2021-2022学年高二人教A版数学选修1-1练习：九 椭圆及其标准方程

九椭圆及其标准方程

基础全面练（20分钟35分）

1如果椭圆荒+圣=1上一点M到此椭圆一个焦点R的距离为2,

o1ZD

N是MFi的中点，O是坐标原点，则线段ON的长为（）

3

A.2B.4C.8D.~

选C.设椭圆盖+条=1的另一个焦点为F2,

o1

因为a2=81,所以a=9,

因为|MF1|=2,

所以IMF2I=2a-|MFi|=18-2=16,

所以|ON|二；IMF2I=8.

2.已知椭圆的焦点为（-1,0）和（1,0）,点P（2,0）在椭圆上，则椭

圆的方程为（）

X2x2

A.4+3=1B.a+y2=1

x2丫2

C-4+T=1D.:+x2=1

选A.由已知c=1,a=2,所以b2=a2-c2=3.

所以椭圆的方程为?=1.

3.已知一BC的两个顶点的坐标A(-4,0),B(4,0),△ABC的周

长为18,则顶点C的轨迹方程为()

X?y2y2yr2

A-25+9=1B-25+~9=1(丫和)

X2*5V2X2V2

C.讳+9=l(y^0)0.而+9=l(y#0)

选D.顶点C到两个定点A,B的距离和为18-8=10>8,由椭圆的定

义可得轨迹方程.

4.已知椭圆的方程为+*=1,焦点在x轴上，m的取值范围是

由椭圆的方程为+4=1,焦点在x轴上，可得0<m2<16,所以

-4<m<0或0<m<4.

答案：(-4,0)U(0,4)

5.已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交

点到两焦点的距离分别为3和1,则椭圆的标准方程为.

fa+c=3,fa=2,

由题意可得彳所以彳

[a-c=1.[c=1.

故62=22二2=3,所以椭圆方程为\=1.

答案：弓+?=1

6.设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为

4

PD上一点，且|MD|二m|PD|.

当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程.

设点M的坐标是（x,y）,P的坐标是（XP,yP）,

4

因为点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点,且|MD|二弓|PD|,

所以xP=x,HyP=1y.

因为P在圆x2+y2=25±,

所以x2+闵2=25,整理得||+%=1,即点M的轨迹C的方

程是会+条=】•

综合突破练（30分钟60分）

一、选择题（每小题5分，共25分）

1.已知椭圆亨+手=1的一个焦点为（2,0）,则这个椭圆的方程

d乙

是（）

AX2£,x2y2

A.+2=1B.y+2=1

V2X2V2

2

C.x+*277=1D.6+20=1

选D.椭圆等+?=1的一个焦点为（2,0）,

d乙

则椭圆的焦点在X轴上，且C=2,

因为b2=2,所以a2=b2+c2=2+4=6,

所以椭圆的方程是看=1.

2设，野方程x?sina+y2cosa=1表示焦点在y轴上的椭圆，

则a的取值范围是()

A.(0mB.(0,£

C-{4,V。•吊方

选C.由题意可知看〈羡，

所以sina>cosa>0,

又因为a£(0,(|，解得*常.

3.已知Fi(-1,0),F2(l,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x

轴的直线交椭圆C于AB两点目|AB|=3，则椭圆C的方程为()

x2x2v2

A.y+y2=1B.y+=1

C.f+9=1D,f+?=1

22

选C.设椭圆的方程为x矣+言v=l(a>b>0),

令x=c,则y=,由|AB|=3,得平=3,①，

又a?-b?=c?=1,②

联立①②得a2=4,b2=3.

所以椭圆的方程为?+f=1.

4.(2021.贵阳高二检测)是“方程----+=2表示椭

m-15-m

圆”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

选B.若方程表示椭圆，

m-1>0,

则有<5-m>0,因此l<m<5且m#3,

、m-1^5-m,

故是“方程上+一匕=2表示椭圆”的必要不充分条件.

m-15-m

x2

5.已知椭圆C：£+y2=l的焦点F(1,0),直线l：x=2,点A日,

线段AF交C于点B,若FA=3Ffi，则舒|=()

选C设A(2,yo),B(Xl,yi),

FA=(1,yo),FB=(X|-1,yi),

由虫=3FB,BP(1,yo)=3(xi-1,yi),

f4

Xl=3,

所以<,又点B在椭圆C上，

lvy,-_y3o，

(4)22

所以A-+管)2=1,解得yo=±l,

所以A点坐标为(2,±1),

所以I丽=\l(2-1)2+(±1-0)2地.

二、填空题(每小题5分，共15分)

—X2V2

6.已知R,F2是椭圆C：记+g=l(a>b〉0)的两个焦点，P为椭圆

C上的一点，且PF1±PF2,若VF1F2的面积为9,则b=.

因为PF1±PF2,

所以PF1±PF2,

因止匕|PF1F+|PF2|2二|RF2|2.

即(|PFI|+|PF2|)2-2|PF]HPF2|

=IF1F2I2,

所以(2a)2-2|PBHPF2|=(2c)2,

因止匕|PFiHPF2|=2b2.

2

fiS△PFiF2=1|PFi|.|PF2|=b=9,所以b=3.

