高考数学 热点专题复习热点八 空间几何 文科试题

热点八空间几何【考点精要】考点一.棱锥、棱台中的高、斜高。在正棱锥、棱台中利用几个直角三角形（高、斜高以及底面边心距组成的直角三角形，高、侧棱与底面外接圆半径组成一个直角三角形等）进行相关的计算。（1）高、斜高、底面边心距组成的直角三角形；（2）侧棱、斜高、底面棱长的一半组成的直角三角形；（3）底面上的边心距、底面外接圆半径、底面棱长的一半组成的直角三角形.（4）高、侧棱、底面外接圆半径组成的直角三角形.进一步关注的是：侧棱与底面所成角、侧面与底面所成二面角的平面角都体现在这些直角三角形中.考点二.斜二测画法的相关计算。重点考查直观图的顶点与其他关键点，计算时尽量把顶点或其他关键点放在轴上或与轴平行的直线上。考点三.三视图及相关面积、体积的计算。注意掌握三视图之间的规律：正俯长相同、正侧高平齐，俯侧宽相同。考点四.柱体、锥体、台体的侧面积、表面积、体积的运算，简单组合体的体积及面积的计算。注意运用割补法、等体积转化法求解相关体积。考点五.空间中点、线、面的位置关系以及直线、平面平行的判定与性质。近几年来加强了线面之间的距离、异面直线间的夹角、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直、线线垂直、线面角的考查。考点六.运用坐标法求空间中两点之间的距离以及点关于平面对称点的坐标。巧点妙拨1.垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系：（1）平行转化：线线平行线面平行面面平行（2）垂直转化：线线垂直线面垂直面面垂直每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的.2.求异面直线的距离，有时较难作出它们的公垂线，故通常采用化归思想，转化为求线面距、面面距、或由最值法求得.【典题对应】例1.(2014·山东文13)一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为。命题意图：几何体的侧面积。解析：设六棱锥的高为h，斜高为h′,则由体积∴侧面积为.答案：12.AFCAFCDBPE例2.(2014·山东文18)如图，四棱锥中，分别为线段的中点.（Ｉ）求证：；（II）求证：.命题意图：本题考查线面平行，线面垂直。解析：（Ⅰ）连接AC交BE于点O，连接OF,不妨设AB=BC=1,则AD=2∵AB=BC,AD∥BC,∴四边形ABCE为菱形∵O,F分别为AC,PC中点，∴OF∥AP又∵OF平面BEF,∴AP∥平面BEF（Ⅱ）∵AP⊥平面PCD,CD平面PCD,∴AP⊥CD∵BC∥ED,BC=ED,∴BCDE为平行四边形，∴BE∥CD,∴BE⊥PA又∵ABCE为菱形，∴BE⊥AC又∵PA∩AC=A,PA、AC平面PAC,∴BE⊥平面PAC.名师坐堂：平行四边形、菱形、矩形、正方形的相关性质要熟记，这对于研究线线平行与垂直作用甚大。例3.(2013·山东文4)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如下图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是().A.，8B.，C.，D.8,8命题意图：本题主要考查三视图以及椎体的侧面积、体积。解析：由正(主)视图数据可知正四棱锥的底面是边长为2的正方形，高也是2，如图：由图可知PO＝2，OE＝1，所以PE＝，所以V＝×4×2＝，S＝.答案：B名师坐堂：能将三视图还原成几何图型，注意：球的三视图总是三个全等的圆；正方体的三视图未必总是三个全等的正方形；水平放置的正四面体的三视图未必都是正三角形；水平放置的圆台的俯视图未必是一个圆。例4.(2013·山东文19)如图，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点.(1)求证：CE∥平面PAD；(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.命题意图：本题主要考查几何体中的线面平行、面面垂直，考查学生对线面平行、线面垂直、面面垂直、面面平行等的性质定理与判定定理的区别与应用。(1)证法一：取PA的中点H，连接EH，DH.因为E为PB的中点，所以EH∥AB，EH＝.又AB∥CD，CD＝，所以EH∥CD，EH＝CD.因此四边形DCEH是平行四边形，所以CE∥DH.又DH平面PAD，CE平面PAD，因此CE∥平面PAD.证法二：连接CF.因为F为AB的中点，所以AF＝.又CD＝，所以AF＝CD.又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形.因此CF∥AD.又CF平面PAD，所以CF∥平面PAD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.又EF平面PAD，所以EF∥平面PAD.因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.又CE平面CEF，所以CE∥平面PAD.(2)证明：因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.又AB⊥PA，所以AB⊥EF.同理可证AB⊥FG.又EF∩FG＝F，EF平面EFG，FG平面EFG，因此AB⊥平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD.又AB∥CD，所以MN∥AB.因此MN⊥平面EFG.又MN平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.名师坐堂：1.直线与平面平行的主要判定方法：(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质；2.平面与平面平行的主要判定方法：(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)，⇒；3.证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义：与内任何直线都垂直⇒；(2)判定定理1：；(3)判定定理2：，，则；(4)面面平行的性质：，⇒；(5)面面垂直的性质：，，，，则；4.证明线线垂直的方法：(1)定义：两条直线所成的角为90°；(2)平面几何中证明线线垂直的方法；(3)线面垂直的性质；(4)线面垂直的性质；5.证明面面垂直的方法：(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理.例5.(2012·山东13)如图，正方体的棱长为1，为线段上的一点，则三棱锥的体积为.命题意图：本题考查几何体的体积，考查学生的转化能力。解析：以△为底面，则易知三棱锥的高为1，故.名师坐堂：面积、体积的计算既需要学生有扎实的基础知识，又要用到一些重要的思想方法。因此要熟练掌握以下几种常用的思想方法：1、还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法。2、割补法：求不规则图形面积或几何体体积时常用。3、等体积变换法：充分利用三棱锥的任意一个面都可以作为底面的特点，灵活求解三棱锥的体积。4、截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合体问题，常画出轴截面进行分析求解。例6.(2012·山东19)如图，几何体是四棱锥，△为正三角形，.(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)若∠，为线段AE的中点，求证：∥平面.命题意图：本题主要考查几何体中的线线关系以及线面平行的判定。解析：(I)设中点为O，连接OC，OE，则由知，，又已知，所以平面OCE.所以，即OE是BD的垂直平分线，所以.(II)取AB中点，连接，∵是AE的中点，∴∥，∵△是等边三角形，∴.由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即，所以ND∥BC，所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC.名师坐堂：证明线面平行的方法：1、依定义采用反证法。2、判定定理法（线//线线//面）。在解题过程中要依据条件灵活地做出辅助线和辅助面。辅助线与辅助面不能随意作，要有理论依据。辅助线与辅助面有什么性质，一定要以某一性质为依据，绝不能主观臆想，以免出错。【命题趋向】从近几年的高考试题看，1.经常考查三视图、直观图及其应用，与三视图相结合，考查几何体的表面积、体积；2.几何体中的线面关系：（1）考查点、线、面的位置关系，考查逻辑推理能力与空间想象能力；（2）考查公理、定理的应用，证明点共线、线共点、线共面的问题；（3）运用公理、定理和结论证明或判断一些空间图形的位置关系.【直击高考】1.一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是() ().2.给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，为真命题的是() A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④3.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为() ().A.πa2 B.eq\f(7,3)πa2 C.eq\f(11,3)πa2 D.5πa24.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，AC∩EF＝G.现在沿AE、EF、FA把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为P，则在四面体P－AEF中必有() A.AP⊥△PEF所在平面B.AG⊥△PEF所在平面C.EP⊥△AEF所在平面D.PG⊥△AEF所在平面5.如右图，某几何体的主（正）视图与左（侧）视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是() 6.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝eq\r(2)，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是________.ABCDEFP7.在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD.ABCDEFP（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：平面PAB⊥平面PCD.8.三棱锥,底面为边长为的正三角形，平面平面，,为上一点，，为底面三角形中心.（Ⅰ）求证：∥面；PDCBPDCBAO（Ⅲ）求平面截三棱锥所得的较大几何体的体积.9.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB.(1)求证：CE⊥平面PAD；(2)若PA＝AB＝1，AD＝3，CD＝eq\r(2)，∠CDA＝45°，求四棱锥P-ABCD的体积.10.如图，已知矩形所在平面与矩形所在平面垂直，，=1，，是线段的中点.（1）求证：平面；（2）求多面体的表面积；（3）求多面体的体积.

热点八空间几何【直击高考】1.解析：由于C选项不符合三视图中“宽相等”的要求，故选C.2.解析:①错,②正确,③错,④正确.故选D3.解析：由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，设O、O1分别为下、上底面中心，且球心O2为O1O的中点，又AD＝eq\f(\r(3),2)a，AO＝eq\f(\r(3),3)a，OO2＝eq\f(a,2)，设球的半径为R，则R2＝AOeq\o\al(2,2)＝eq\f(1,3)a2＋eq\f(1,4)a2＝eq\f(7,12)a2.∴S球＝4πR2＝4π×eq\f(7,12)a2＝eq\f(7,3)πa2.答案B4.解析：在折叠过程中，AB⊥BE，AD⊥DF保持不变.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AP⊥PE,AP⊥PF,PE∩PF＝P))⇒AP⊥面PEF.答案A5.解析：该几何体是棱长为1的正方体被对角面截得的一半,故选A.6.解析：将△BCC1沿BC1线折到面A1C1B上，如图.连结A1Q即为CP＋PA1的最小值，过点Q作QD⊥A1C1交延长线于D点，△BQC1为等腰直角三角形，所以QD＝1，C1D＝1，A1D＝A1C1＋C1D＝7.所以A1Q＝eq\r(A1D2＋QD2)＝eq\r(49＋1)＝5eq\r(2).答案5eq\r(2)7.解析：（1）证明：连结，则是的中点，为的中点，故在△中，，且平面，平面，∴∥平面（2）证明：因为平面⊥平面，平面∩平面=，又，所以，⊥平面，∴又，所以△是等腰直角三角形，且，即PDCBAOEFPDCBAOEF又平面，所以平面平面.8.证明：（Ⅰ）连结并延长交于点，连结、.为正三角形的中心，∴,又，∴∥,平面，平面∴∥面.（Ⅱ）,且为中点,∴,又平面平面，∴平面.由（Ⅰ）知，∥，∴平面,∴，连结,则,又,∴平面,∴.（Ⅲ）连结并延长交于点,连结,则面将三棱锥截成三棱锥和四棱锥两个几何体..∴所截较大部分几何体的体积为.9.解析：(1)证明因为PA⊥平面ABCD，CE⊂平面ABCD，所以PA⊥CE.因为AB⊥AD，CE∥AB，所以CE⊥AD.又PA∩AD＝A，所以CE⊥平面PAD.(2)由(1)可知CE⊥AD.在Rt△ECD中，DE＝CD·cos45°＝1，CE＝CD·sin45°＝1.又因为AB＝CE＝1，AB∥CE，所以四边形ABCE为矩形.所以S四边形ABCD＝S矩形ABCE＋S△ECD＝AB·AE＋eq\f(1,2)CE·DE＝1×2＋eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(5