2021-2022版老教材数学人教A版必修5学案：第2课时等比数列的性质

第2课时等比数列的性质

学i.掌握等比数列的性质及其应用.（逻辑推理、数学运算）

习2,掌握等比中项的实际应用.（数学运算、数学建模）

目3.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用.（逻辑推理、数学运

标算）

必备知识・自主学习

1.结合等差数列的性质，思考等比数列应该具

备哪些性质？

导思

2.类比等差数列的单调性，分析等比数列的单

调性？

1.等比数列项的运算性质

（1）等比数列的项之间的关系.

等比数列等｝,m,n,p,q£N*

n-m

两项关系an-amq

三项关系若m+n=2p,则an•am=a^

四项关系若m+n=p+q,贝！Ja,„•an=ap•aq

（2）“子数列”性质.

对于无穷等比数列｛aj若将其前k项去掉,剩余各项仍为等比数列，首

项为ak+b公比为q；

若取出所有的k的倍数项,组成的数列仍为等比数列，首项为ak,公比为

q•

(3)两等比数列合成数列的性质.

若数列｛a0｝,｛bj均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列

｛caj,飕｝,瓜•bj,｛料也为等比数列.

思考？

等比数列两项之间的关系a"=ad/中，当nWm时成立吗？

提示：成立，如a=aq2^asq：

25q3

2.等比数列的单调性

ai>0g>i

递增数列

Hi<00<q〈l

a〉。0<q〈l

递减数列

at<0q>i

思考？

当q=l,q<0时,分别是什么数列？

提示：当q=l时是常数列；当q<0时是摆动数列.

;基础小测：:

1.辨析记忆(对的打“J,错的打“X”).

⑴等比数列｛aj中a2•a6=al，

⑵当等比数列的公比q>l时,一定是递增数列.

(3)等比数歹!)｛4｝中,aba4,a7,a］。,…仍然是等比数列.

提示：(1)X.a2•a6=CZ4-

(2)X,当数列的公比q>1时，若aXO,则是递减数列.

3

⑶V.aba4,a7,ai0,…是以为首项，q为公比的等比数列.

2.等比数歹！J｛aj的公比q=--,a尸血,贝I数歹U｛a—是

2

A.递增数列B.递减数列

C.常数列D.摆动数列

1

【解析】选D.由于公比q二一＜0,

2

所以数列｛aj是摆动数列.

3.（教材二次开发：练习改编）在等比数列｛aj中,已知a7-a*10,则

a8•a9•at0,an=.

【W析J因为a7•ai2=a8,an--a?•aw~10,

所以3s*a9*aw,an—10—100.

答案：100

关键能力-合作学习

类型一等比数列的性质及应用（数学抽象、逻辑推理、数学运算）

题组训练、

1.已知数列｛an｝是正项等比数列，若巡是a2和a8的等比中项，则

a1a3a5a7a9的值是

A.5A/5B.25A/5

C.5D.55

【解析】选B.因为b是a?和as的等比中项，

=

所以32e8S5,

又aeg—a3a7—a<-a2*a&-5,a5>0,

所以85—则a1a3a5a7a9=25J耳

2.在等比数列｛an｝中,ai+a2=10,a3+a4=60,则a7+a8=

A.110B.160

C.360D.2160

【解析】选D.设等比数列｛aj的公比为q,

因为a1+a2=10,a3+a4=60,

22

所以q(a1+a2)=10q=60,

解得q2=6.

则a7+a8=q"ai+a2)=10X63=2160.

3.等比数列｛aj中,a“a8是关于x的方程x2+10x+4=0的两个实根，则

a2%aio=

A.8B.-8C.4D.8或-8

【解析】选B.根据题意，等比数列｛an｝中，

有a4a8=a2aio=a

a-as是关于x的方程x2+10x+4=0的两个实根,

则a4a8=4,a4+a8=—10,

2

则a4<0,a8<0,则有a6=a4q<0,

即a6=—2,所以a2a6aio=(a6)，=-8.

藏版镰雨利用性质简化运算

有关等比数列的计算，基本方法是运用方程思想列出基本量a,

和q的方程组,先解出ai和q,然后利用通项公式求解.但有时运算稍繁,

而利用等比数列的性质充分发挥项的“下标”的指导作用可优化解题

过程.

【补偿训练】

1.已知等比数列｛aj的各项均为正数,若1og3ai+1og3a2+-+1og3ai2=12,

则a6a7=

A.1B.3C.6D.9

【解析】选D.因为等比数列｛a#的各项均为正数，且log3a1+log3a2+-

+1og3al2=12,

即Iog3（ai•a2.........ai2）=12,

所以a1•a2•ai2-312,

所以（a6aJ6=3：

所以a6a7=3?=9.

2.在等比数列｛an｝中，a2a3a4=8,a7=32,则a2=

A.-1B.1C.±1D.2

【解析】选C.等比数列｛aj中，a2a3a4=8,

则的3=8,贝Ia3=2,

4

因为a7=32,所以q=—=16,

解得q=±2,

所以a2=±1.