答案：3

7.已知椭圆方程会+f=1中，B,F2分别为它的两个焦点，则下

列说法正确的为.(填序号)

①焦点在x轴上，其坐标为(±4,0);

②若椭圆上的一点P到R的距离为6,则P到F2的距离为4；

③a=5,b=3,c=4.

由椭圆方程：福+三=1,

则a=5,b=3,c=4,故③正确；

由标准方程焦点在x轴上，知其坐标为(±4,0),①正确；由椭圆的

定义可得|PB|+|PF2|=2a=10,②正确.

答案：①②③

8.设P是椭圆5+三=1上一点,Fi,F2是其左、右两焦点，若

|PFI|-|PF2|=8，贝!J|OP|=.

由已知，|PFI|+|PF2|=6,

2

两边平方得|PF1|2+2|PF1|-|PF2|+|PF2|=36.

因为|PF】HPF2|=8,

所以|PBF+|PF2|2=20以PF1,PF2为令B边作平行四边形，

则IOPI正好是该平行四边形对角线长的一半.由平行四边形的性质

知，平行四边形对角线长的平方和等于四边长的平方和，

即(2|OP|)2+(2c)2=2(|PF1|2+IPF2I2).

所以4|OP|2+(2x2)2=2x20,所以|OP|=#.

答案：加

三、解答题(每小题10分，共20分)

9.求适合下列条件的椭圆的标准方程：

⑴两个焦点的坐标分别为F,(-4,0)和F2(4,0),且椭圆经过点P(5,

0)；

方法一(定义法)：由已知，c=4,

2a=|PFi|+|PF2|

=4(5+4)2+0+-\j(5-4)2+0=10,即a=5,

所以b2=a2-c2=25-16=9.

所求椭圆的标准方程为=1.

方法二(待定系数法)：由于椭圆的焦点在x轴上，

所以设它的标准方程为\+(=l(a>b>0).

由题意得a=5,c=4,所以b2=a2-c2=25-16=9.

故所求椭圆的标准方程为祭+曾“

ZJy

(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；

由于椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为*=l(a>b>0).

所以a=2,b=1.

故所求椭圆的标准方程为9+x2=l.

(3)经过点A(4,-2)和点2-2小,1).

方法一：①当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为|+'=l(a

'(S)2(-2-

a2+b2-1，|a2=15,

>b>0),则1厂解得4

(-2小产i[b2=5.

I——+京

故所求椭圆的标准方程为=1.

②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为

丫2X2

%=l(a>b>0),则

「(-21(小产

+b2=1，

1(-2^3)2

^二1，

a2=5,

解得

b2=15,

因为a>b>0,所以无解.

所以所求椭圆的标准方程为fl=1.

方法二：设所求椭圆的方程为mx2+ny2=l(m>0,n>0,m,n),则

J3m+4n=1,

[12m+n=1,

f1

m=15，

解得i

?=5,

所以所求椭圆的标准方程为1+?二L

10.已知点P(6,8)是椭圆点+$=l(a>b>0)上一点,Fi,F?为椭圆

的两焦点，若PF「PF2=0.试求

(1)椭圆的方程.

因为PFrPF2=0,

所以-(c+6)(c-6)+64=0,所以c=10,

所以Fi(-10,0),F2(10,0),

所以2a=|PFi|+|PF2|

(6+10)2+82+'(6-10)2+82=12小，

所以a=6巾,b2=80.

所以椭圆方程为喘+总=1.

(2)sinNPF1F2的值•

如图所示,

过点P作PMJ_x轴，垂足为M,

则|PM|=8,|FiM|=10+6=16,

所以|PB|=A/|PM|2+|F,M|2

=,8?+16?=8小，

而'J•/ppp『Ml8下

所以smNPFRw;弹=5-

创新迁移练

1•古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率

等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点，

焦点Fi,F2均在x轴上，C的面积为2^3兀,过点Fi的直线交C于

点A,B,且△ABF2的周长为8.则C的标准方程为（）

2

A.j+y=1B.j+4=1

x2x24^2.

C-4+3=1D-16+3=1

选C.因为AABF2的周长为8,

所以AB+AF2+BF2—8nAFi+BFi+AF2+BF2—8n(AFi+AF2)+

(BFi+BF2)=8,

由椭圆的定义可知：AFi+AF2=2a,BF.+BF2=2a,

所以2a+2a=8na=2,

由题意可得：ab兀=25n,解得b二4,

因为椭圆的焦点在x轴上，所以C的标准方程为'+£=L

2.设R,F2分别是椭圆亍+y2=l的左、右焦点，B为椭圆上的点

且坐标为(0,-1).

⑴若P是该椭圆上的一个动点，求IPBHPF2的最大值.

2

因为椭圆的方程为x点+y2=l,

所以a=2,b=1,c=小，即|FF2|二2小,

又因为|PFi|+|PF2|=2a=4,

|PF||+|PF|

所以IPF1HPF252

2

当且仅当|PB|二|PF2|=2时取"二”，

所以PFMPF2的最大值为4.

⑵若C为椭圆上异于B的一点，且B耳二九CE,求X的值.

设C(xo,yo),B(O,-1),R(-小,0),

.—.—•/口)3(1-人)1

由BF；=入C£得xo=,yo=-.

1-^3(1-X)12

又答+yo=1，所以\+(-32=1,

化简得X2+6X-7=0,

解得X=-7或入=1,

因为点C异于点B,所以X=-7.

⑶设P是该椭圆上的一个动点