理得到PA＝PB，根据三角形内角和定理得到∠PAB＝∠PBA＝63°，证明△AFD≌△BDE，根据全等三角形的性质得到∠AFD＝∠BDE，结合图形计算，得到答案．【解析】∵PA，PB是⊙O的两条切线，∴PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA=180°-54°2在△AFD和△BDE中，AD=BE∠FAD=∠DBE∴△AFD≌△BDE（SAS）∴∠AFD＝∠BDE，∴∠EDF＝180°﹣∠BDE﹣∠ADF＝180°﹣∠AFD﹣∠ADF＝∠FAD＝63°，故答案为：63．10．（2020•衢州模拟）如图，小圆O的半径为1，△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3，…，△AnBn∁n依次为同心圆O的内接正三角形和外切正三角形，由弦A1C1和弧A1C1围成的弓形面积记为S1，由弦A2C2和弧A2C2围成的弓形面积记为S2，…，以此下去，由弦An∁n和弧An∁n围成的弓形面积记为Sn，其中S2020的面积为24036（4π3-【分析】根据正三角形和圆的关系可依次求出弓形面积，再根据弓形面积寻找规律即可得结论．【解析】∵小圆O的半径为1，△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3，…，△AnBn∁n依次为同心圆O的内接正三角形和外切正三角形，∴S1＝S扇形A1=120π×S2=120π×22S3=120π×42…发现规律：Sn=120π×(2n-1)2360-12×（2=π3×22n﹣2﹣22n＝22n﹣4（4π3∴S2020的面积为：24036（4π3故答案为：24036（4π3三．解答题（共10小题）11．（2020•金华模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径作⊙O，与BC相切于点D，且交AB于点E．（1）连结AD，求证：AD平分∠CAB；（2）若BE=2-【分析】（1）连接OD，证OD∥AC，求出∠OAD＝∠ODA＝∠CAD即可；（2）证明△BOD是等腰直角三角形，分别求出△BOD和扇形EOD的面积即可．【解答】（1）证明：如图，连结OD，∵⊙O与BC相切于点D，∴OD⊥BC，即∠ODB＝90°．又∵∠C＝90°，∴OD∥AC，∴∠ODA＝∠CAD．在⊙O中，OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠CAD，∴AD平分∠CAB．（2）解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∴∠B＝45°，∴∠BOD＝45°，∴△BOD是等腰直角三角形，∴OB=2OD，BD＝OD设⊙O的半径为r，则OD＝BD＝r，OB=2∴BE=(2∴r＝1，∴S阴影12．（2020•鹿城区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC边上的一点，过A，B，D三点的⊙O交AC于点E，作直径AF，连结FD并延长交AC于点G，且FG∥BE，连结BE，BF﹒（1）求证：AB＝BD；（2）若BD＝2CD，AC＝5，求⊙O的直径长﹒【分析】（1）连接EF、DE，然后证明四边形ABFE和四边形BFDE分别为矩形和等腰梯形即可．（2）设CD为x，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得CD长度，然后设BF＝DE＝AE＝y，在Rt△CDE中利用勾股定理求得BF的长，最后在Rt△ABF中，利用勾股定理算出直径．【解析】（1）如图，连接EF、ED．∵AF为直径，∴∠ABF＝∠AEF＝90°，∵∠BAC＝90°，∴四边形ABFE是矩形，∴AB＝EF，AE＝BF，∵DF∥BE，∴BF=∴BF＝DE，∴四边形BFDE是等腰梯形，∴BD＝EF，∴AB＝BD．（2）设CD＝x，则AB＝BD＝2CD＝2x，BC＝3x．在Rt△ABC中：AB2+AC2＝BC2，∴（2x）2+52＝（3x）2，解得x1=5，x2=∴CD=5，AB＝BD＝25设BF＝AE＝DE＝y，则CE＝5﹣y，在Rt△CED中：DE2+CD2＝CE2，∴y2+5＝（5﹣y）2，解得y＝2，∴BF＝DE＝AE＝2，∴AF=AB2即⊙O的直径长为26．13．