2022届新疆阿克苏地区库车县高考仿真模拟数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角〃条形码粘贴处〃o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3,非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于2的偶数

可以表示为两个素数的和“（注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不

超过15的素数中，随机选取2个不同的素数“、b,则|。一4<3的概率是（）

1412

A.-B.——C.-D.-

51535

x+2y-5<0

2x+.y-4<0

2,若实数x,y满足条件,目标函数z=2x—y,则z的最大值为（）

尤20

.”1

5

A.-C.2D.0

2

（171\[17T]

3.关于函数/（x）=4sin不X+5+4cos-x+-,有下述三个结论:

7T

①函数/（X）的一个周期为二；

2

TT

②函数/（X）在上单调递增；

24

③函数/*)的值域为[4,4&].

其中所有正确结论的编号是()

A.①②B.②C.②③D.③

4.已知向量汗=(1,2),5=(2,—2),c=(2,-l),若到2万+5),则4=()

1I

A.-2B.-1C.——D.-

22

5.抛物线。：丁2=2内5>0）的焦点为尸，点A（6,%）是。上一点，\AF\^2p,贝（）

A.8B.4C.2D.1

6.对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：(0.675,-0.989),(1.102,-0.010),(2.899,1.024),

(9.101,2.978),下列函数模型中拟合较好的是()

2

A.y=3xB.y-3'C.y=-(x-l)D.y=log3x

7.已知函数〃x)=gsinx+更cosx，将函数的图象向左平移皿机＞。)个单位长度后，所得到的图象关于)'轴

对称，则加的最小值是()

71兀…冗71

A.—B.—C.—D.一

6432

8.很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马

大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果

它是奇数，则将它乘以3再加1：如果它是偶数，则将它除以2；如此循环，最终都能够得到1.下图为研究“角谷猜想”

的一个程序框图.若输入〃的值为1(),则输出i的值为()

A.5B.6C.7D.8

9.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“.•“和阴

爻，，------，，.如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦至少有2个阳爻的概率是()

7

64

10.在平面直角坐标系中，经过点P（2血，-痣），渐近线方程为〉=±衣:的双曲线的标准方程为（）

22222222

Ar尸1R广1「X>1nV厂1

A.------=1B.-------=1C.-------=1D.-------=1

4271436147

11.设集合佳=卜*一“一2>01B={x|log2x<2},则集合（金4加3=

A.{x|-l〈xW2}B.{x［0<x<2}C.{x［0<x〈4}D.{%j-l<x<4}

12.已知函数f（x）=胆若关于x的方程/（x）-〃/+1=0恰好有3个不相等的实数根，则实数〃？的取值范

围为（

。・哆+D

C.(1,—+1)

e

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知关于x的方程a|sinx|+J=sinx在区间［0,2%］上恰有两个解，则实数。的取值范围是

14.已知/；/公=〃，则2（X+D"展开式/的系数为.

15.已知数列{4}为正项等比数列，a3a6a9=27，则aiaw+。6a2+的最小值为.

16.函数/"）=4cosssin（5-f）+应3>0）的最大值与最小正周期相同，则./'（%）在［—1,1］上的单调递增区间为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知平行于x轴的动直线/交抛物线C：;/=4x于点P,点尸为C的焦点.圆

心不在y轴上的圆M与直线/,PF,x轴都相切，设M的轨迹为曲线E.

（1）求曲线E的方程；

（2）若直线（与曲线E相切于点Q（s"）,过。且垂直于4的直线为乙，直线4，4分别与y轴相交于点A,A当线

段A5的长度最小时，求s的值.

—+ax—3

18.(12分)已知函数f(x)=xlnx,g(x)=-----------

(1)求f(x)的最小值；

(2)对任意不£(0,+8),/(%)2g(x)都有恒成立，求实数a的取值范围；

12

(3)证明：对一切xe(0,+oo),都有lnx>二一—成立.

eex

19.(12分)如图，点T为圆。：/+y2=i上一动点，过点T分别作X轴，y轴的垂线，垂足分别为A,B,连接

84延长至点P,使得丽=而，点。的轨迹记为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)若点A，B分别位于x轴与)'轴的正半轴上，直线与曲线C相交于M，N两点,且|A8|=1,试问在曲线

C上是否存在点Q,使得四边形OMQN为平行四边形，若存在，求出直线/方程；若不存在，说明理由.

20.(12分)已知函数/(x)=2|x-l|+，nr,meR.

(1)当加=—3时，求不等式/(x)+4<0的解集；

(2)若函数/(x)的图象与x轴恰好围成一个直角三角形，求”的值.

21.(12分)在AABC中，ZB=-,cosC=—.

43

(1)求cosA的值；

(2)点。为边8C上的动点(不与。点重合)，设A0=；IDC,求2的取值范围.

22.(10分)已知｛a,,｝是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5=45,a2+a6=l.

(I)求｛a,J的通项公式；

bbb

(U)若数列｛bn｝满足：寸+…+0=a“+15wN*),求｛bn｝的前n项和.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

先列举出不超过15的素数，并列举出所有的基本事件以及事件“在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数。、b,

满足k一4<3”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】

不超过15的素数有：2、3、5、7、11、13,

在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数，所有的基本事件有：（2,3）、（2,5）、（2,7）、/（%,）-/（%2）,（2,13）,

（3,5）、（3,7）、（3,11）、（3,13）、（5,7）、（5,11）、（5,13）、（7,11）、（7,13）、（11,13）,共15种情况，

其中，事件“在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数b,且|。一目<3”包含的基本事件有：（2,3）、（3,5）、

（5,7）、（11,13）,共4种情况，

4

因此，所求事件的概率为P=百.

故选：B.

【点睛】

本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.

2.C

【解析】

画出可行域和目标函数，根据平移得到最大值.

【详解】

x+2y—540

2x+y-4<0

若实数x,y满足条件八，目标函数z=2x-y

x>0

.”1

如图:

当X=。,y=1时函数取最大值为2

故答案选C

【点睛】

求线性目标函数z=«x+切（。。00）的最值:

当〃>o时，直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最大，在y轴截距最小时，z值最小;

当〃<o时，直线过可行域且在》轴上截距最大时,二值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.

3.C

【解析】

JT34171言，箸'/（x）=40s喂x+图,再利用单调性

①用周期函数的定义验证.②当xe时,—x+—e

23

判断.③根据平移变换，函数/（幻=；1R

4sinx+5+4cos—X4--的值域等价于函数

23

的值域，而当万]时，171

g(x)=4sin+4cosgxg(x+»)=g(x),xw[0,g(x)=40ssiin-X-\——再求值域.

223

【详解】

因为4s住x+=74卜4cos（品+雪、1、

Hi=4cos-x+—+4sin|：x+£f(x),故①错误;

221212J212

•n37r,171In17兀/；b,171\AI\171t171

当代2U时'—X+——£，所以/(x)=4sin[5x+§J—4cos+§=4V2sin|—x+—

23122423212

\TT711\\71T7C134万

--V+—e所以f（x）在上单调递增，故②正确

32424

171fl71的值域等价于函数g（x）=4singx+4COS11A-的值域，易知

函数/(x)=4sin—x+—+4cos—X4--

23(232

g(x+i)=g(x),故当xe[0,4]时，g(x)=40sin[4,4及],故③正确.

[32+35J

故选：c.

【点睛】

本题考查三角函数的性质，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于中档题.

4.A

【解析】

根据向量坐标运算求得2a+b＞由平行关系构造方程可求得结果.

【详解】

•.也=（1,2）,6=（2,-2）.-.25+^=（4,2）

•.•工〃（2万+5）2A=-4,解得：A=-2

故选：A

【点睛】

本题考查根据向量平行关系求解参数值的问题，涉及到平面向量的坐标运算；关键是明确若两向量平行，则

不%一马弘=0・

5.B

【解析】

根据抛物线定义得|4尸|=6+5，即可解得结果.

【详解】

因为|AF|=2〃=6+5,所以p=4.

故选B

【点睛】

本题考查抛物线定义，考查基本分析求解能力，属基础题.

6.D

【解析】

作出四个函数的图象及给出的四个点，观察这四个点在靠近哪个曲线.

【详解】

如图，作出A,B,C,D中四个函数图象，同时描出题中的四个点，它们在曲线y=log3》的两侧，与其他三个曲线

都离得很远，因此D是正确选项，

故选：D.

【点睛】

本题考查回归分析，拟合曲线包含或靠近样本数据的点越多，说明拟合效果好.

7.A

【解析】

化简〃x）=gsiiu+¥cosx为/（X）=sin[x+。],求出它的图象向左平移，必〃>0）个单位长度后的图象的函数表

达式y=sin[x+m+g],利用所得到的图象关于N轴对称列方程即可求得加=看+版"仅Gz）,问题得解。

【详解】

函数"X）=；siar+^^cosx可化为：f（x）=sin]x+qj,

将函数/（x）的图象向左平移0）个单位长度后，

得到函数y=sin（x+优+yj的图象，又所得到的图象关于）'轴对称，

所以sin（0+"2+?）=±1,解得:〃2+m=]+2万（女wz）,即：m=

—+k7V（kGz）,

71

又加>0,所以加min=—.

6

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了两角和的正弦公式及三角函数图象的平移、性质等知识,考查转化能力，属于中档题。

8.B

【解析】

根据程序框图列举出程序的每一步，即可得出输出结果.

【详解】

输入〃=10,〃=1不成立，〃是偶数成立，贝!]〃=—=5,Z=0+l=1；

2

”=1不成立，〃是偶数不成立，贝!|〃=3x5+l=16,i=l+l=2；

1A

”=1不成立，〃是偶数成立，则〃=—=8,i=2+1=3；

2

8

"=1不成立，〃是偶数成立，则〃=—=4,z=3+1=4；

2

4

“=1不成立，〃是偶数成立，则〃=—=2,i=4+l=5；

2

2

“=1不成立，〃是偶数成立，则〃=二=1,i=5+l=6；

2

〃=1成立，跳出循环，输出i的值为6.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题.

9.C

【解析】

利用组合的方法求所求的事件的对立事件，即该重卦没有阳爻或只有1个阳爻的概率，再根据两对立事件的概率和为1

求解即可.

【详解】

设“该重卦至少有2个阳爻”为事件A.所有“重卦”共有26种；“该重卦至少有2个阳爻”的对立事件X是“该重卦没有阳

爻或只有1个阳爻”,其中，没有阳爻（即6个全部是阴爻）的情况有1种，只有1个阳爻的情况有C：=6种，故

_1+67757

P(A)=-=—，所以该重卦至少有2个阳爻的概率是P(A)=1-P(A)=1--=—

26646464

故选：C

【点睛】

本题主要考查了对立事件概率和为1的方法求解事件概率的方法.属于基础题.

10.B

【解析】

根据所求双曲线的渐近线方程为y=±&x,可设所求双曲线的标准方程为2x2-y2=k.再把点（2&,-血）代入,

求得k的值，可得要求的双曲线的方程.

【详解】

•.•双曲线的渐近线方程为y=±0x,.•.设所求双曲线的标准方程为2x?-y2=k.又（2夜,-&）在双曲线上，则

22

k=16-2=14,即双曲线的方程为2x2-y2=以.•.双曲线的标准方程为二―E=1

714

故选：B

【点睛】

本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程，双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题.

11.

【解析】

先求出集合A和它的补集，然后求得集合8的解集，最后取它们的交集得出结果.

【详解】

对于集合A,(x-2)(x+l)>0,解得x<T或x>2,故CRA=[T,2].对于集合%叫2842=噢24,解得0<%<4.

故（。4）八3=（0,2卜故选B.

【点睛】

本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查集合的补集和交集的运算.对于有两个根的一元

二次不等式的解法是：先将二次项系数化为正数，且不等号的另一边化为0,然后通过因式分解，求得对应的一元二

次方程的两个根，再利用“大于在两边，小于在中间”来求得一元二次不等式的解集.

12.D

【解析】

讨论x>0,x=0,尤<（）三种情况，求导得到单调区间，画出函数图像，根据图像得到答案.

【详解】

当x>。时,/⑴邛，故八幻=公,函数在（o,；）上单调递增，在g,+8|上单调递减，且了:上

2

当x=0时，/（0）=0；

/l—2x

当x<0时，/（用=丫9，/'U）=-^=^<0,函数单调递减;

（1，故m€(],•立

如图所示画出函数图像，则1</'一

\22e

故选：D.

【点睛】

本题考查了利用导数求函数的零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.

22

【解析】

先换元，令。=豆11%,将原方程转化为。卜|+；=乙利用参变分离法转化为研究两函数的图像交点，观察图像，即可

求出.

【详解】

因为关于X的方程a|sinXI+；=sinX在区间［0,2洲上恰有两个解，令f=sinx,所以方程a+g=，在

「1

,12

I---------0<r<l

/G(-I,O)U(O,I)上只有一解，即有。=邛/=,'9

-l<z<0

.-/

直线y=gy=1在1€(-1,0)11(0,1)的图像有一个交点，

综上实数。的取值范围是(-工3」1).

22

【点睛】

本题主要考查学生运用转化与化归思想的能力，方程有解问题转化成两函数的图像有交点问题，是常见的转化方式.

14.-8

【解析】

先根据定积分求出〃的值，再用二项展开式公式即可求解.

【详解】

-X24=4

4

所以〃=4

(x+1)4的通项公式为=Qx1〜.父=

4rr22

当r=2时，T3=C；xl--x=C^x=6x

33

当r=3时，T4=C^X=4X

故—2](x+1)M展开式中x2的系数为4+(-2)x6=-8

故答案为：-8

【点睛】

此题考查定积分公式，二项展开式公式等知识点，属于简单题目.

15.27

【解析】

利用等比数列的性质求得4,结合其下标和性质和均值不等式即可容易求得.

【详解】

由等比数列的性质可知。6=3,则师0=9,

里

Wio+a+。6%0=9+34+3a(o>9+6A/o2a10=9+6a6=27.

当且仅当外=4。=3时取得最小值.

故答案为：27.

【点睛】

本题考查等比数列的下标和性质，涉及均值不等式求和的最小值，属综合基础题.

r131

16.——

44

【解析】

利用三角函数的辅助角公式进行化简，求出函数的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可.

【详解】

V/(%)=4cossincox-coscox')+\［2

=2&sinCDXCOScox-2夜cos2cox+^l

=V2sin2cox-V2cos2CDX

jr

=2sin(269X--),

则函数的最大值为2,周期7=弃=出，

•・•/(X)的最大值与最小正周期相同，

.•--=2,得“=

CD2

7T

则/(x)=2sin(万x),

4

当-1融1时，-射制TX-2—,

444

则当—2领巳工时，得-",

24244

即函数/(x)在［T,11上的单调递增区间为一,三，

44

13

故答案为：［-■.

44

【点睛】

本题考查三角函数的性质、单调区间，利用辅助角公式求出函数的解析式是解决本题的关键，同时要注意单调区间为

定义域的一个子区间.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)y2=i,(y/O)(2)19；产.

【解析】

(1)根据题意设"(〃?,")，可得PF的方程2〃(x-l)—y(/-1)=0,根据距离即可求出；

⑵点。处的切线4的斜率存在，由对称性不妨设/>(),根据导数的几何意义和斜率公式，求并构造函数，利

用导数求出函数的最值.

【详解】

(1)因为抛物线C的方程为V=4x,所以尸的坐标为(1,0),

设M(〃z,〃)，因为圆M与x轴、直线/都相切，/平行于x轴，

所以圆M的半径为同，点P(/,2〃)，

2

则直线PF的方程为上=与1，即2n(x-l)-y(n-1)=0,

\2n(m—l)—n(n2-1)1

所以।)二|〃|,又如力0,

J(2〃)2+(“2—1)211

所以12AM-〃2_1=〃2+L即以-m+l=0,

所以E的方程为y2=x—i,(y/0),

(2)设+A(O,y),8((),必)，

由(1)知，点。处的切线4的斜率存在，由对称性不妨设/>0,

由力/T'所以—1=动：1.1$“=m=-2叼^7,

t1.

