《数据的分析》复习巩固基础提高知识点讲解及练习题解析

数据的分析一一巩固练习

【巩固练习】

一.选择题

1.（2015•衢州）某班七个兴趣小组人数分别为4,4,5,x,6,6,7.已知这组数据的平

均数是5,则这组数据的中位数是（）

A.7B.6C.5D.4

2.8名学生在一次数学测试中的成绩为80,82,79,69,74,78,X,81,这组成绩的平

均数是77,则x的值为（）.

A.76B.75C.74D.73

3.有8个数的平均数是11,还有12个数的平均数是12,则这20个数的平均数是（）.

A.11.6B.232C.23.2D.11.5

4.某班体育委员记录了第一小组七位同学定点投篮（每人投10次）的情况，投进篮筐的个数

为6,10,5,3,4,8,4,这组数据的中位数和极差分别是（）.

A.4,7B.7,5C.5,7D.3,7

5.一组数据的方差为S2,将这组数据中的每个数都除以2,所得新数据的方差是（）.

A.-s2B.2s2C.-s2D.4/

24

6已知一组数据X………4r的平均数是2,方差是:‘那么另一组数据3V2,

3X2-2,3X3-2,3X4-2,3%—2的平均数和方差分别为（）.

A.2f-B.2,1C.4,—D.4,3

33

二.填空题

7.（2015・安顺）一组数据2,3,x,5,7的平均数是4,则这组数据的众数是.

8.数据1、2、4、4、3、5、1、4、4、3、2、3、4、5,它们的众数是—、中位数是一、

平均数是.

9.给出一组数据：23,22,25,23,27,25,23,则这组数据的中位数是；方差是

（精确到0.1）.

10.在数据一1,0,4,5,8中插入一个数据x,使得该数据组的中位数为3,则》=.

11.某次射击训练中，一小组的成绩如下表所示：

环数6789

人数132

若该小组的平均成绩为7.7环，则成绩为8环的人数为.

12.甲、乙两人比赛射飞镖，两人所得的平均环数相同，其中甲所得环数的方差为13,乙所

得环数如下：2,5,6,9,8,则成绩比较稳定的是.

三.解答题

13.一家公司打算招聘一名英文翻译，对甲、乙两名应试者进行了听、说、读、写的英语水

平测试.他们的各项成绩（百分制）如下:

应试者听说读写

甲85837875

乙73808582

（D如果这家公司想招一名口语能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照3:3:2:2的

比确定，计算两名应试者的平均成绩（百分制）.从他们的成绩看，应该录取谁？

（2）如果这家公司想招一名笔译能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照2:2:3:3的

比确定，计算两名应试者的平均成绩（百分制）.从他们的成绩看，应该录取谁？

14.甲、乙两名学生进行射击练习，两人在相同条件下各射10次，将射击结果作统计分析,

如下表所示：

平均

命中环数5678910众数方差

数

甲命中环数的次

142111762.2

数

乙命中环数的次

12421

数

（1）请你填上表qP乙学目三的相关数据；

（2）根据你所学的统计知识，利用上述某些数据评价甲、乙两人的射击水平.

15.（2015•桐庐）2014年5月某日，浙江省11个城市的空气质量指数（AQI）如图所示:

（1）这11个城市当天的空气质量指数的众数是60；中位数是55:

（2）当（EAQK50时，空气质量为优.若在这11个城市中随机抽取一个，求抽到的城市这

一天空气质量为优的概率；

（3）求杭州、宁波、嘉兴、温州、湖州五个城市当天的空气质量指数的平均数.

【答案与解析】

一.选择题

1.【答案】C；

【解析】•••某班七个兴趣小组人数分别为4,4,5,x,6,6,7.

已知这组数据的平均数是5,

；.x=5X7-4-4-5-6-6-7=3,

这一组数从小到大排列为：3,4,4,5,6,6,7,

.•.这组数据的中位数是：5.故选C.

2.【答案】I）；

80+82+79+69+74+78+X+81

【解析】由题意=77,解得％=73.

8

3.【答案】A；

11x8+12x12

【解析】=11.6

20

4.【答案】C；

【解析】把这组数据按从小到大的顺序排列为3,4,4,5,6,8,10,则中位数为5,极

差为10-3=7.

5.【答案】C；

6.【答案】D；

22

【解析】本题可用公式$2［（万-X）+（X2-X）+..・+（x.一I）?］直接计算.

n

虽然此类题可由方差的定义求得，但这道题可推广为：若玉,々，…，演的平均

数是x,方差为则玉±。，x2+a,•••,x“±。的平均数为x±a,方差不

变；kxl,kx2,­••,代”的平均数为kx,方差为％2s2,因此依］+。，区2+。，

依的平均数为ki+a,方差为二十,这个结论可直接运用到填空题或选择

题.

二.填空题

7.【答案】解：利用平均数的计算公式，得（2+3+X+5+7）=4x5,解得x=3,

则这组数据的众数即出现最多的数为3.故答案为：3.

8.【答案】4；3.5；3.21；

【解析】数据中4出现了5次，出现的次数最多，所以众数是4；把数据重新排列，最

中间的两个数是3和4,所以这组数据的中位数是3.5；这组数据的平均数是

x=-^-（2xl+2x2+3x3+4x5+5x2）=3.21.

9.【答案】232.6；

【解析】先把这组数据按照从小到大的顺序排列，不难发现处于中间的数是23,然后求

出平均数是24,再利用公式『=一［（百一幻2+（々一幻2+•••+（%一幻2］便可

n

求出方差约为2.6.

10.【答案】2；

11.【答案】4；

【解析】设成绩为8环的人数为x,则6+21+8X+18=77,X=4.

1+3+x+2

12.【答案】乙；

【解析】由题意知&■=6,s乙2=6〈与2,则乙的成绩比较稳定.

三.解答题

13•【解析】

解：（1）听、说、读、写的成绩按3:3:2:2的比确定,

85x3+83x3+78x2+75x2

则甲的平均成绩为:=81（分）.

3+3+2+2

73x3+80x3+85x2+82x2

乙的平均成绩为:=79.3（分）.

3+3+2+2

显然甲的成绩比乙高，所以从成绩看，应该录取甲.

(2)听、说、读、写的成绩按照2:2:3:3的比确定，

85x2+83x2+78x3+75x3

则甲的平均成绩为:=79.5（分）.

2+2+3+3

73x2+80x2+85x3+82x3

乙的平均成绩为:=80.7（分）.

2+2+3+3

显然乙的成绩比甲高，所以从成绩看，应该录取乙.

14•【解析】

解：乙命中10环的次数为0；

乙所命中环数的众数为7,其平均数为

-5x14-6x2+7x4+8x2+9x1

x乙=----------------------------=7；

10

故其方差为或=5x[(5-7/+2(6-7『+•.・+(9—7力=1.2.

甲、乙两人射击水平的评价：①从成绩的平均数与众数看，甲与乙的成绩相差不多；②

从成绩的稳定性看，,乙的成绩波动小，比较稳定；③从良好率(成绩在8环

或8环以上)看，甲、乙两人成绩相同；④从优秀率看(成绩在9环及9环以上)看，甲

的成绩比乙的成绩好.

15•【解析】

解：(1)将11个数据按从小到大的顺序排列为:37,42,43,49,52,55,60,60,63,

75,80,

60出现了两次，次数最多，所以众数是60,

第6个数是55,所以中位数是55.

故答案为60,55；

(2)•.,当04AQK50时，空气质量为优，

由图可知，这11个城市中当天的空气质量为优的有4个，

若在这II个城市中随机抽取一个，抽到的城市这一天空气质量为优的概率为工；

11

(3)杭州、宁波、嘉兴、温州、湖州五个城市当天的空气质量指数的平均数为：

(75+63+60+80+52)+5=66.

数据的分析一一知识讲解

【学习目标】

1、了解加权平均数的意义和求法，会求一组数据的平均数，体会用样本平均数估计总体平

均数的思想.

2、了解中位数和众数的意义，掌握它们的求法.进一步理解平均数、中位数和众数所代表

的不同的数据特征.

3、了解极差、方差和标准差的意义及求法，体会它们在刻画数据波动时的不同特征.体会

用样本方差估计总体方差的思想，掌握分析数据的思想和方法.

4、从事收集、整理、描述和分析数据得出结论的统计活动，经历数据处理的基本过程，体

验统计与生活的联系，感受统计在生活和生产中的作用，养成用数据说话的习惯.

【要点梳理】

要点一、算术平均数和加权平均数

一般地，对于〃个数内、%、了3、…X”，我们把▲(玉+/+X3+…叫做这"个数的

n

算术平均数，简称平均数，记作启计算公式为亍=,&+%2+$+…+z)・

n

要点诠释：

平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势.

(1)当一组数据较大时，并且这些数据都在某一常数。附近上、下波动时，一般选用简化

计算公式亍=P+a.其中丁为新数据的平均数，。为取定的接近这组数据的平均数的较

“整”的数.

(2)平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会相应引起

平均数的变动.所以平均数容易受到个别特殊值的影响.

若〃个数玉、马、…的权分别是“、卬2、…、吗，则+々1V2+…+—叫叫做

wt+w2+...+卬“

这〃个数的加权平均数.

要点诠释：

(1)相同数据演的个数叫叫做权，吗越大，表示玉的个数越多，“权”就越重.数据的权

能够反映数据的相对“重要程度”.

(2)加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算.

要点二、中位数和众数

1.中位数

一般地，n个数据按照大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据

的平均数)叫做这组数据的中位数.

要点诠释：

(1)一组数据的中位数是唯一的：一组数据的中位数不一定出现在这组数据中.

(2)由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半.

2.众数

一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数.

要点诠释：

(1)一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个.

(2)众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数.

要点三、平均数、中位数与众数的联系与区别

联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要.

区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，

当一组数据中有个别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数

则较合适.中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各

数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述.

要点四、极差、方差和标准差

1.极差

一组数据中最大数据与最小数据的差，称为极差，极差=最大数据一最小数据.

要点诠释：

极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组数据极差越

小，这组数据就越稳定.

2.方差

方差是各个数据与平均数差的平方的平均数.方差/的计算公式是：

2222

5=-[(%]-x)+(x2-x)+...+U„-x)],其中，又是X1,x,,“入的平均数.

n

要点诠释：

(1)方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数

据的波动越小.

(2)一组数据的每一个数都加上(或减去)同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.

(3)一组数据的每一个数据都变为原来的左倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的公

倍.

3.标准差

方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号s表示，即：

鼠一工+5-王+-+(/-5']；标准差的数量单位与原数据一致.

4.极差、方差和标准差的联系与区别

联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数.

区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组

数据与其平均值的离散程度的大小.方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好.所以

一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差.

要点五、用样本估计总体

在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近

似估计得到总体的平均水平或方差.

要点诠释：

(1)如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样

必须具有尽可能大的代表性.

(2)用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要

考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价.

【典型例题】

类型一、平均数、中位数、众数

▼1,(2015•福州)若一组数据1,2,3,4,X的平均数与中位数相同，则实数X的值不

可能是()

A.0B.2.5C.3D.5

【答案与解析】

解：(1)将这组数据从小到大的顺序排列为1,2,3,4,x,处于中间位置的数是3,

中位数是3,

平均数为(l+2+3+4+x)4-5,

3=(l+2+3+4+x)+5,

解得x=5；符合排列顺序；

(2)将这组数据从小到大的顺序排列后1,2,3,X,4,中位数是3,

此时平均数是(l+2+3+4+x)+5=3,

解得x=5,不符合排列顺序；

(3)将这组数据从小到大的顺序排列后1,X,2,3,4,中位数是2,

平均数(l+2+3+4+x)+5=2,

解得x=0,不符合排列顺序；

(4)将这组数据从小到大的顺序排列后x,1,2,3,4,中位数是2,

平均数(l+2+3+4+x)+5=2,

解得x=0,符合排列顺序；

(5)将这组数据从小到大的顺序排列后1,2,x,3,4,中位数，x,

平均数(1+2+3+4+x)+5=x,

解得x=2.5,符合排列顺序；

・•.x的值为0、2.5或5.

故选C.

【总结升华】考查了确定一组数据的中位数，涉及到分类讨论思想，较难，要明确中位数的

值与大小排列顺序有关，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而解答不完

整.注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数.如果

数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数

举一反三：

【高清课堂数据的分析例8】

【变式】若数据3.2,3.4,3.2,X,3.9,3.7的中位数是3.5,则其众数是，平

均数是.

【答案】3.2；3.5；

解：由题意一^―=3.5,x=3.6,所以众数是3.2,平均数是3.5.

Cz、某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各

项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用.三位候选人的各项测试成绩如下表所示：

测试成绩

测试项目

甲乙丙

教学能力857373

科研能力707165

组织能力647284

(1)如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由:

(2)根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5:3:2的比例确定每

人的成绩，谁将被录用，说明理由.

【思路点拨】(1)运用求平均数公式,(玉+々+/+…+七,)即可求出三人的平均成绩，比较

n

得出结果；(2)将三人的成绩按比例求出测试成绩，比较得出结果.

【答案与解析】

解：⑴甲的平均成绩为：(85+70+64)+3=73,

乙的平均成绩为：(73+71+72)+3=72,

丙的平均成绩为：(73+65+84)+3=74,

.••丙将被录用.

(2)甲的测试成绩为：(85X5+70X3+64X2)+(5+3+2)=76.3,

乙的测试成绩为：(73X5+71X3+72X2)4-(5+3+2)=72.2,

丙的测试成绩为：(73X5+65X3+84X2)+(5+3+2)=72.8,

，甲将被录用.

【总结升华】5、3、2即各个数据的“权”，反映了各个数据在这组数据中的重要程度，按

加权平均数来录用.

举一反三：

【高清课堂数据的分析例10】

【变式】小王在八年级第一学期的数学成绩分别为：测验一得89分，测验二得78分，测验

三得85分，期中考试得90分，期末考试得87分，如果按照平时、期中、期末的

10%、30%、60%量分，那么小王该学期的总评成绩应该为多少？

【答案】

_OQIIOC

解：小王平时测试的平均成绩%=里匚匕^=84(分).

3

,84xl0%+90x30%+87x60%皿，，八、

所以---------------------------------=87.6(分).

10%+30%+60%

答：小王该学期的总评成绩应该为87.6分.

【高清课堂数据的分析例11】

C3,下表是七年级(2)班30名学生期中考试数学成绩表(已破损).

成绩(分)5060708090100

人数(人)2573

己知该班学生期中考试数学成绩平均分是76分.

(1)求该班80分和90分的人数分别是多少？

(2)设此班30名学生成绩的众数为a,中位数为力，求a+力的值.

【答案与解析】

解：(1)设该班得80分的有x人，得90分的有y人.

根据题意和平均数的定义，得

2+5+7+x+y+3=30,

76x30=50x2+60x5+70x7+80x+90y+100x3,

x+y=13,x=8,

整理得《解得

8x+9y=109,」=5.

即该班得80分的有8人，得90分的有5人.

（2）因为80分出现8次且出现次数最多.所以a=80,第15、16两个数均为80分，所

以。=80,则a+Z?=80+80=160.

【总结升华】本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义.解题的关键是准确理解题

意，建立等量关系.

举一反三：

【变式】某教师为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班50名学生每人一周内的零

花钱数额进行了调查统计，并绘制了统计图表如图所示的统计图.

零花钱数额（元）5101520

学生个数（个）a15205

（1）求。的值；

（2）求这50名学生每人一周内的零花钱额的众数和平均数.

【答案】

解：（1）a=50-15-20-5=10.

（2）众数是15.

平均数为」-（5X10+10X15+15X20+20X5）=12.

50

类型二、极差、方差和标准差

Cd、（2015•徐州）某中学开展"唱红歌"比赛活动，九年级（1）、（2）班根据初赛成绩,

各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩如图所示.

T钿□I

100九（1）九（2）

90

80

70■I

60

0

I1234M2>L诜羊编卷

（1）根据图示填写下表；

班级平均数（分）中位数（分）众数（分）

九⑴85

九(2)85100

(2)结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好；

(3)计算两班复赛成绩的方差.

【思路点拨】(1)观察图分别写出九(1)班和九(2)班5名选手的复赛成绩，然后根据中

位数的定义和平均数的求法以及众数的定义求解即可；

(2)在平均数相同的情况下，中位数高的成绩较好；

222

(3)根据方差公式计算即可：s=l[(xi-x)+(X2-W)2+...+(Xn-x)](可简单记忆

n

为"等于差方的平均数")

【答案与解析】解：(1)由图可知九(1)班5名选手的复赛成绩为：75、80、85、85、100,

九(2)班5名选手的复赛成绩为：70、100、100、75、80,

.•.九(1)的平均数为(75+80+85+85+100)+5=85,

九(1)的中位数为85,

九(1)的众数为85,

把九(2)的成绩按从小到大的顺序排列为：70、75、80、100、100,

九(2)班的中位数是80；

班级平均数(分)中位数(分)众数(分)

九⑴858585

九(2)8580100

(2)九(1)班成绩好些.因为九(1)班的中位数高，所以九(1)班成绩好些.(回答合

理即可给分)

(3)

2(75-85)2+(80-85)2+(85-85)2+(85-85)2+(100-85)2

率-------------------------------------5-------------------------------=7°'

2(70-85)2+(100-85)2+(100-85)2+(75-85)2+(80-85)2

s2=---------------------------------E-------------------------------=160

/5

【总结升华】本题考查了中位数、众数以及平均数的求法，同时也考查了方差公式，解题的

关键是牢记定义并能熟练运用公式.

举一反三：

【高清课堂数据的分析例12]

【变式】某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次

测试成绩中随机抽取8次，数据如下(单位：分)

甲9582888193798478

乙8375808090859295

(1)请你计算这两组数据的平均数、中位数;

(2)现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人

参加合适?请说明理由.

【答案】

-1

解：x甲=—(95+82+88+81+93+79+84+78)=85(分),

8

一1