（2020•绍兴一模）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点A（0，4）、B（﹣4，4）、C（﹣6，2），若该圆弧所在圆的圆心为D点，请你利用网格图回答下列问题：（1）圆心D的坐标为（﹣2，0）；（2）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面圆的半径长（结果保留根号）．【分析】（1）分别作AB、BC的垂直平分线，两直线交于点D，则点D即为该圆弧所在圆的圆心，可知点D的坐标为（﹣2，0）．（2）连接AC、AD和CD，根据勾股定理的逆定理求出∠CDA＝90°，根据弧长公式和圆的周长求出答案即可．【解析】（1）分别作线段AB和线段BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点，就是圆心D，如图，D点正好在x轴上，D点的坐标是（﹣2，0），故答案为：（﹣2，0）；（2）连接AC、AD、CD，⊙D的半径长=2∵AD2+CD2＝20+20＝40，AC2＝40，∴AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°．设圆锥的底面圆的半径长为r，则2πr=90π×2解得：r=5所以该圆锥底面圆的半径长为5214．（2020•上虞区校级一模）如图1（1）已知△ABC中AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是角平分线，求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）如图2，正五边形的边长为2，连结对角线AD、BE、CE，线段AD分别与BE和CE相交于点M、N，求MN的长；（3）设⊙O的半径为r，直接写出它的内接正十边形的边长＝5-12r（用【分析】（1）如图1，先证AD＝BD＝BC，再证△BCD∽△ACB，即可得出点D是线段AC的黄金分割点；（2）利用正五边形的性质，证BM＝BA＝AE，再证△AEM∽△BEA，推出EMEB=3-52，再证△EMN（3）正十边形的中心角为：360°10=36°，利用图1，可设∠BAC是正十边形的一个中心角，则AB，AC为正十边形外接圆的半径r，BD是∠ABC的平分线，由（1）知CDAD=AD【解答】（1）证明：如图1，∵在△ABC中AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠C=12（180°﹣36°）＝∵BD是角平分线，∴∠CBD＝∠ABD=12∠ABC∴AD＝BD＝BC，∴在△BCD中，∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝72°，∴BD＝BC，∵∠A＝∠CBD＝36°，∠C＝∠C，∴△BCD∽△ACB，∴CDBC∵AD＝BD＝BC，∴CDAD∴点D是线段AC的黄金分割点；（2）在正五边形ABCDE中，∠AED=180°×(5-2)5=108°，AE∴∠EAD＝∠EDA=12（180°﹣108°）＝同理可求，∠AEB＝∠ABE＝36°，∵∠EAM＝∠∠EBA，∠AEM＝∠BEA，∴△AEM∽△BEA，∴EMAE∵∠AMB＝∠MAE+∠AEM＝72°，∠MAB＝∠BAE﹣∠MAE＝72°，∴∠BAM＝∠BMA，∴BM＝BA＝AE＝2，∴EMBM∴EM2∴EM=5-∴EMEB∵∠BAM+∠ABC＝72°+108°＝180°，∴AD∥BC，∴△EMN∽△EBC，∴EMEB∵BC＝2，∴MN＝3-5（3）正十边形的中心角为：360°10=如图1，可设∠BAC是正十边形的一个中心角，则AB，AC为正十边形外接圆的半径r，BD是∠ABC的平分线，由（1）知CDAD∴r-ADAD∴AD=5-1∴BC＝BD=5-1故答案为：5-1215．（2020•长安区模拟）如图1，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D．（1）求证：点D是AB的中点；（2）如图2，过点D作DE⊥AC于点E，求证：DE是⊙O的切线．【分析】（1）由于AC＝AB，如果连接CD，那么只要证明出CD⊥AB，根据等腰三角形三线合一的特点，我们就可以得出AD＝BD，由于BC是圆的直径，那么CD⊥AB，由此可证得．（2）连接OD，再证明OD⊥DE即可．【解答】证明：（1）如图1，连接CD，∵BC为⊙O的直径，∴CD⊥AB．