所以X=5—五，%=2r+3/,

所以|AB|=2/+3/-：+；=2尸+/+；,r>o.

令/(，)=2/+,/+3，/>0,

51_12?+5?-1

则/《)=6/

+2一系二一旷

由.尸(。>0得

24

/、

所以在区间0,、厂5；尸单调递减，在

,+8单调递增,

77

二5+/时,/⑺取得极小值也是最小值，即AB取得最小值

所以当/=

24

山叶2,19+历

此时S=f+1=-------.

24

【点睛】

本题考查了直线和抛物线的位置关系，以及利用导数求函数最值的关系，考查了运算能力和转化能力，属于难题.

18.(1)--(2)(-℃,4](3)见证明

e

【解析】

(D先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律确定函数单调性，最后根据函数单调性确定最小

值取法；(2)先分离不等式，转化为对应函数最值问题，利用导数求对应函数最值即得结果；(3)构造两个函数，再

利用两函数最值关系进行证明.

【详解】

(1)f'(x)=\nx+l=0x=—

e

当xw(0」)时，/'(x)<0,/(x)单调递减，当大€(」,+8)时，/'(x)>0,/(x)单调递增，所以函数f(x)的最小值

ee

牝1、1

为f(—)=—;

ee

(2)因为x>0,所以问题等价于a<2"3+七+3=01K+x+3在xe(0,+。。)上恒成立，

XX

3

记f(x)=21nx+x+二，则々<口(％)]“2，

因为(x)=：+l—:①芈口，

令/'（X）=0得％=iWlx=—3舍,

・・・尤£(0,1)时«尤)<0,函数f(x)在(0,1)上单调递减;

•.子€（1,”）时，（力＞0,函数1^）在（1,+oo）上单调递增;

••・上（力]血='（1）=4•即a”,

即实数a的取值范围为（-8,4].

v*2

(3)问题等价于证明xlnx——,xe(0,+oo).

ee

由（1）知道/（x）=xln出最小值/[/=一丁

设族（力=二7-2,XW（0,+oO）则“（X）=L^,令“（x）=0得x=l,

门«0,1）时“（力＞0,函数0（力在（0,1）上单调递增；

%«1,400）时“（力＜0,函数0（%）在（1,+00）上单调递减；

所以｛0（x）Lax=。⑴=-1，

1x22

因此xlnxN--之彳-一，因为两个等号不能同时取得，所以jdiu＞xW—-,

eeeee

I2

即对一切xe（O,4w）,都有欣＞三一一成立.

【点睛】

对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端

是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离

参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.

19.（1）三+：/=1（2）不存在；详见解析

【解析】

（1）设T（Xo，%）,P（x,y）,通过丽=衣，即A为的中点，转化求解，点P的轨迹C的方程.

（2）设直线/的方程为y=先根据|AB|=1,可得%+/=],①，再根据韦达定理，点在椭圆上可得

4/=4公+1,②，将①代入②可得4K+42+1=0,该方程无解，问题得以解决

【详解】

⑴设P（x,y）,T则4（%,0）,3（0,%）,

由题意知丽=而，所以A为心中点,

X

Xo=2

由中点坐标公式得

o=A±Z

2

又点T在圆O：f+>2=]上，故满足％2+为2=1,得工+y2=l.

4

2

二曲线C的方程r工+9=1.

4

（2）由题意知直线/的斜率存在且不为零，设直线/的方程为了=丘+乙

因为|/3|=|0刀=1,故+*=1,即％+『=i①,

y-kx+t

2

联立x2,，消去丁得：（4公+1)x+8to+4(r-l)=0,

一+y=1

14

设、（不乂）,N（W，M）,

8kt4,T)

玉+工2=

4氏2+1'k24公+1

1（\c/曲）c2，

因为四边形OMQN为平行四边形，故。（-*二