类型二等比中项的实际应用（数学运算、数学建模）

【典例】某工厂2019年1月的生产总值为a万元,计划从2019年2月

起,每月生产总值比上一个月增长m%,那么到2020年8月底该厂的生产

总值为多少万元？

【思路导引】(1)该问题可以转化为等比数列模型吗？

(2)abq分别是多少?要求哪一个量？

【解析】设从2019年1月开始，第n个月该厂的生产总值是a0万元,

则an+i=an+aM%,

所以3七=1+m%.

an

则数列｛aj是首项aFa,公比q=1+m%的等比数列.

所以an=a(1+m%)e.

故2020年8月底该厂的生产总值为

20-1

a20=a(1+m%)=a(1+m%T9万元.

♦解题策略

关于等比数列在应用问题中的应用

首先根据题意判断是否是等比数列模型,其次分析等比数列的首项、公

比、项数,最后利用等比数列的通项公式计算解题.

跟踪训练、

某厂生产电脑，原计划第一季度每月增加台数相同，在生产过程中，

实际上二月份比原计划多生产10台，三月份比原计划多生产25台，这

样三个月产量成等比数列，而第三个月的产量是原计划第一季度总产

量的一半少10台，问该厂第一季度实际生产电脑多少台？

【解析】根据已知，可设该厂第一季度原计划3个月生产电脑台数分别

为x-d,x,x+d,d>0,

则实际上3个月生产电脑台数分别为x-d,x+10,x+d+25,

(x+10)2=(%-d)(%+d+25),

由题意得｛3x

x+d+25=—2-10,

解得x=90,d=10,

故共有(x-d)+(x+10)+(x+d+25)=3x+35=3X90+35=305(台)，

即该厂第一季度实际生产电脑305台.

【拓展延伸】

在应用性问题中，判断是否为等比数列模型的关键是看增长(缩

减)是否按照同一比例.

【拓展训练】

某工厂三年的生产计划是从第二年起每一年比上一年增长的产值都相

同，三年的总产值为300万元.如果第一年、第二年、第三年分别比原

计划产值多10万元、10万元、11万元,那么每一年比上一年的产值增

长的百分数都相同,求原计划每年的产值.

【解析】由题意得，原计划三年中每年的产值组成等差数列，设为

a-d,a,a+d(d>0),

则有(a-d)+a+(a+d)=300,解得a=100.

又由题意知(a-d)+10,a+10,(a+d)+11组成等比数列，所以

(a+10)2=[(a-d)+10][(a+d)+11].

将a=100代入上式，得11()2=Qio—d)(111+d),

即d2+d-110=0.

解得d=10或d=-11（舍去）.

所以原计划三年的产值分别为90万元，100万元，110万元.

【补偿训练】

⑴某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2018年

全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一

年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是

（参考数据:1g1.12^0.05,1g1.3-0.11,1g2为0.30）

A.2020年B.2021年C.2022年D.2023年

【解析】选C.设2018年全年投入研发资金为aFl30,2018年后n年投

入的研发资金为④，则数列｛aj成以为为首项，以1.12为公比的等比数

列，

所以a=130X1,12~，令130X1.12e>200,得n>空电丫+1比

Igi.12

0.30-0.//c

--------H=4.8,

0.05

即当n》5时该公司全年投入的研发资金开始超过200万元.所以2022

年会超过200万元.

⑵已知光线每通过一块特制玻璃板，强度要减弱20%,要使通过玻璃板

的光线强度减弱到原来的工以下，则至少需要重叠玻璃板块数为（参考

4

数据：1g2^0.3010）

A.4B.5C.6D.7

【解析】选D.设经过n块玻璃板后，光线强度为a”

4

则数列｛aj是以-为公比的等比数列，

5

由题意可得，两边同时取对数可得,nig-<-lg4,

\5745

所以n>—21"=21g276贝un-7

21g2Tg5l-3lg2

类型三等比数列和等差数列的综合应用（逻辑推理、数学运算）

角度…L-灵活设项解题—

【典例】三个数成等比数列，其积为64,如果第一个数与第三个数各减

去1,则这三个数成等差数列，求这三个数.

【思路导引】利用等比数列设出前三项,表示出等差数列后求未知数.

【解析】因为三个数成等比数列，

设三个数为:a,aq,则*XaXaq=a564,

qq

4

所以a=4,所以三个数为一,4,4q,

q

4

第一^个数与第三个数各减去1为一1,4,4q-1,

q

则一1+4q_1=8,即2q2-5q+2=0,

q

1

解得q=2或-，

2

所以这三个数为2,4,8或8,4,2.

♦变过探究

本例中的条件若改为“其积为512,如果第一个数与第三个数各减去

2”，试求这三个数.

【解析】设三个数依次为；a,aq,

q

因为巴•a•aq=512,所以a=8.

q

因为(：—2)+(aq-2)=2a,

所以2q-5q+2=0,

1

所以q=2或q=-，

2

所以这三个数为4,8,16或16,8,4.

—角度2…等差「等比数列的性质…一

［典例］已知区｝是等差数列，瓜｝是正项等比数列，且

bi=l,b3=bz+2,bi=a3+&55

b5=a«+2a6,则3,2oi8+b9=

A.2274B,2074C.2226D,2026

【思路导引】分别用等差数列的首项&、公差d、等比数列的公比q

表示出已知条件，求出a1，d,q后求a2oi8+b9.

【解析】选A.设等差数列｛aj的公差为d,正项等比数列｛bj的公比为

q>0,

因为bi—1,63=62+2,bFas+as,bs=a4+2a6,

所以q?=q+2,q3=2ai+6d,qMa^lSd,

解得q=2,ai—d—1,

8

贝Ia20l8+b9=1+2017+2=2274.

◎解题策略巧设等差数列、等比数列

⑴若三数成等差数列，常设成a-d,a,a+d.若三数成等比数列，常设成

a,aq或a,aq,aq；

q

⑵若四个数成等比数列，可设为2a,aq,aq2,若四个正数成等比数列，

q

可设为93aq,aq3.

q3q

题组训练\

1.设公差不为零的等差数列｛aj满足a3=7,Ka-1,a2-l,a,-1成等比数

歹U,则电等于.

【解析】设等差数列｛aj的公差为d,则d彳0,

贝“ai~as-2d—7—2d,a2=a3-d二7-d,

+--

a4-a3d-7+cl,由于ai-1,a21,a41成等比数列，

2

则(a2~1)=(ai-1)(a4-1),

即(6-d)2=(6-2d)(6+d),

化简得d-2d=0,由于d丰0,解得d=2,

因此，a10=a3+7d=7+7X2=21.

答案：21

2.已知数列｛aj是由实数构成的等比数列，a尸2,且aZ-4,a%a」成等差数

列，则｛4｝的公比为.

【解析】因为数列｛aj是由实数构成的等比数列，设公比为q,

ai=2,且a2-4,a3,成等差数列，

所以2a3=(a2-4)+a4,

即2X2q2=2q-4+2q3,

整理，得(q-2)(q2+1)=0,

所以｛aj的公比q=2.

答案：2

3.四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，第一个数与第

四个数之和为16,第二个数与第三个数之和为12,求这四个数.

【解析】设后三个数依次为2a,aq,

q

则第一个数为风a.

q

(--a+aq=16,

由题意得4f

F+a=12,

解得［—「Q或LQ=13,

笛=2\q=-.

所以所求的四个数依次为0,4,8,16或15,9,3,1.

【拓展延伸】

等比数列与等差数列的区别与联系:

等差数列等比数列

(1)强调每一项与前一项的(1)强调每一项与前一项的

差；比；

不同点

⑵ai和d可以为零；(2)④与q均不为零；

(3)等差中项唯一.(3)等比中项不唯一.

(1)都强调每一项与前一项的关系；

相同点(2)公差与公比都必须是常数；

⑶数列都可以由abd或a1,q确定.

(1)若｛an｝为正项等比数歹;J,则数列｛logaan)为等差数列；

联系

(2)｛a,J为等差数列,则数列仍呵为等比数列.

【拓展训练】

数列｛aj的前n项和记为Sn,ai=l,an+i=2Sn+l(n^l).

⑴求｛a0｝的通项公式；

⑵等差数列｛b』的各项为正，其前n项和为T”，且T3=15,又

ai+bi,a2+b2,as+bs成等比数列,求L.

【思路导引】⑴可借助S「SnT=a“(n22)来求出an;

⑵考虑方程的思想求出d,再求I.

【解析】⑴由a*2Sn+1,可得a„(22),

—

两式相减，得an+ian—2an,an+i—3an(n^2).

又因为a2=2S1+1=3,所以a2=3ai.

故｛aj是首项为1,公比为3的等比数列，所以a=3n-1.

⑵设｛bj的公差为d,

由T3=15,得b1+b2+b3=15,可得b2=5,

故可设bi=5-d,b3=5+d.

又a1=1,a?=3,a3=9,

由题意可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2.

解得&=2,d2=-10.

因为等差数列｛bj的各项为正，所以d>0,所以d=2.

▼-n(n-l)

Tn=3n+------X2=n2+2n.

2

【补偿训练】

在等比数列｛a,,）中，a2=3,a5=81.

⑴求an;

（2）设bn=log3an,求数列｛bj的前n项和Sn.

【解析】⑴设｛aj的首项为典公比为q,

依题意d嘿iq4—=38,1,

解得二广

kq=3.

因此,an=3,

⑵因为bn=Iog3an=n-1,

所以数列｛bj的前n项和Sn=竺乜也2二上」.

22

课堂检测-素养达标

1.（教材二次开发：习题改编）对任意等比数列｛③｝,下列说法一定正确

的是

A.aba3,as；成等比数列B,a2,a3,a6成等比数列

C.a2,a4,as成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列

【解析】选D.设等比数列的公比为q,

因为4£2=q3,即其=a3a%

所以a3,a6,ag成等比数列.

2.在等比数列｛aj中，a；5a4a5=3,a^a7a8=24,则agaioSn的值为

A.48B.72C.144D.192

【解析】选D.因为