∵AC＝BC，∴AD＝BD．（2）如图2，连接OD；∵AD＝BD，OB＝OC，∴OD是△BCA的中位线，∴OD∥AC．∵DE⊥AC，∴DF⊥OD．∵OD为半径，∴DE是⊙O的切线．16．（2020•衢州模拟）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC＝FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF＝4，DF=10，求⊙O【分析】（1）由等腰三角形的性质和垂径定理可求∠OAC＝90°，可得结论；（2）由勾股定理可求解．【解答】证明：（1）连接AO，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AC＝FC，∴∠CAF＝∠CFA＝∠OFD，∵D为BE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，∴∠ODA+∠OFD＝90°，∴∠CFA+∠DAO＝90°，∴∠OAC＝90°，且OA是半径，∴AC是⊙O的切线；（2）在Rt△ODF中，DF2＝OD2+OF2，∴10＝OD2+（4﹣OD）2，∴OD＝1（不合题意舍去），OD＝3，∴⊙O的半径为3．17．（2020•温州模拟）如图，AB是O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．（1）求证：CF＝BF；（2）若AD＝6，⊙O的半径为5，求BC的长．【分析】（1）连接ACAC，由圆周角定理得出∠ACB＝90°，证出∠BAC＝∠BCE；由C是弧BD的中点，得到∠DBC＝∠BAC，延长∠BCE＝∠DBC，即可得到结论；CF＝BF．（2）连接OC交BD于G，由圆周角定理得出∠ADB＝90°，由勾股定理得出BD=AB2-AD2=8，由垂径定理得出OC⊥BD，DG＝BG=12BD＝4，证出OG是△ABD的中位线，得出OG=12AD＝3，求出CG【解答】（1）证明：连接AC，如图1所示：∵C是弧BD的中点，∴∠DBC＝∠BAC，在ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB，∴∠BCE+∠ECA＝∠BAC+∠ECA＝90°，∴∠BCE＝∠BAC，又C是弧BD的中点，∴∠DBC＝∠CDB，∴∠BCE＝∠DBC，∴CF＝BF．（2）解：连接OC交BD于G，如图2所示：∵AB是O的直径，AB＝2OC＝10，∴∠ADB＝90°，∴BD=AB∵C是弧BD的中点，∴OC⊥BD，DG＝BG=12BD＝∵OA＝OB，∴OG是△ABD的中位线，∴OG=12AD＝∴CG＝OC﹣OG＝5﹣3＝2，在Rt△BCG中，由勾股定理得：BC=CG218．（2020•拱墅区校级模拟）如图，△ABC是的内接三角形，点C是优弧AB上一点，设∠OAB＝α，∠C＝β．（1）猜想：β关于α的函数表达式，并给出证明；（2）若α＝30°，AB＝6，S△ABC＝63，求AC的长．【分析】（1）连接OB，理由等腰三角形的性质圆周角定理即可解决问题．（2）如图，延长AO交⊙O于E，连接EB，作EF∥AB交⊙O于F，连接AF．证明点C与点E重合即可解决问题．【解析】（1）如图，结论：β＝90°﹣α．理由：连接OB．∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝α，∴∠AOB＝180°﹣2α，∴∠C=12∠AOB＝90°﹣α，即β＝90°﹣（2）如图，延长AO交⊙O于E，连接EB，作EF∥AB交⊙O于F，连接AF．∵AE是直径，∴∠ABE＝90°，∵∠EAB＝30°，AB＝6，∴BE＝AB•tan30°＝23，∴S△EAB=12•AB•EB＝6∵S△ABC＝63，∴点C与E重合，或与F重合，∴AC＝2BE＝43或AC′＝AF＝BE＝23．综上所述，AC的长度为43或23．19．（2019•泸县模拟）如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求DE的长．【分析】（1）连接OD，欲证明DE是⊙O的切线，只要证明OD⊥DE即可．（2）过点O作OF⊥AC于点F，只要证明四边形OFED是矩形即可得到DE＝OF，在RT△AOF中利用勾股定理求出OF即可．【解答】证明：（1）连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠ODA