大题考法精研(三)-概率统计的综合问题

大题考法精研(三)——概率统计的综合问题12目录3题型一概率统计中的决策性问题题型二概率统计与数列的综合题型三概率统计与函数、不等式的综合[例1]

(2023·烟台二模)某企业拥有甲、乙两条零件生产线，为了解零件质量情况，采用分层随机抽样方法从两条生产线共抽取180个零件，测量其尺寸(单位：mm)得到如下统计表，其中尺寸位于[55,58)的零件为一等品，位于[54,55)和[58,59)的零件为二等品，否则零件为三等品.题型一概率统计中的决策性问题生产线[53,54)[54,55)[55,56)[56,57)[57,58)[58,59)[59,60]甲49232824102乙214151716151(1)完成2×2列联表，依据α＝0.05的独立性检验能否认为零件为一等品与生产线有关联？项目一等品非一等品合计甲

乙

合计

(2)将样本频率视为概率，从甲、乙两条生产线中分别随机抽取2个零件，每次抽取零件互不影响，以ξ表示这4个零件中一等品的数量，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)；(3)已知该企业生产的零件随机装箱出售，每箱60个．产品出厂前，该企业可自愿选择是否对每箱零件进行检验．若执行检验，则每个零件的检验费用为5元，并将检验出的三等品更换为一等品或二等品；若不执行检验，则对卖出的每个三等品零件支付120元赔偿费用．现对一箱零件随机检验了10个，检出了1个三等品．将从两条生产线抽取的所有样本数据的频率视为概率，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望作为决策依据，是否需要对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由．[解]

(1)由题意得列联表如下，项目一等品非一等品合计甲7525100乙483280合计12357180因为4.621>3.841＝x0.05，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，可以认为零件是否为一等品与生产线有关联．所以ξ的分布列为设余下的50个零件中的三等品个数为X，设检验费用与赔偿费用之和为Y，若不对余下的所有零件进行检验，则Y＝10×5＋120X，若对余下的所有零件进行检验，则总检验费用为60×5＝300元．因为350>300，所以应对剩下零件进行检验．[思维建模]解决决策性问题的关键是比较衡量指标的大小关系，所以根据题意准确求出衡量指标是根本．其基本的解题步骤：(1)准确定位，确定事件的性质，这是准确建立模型、求解概率的基础；(2)建立目标，根据概率知识求出衡量指标的目标式，如果没有特殊要求，则需要求出数学期望与方差两个方面的指标值；(3)比较大小，比较衡量指标的大小，一般采用作差法或作商法比较大小，如果没有特殊要求，则需要先比较变量取值的平均水平——数学期望，若两者相同，则进一步比较变量取值的离散集中程度——方差；(4)做出决策，根据衡量指标值的大小，做出相应的决策．

[针对训练]1．(2023·泉州模拟)某技术部门对工程师进行达标等级考核，需要进行两轮测试，每轮测试的成绩在90分及以上的定为该轮测试通过，只有通过第一轮测试的人员才能进行第二轮测试，两轮测试的过程相互独立，并规定：①两轮测试均通过的定为一级工程师；②仅通过第一轮测试，而第二轮测试没通过的定为二级工程师；③第一轮测试没通过的不予定级．(1)求经过本次考核，甲、乙、丙三位工程师中恰有两位被定为一级工程师的概率；(2)公司为鼓励工程师参加等级考核设制两套奖励方案：方案一：奖励定为一级工程师2000元，奖励定为二级工程师1500元，未定级给予鼓励奖500元；方案二：获得一级或二级工程师均奖励2000元，未获得任何等级的不予奖励．采用哪套方案，公司的奖励支出会更少？解：(1)设甲、乙、丙被定为一级工程师的事件分别为A1，A2，A3，事件C表示三位工程师中恰有两位被定为一级工程师．(2)方案一：设甲、乙、丙获得的奖金分别为X，Y，Z，则X，Y，Z的可能取值均为2000,1500,500，方案二：设甲、乙、丙获得的奖金分别为X′，Y′，Z′，则X′，Y′，Z′的可能取值均为2000,0，考法分析概率与数列的交汇应用比较广泛，通过构造数列模型，运用数列的思想构造递推数列模型，可以证明不等式、求解最值及生活中的最优问题．主要题型有：(1)求通项公式：关键是找出概率Pn或数学期望E(Xn)的递推关系式，然后根据构造法(一般构造等比数列)，求出通项公式；(2)求和：主要是数列中的倒序求和、错位求和、裂项求和；(3)利用等差、等比数列的性质，研究单调性、最值或求极限．题型二概率统计与数列的综合[例2]

(2023·日照一模)第22届世界杯于2022年11月21日至12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军.[关键点拨]切入点判断随机变量X的分布模型隐藏点线性递推数列转化为等比数列的技巧障碍点由条件确定pn，pn－1的关系故X的分布列为(2)①证明：第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，则当n≥2时，第n－1次传球之前球在甲脚下的概率为pn－1，第n－1次传球之前球不在甲脚下的概率为1－pn－1，[思维建模]概率与数列问题的交汇，多以概率的求解为主线，建立关于概率的递推关系．解决此类问题的基本步骤：(1)精准定性，即明确所求概率的“事件属性”，这是确定概率概型的依据，也是建立递推关系的准则；(2)准确建模，即通过概率的求解，建立递推关系，转化为数列模型问题；(3)解决模型，也就是递推数列的求解，多通过构造的方法转化为等差数列、等比数列的问题求解．求解过程应灵活运用数列的性质，准确应用相关公式．[针对训练]2．(2023·全国校联考模拟预测)某公司生产A，B两种型号的盲盒，每一种型号的盲盒有12款形态各异的玩偶，买家拆封之前，不知道盲盒里玩偶的款式．(1)小明看中了A型号盲盒，12款玩偶中有2款他特别喜欢，1款他不喜欢，另有3款他已经拥有．小明从中随机购买2款，若他购买到1款他特别喜欢的玩偶，积3分；购买到1款他不喜欢的玩偶，积－3分；购买到1款他已经拥有的玩偶，积－1分；购买到1款其他款式玩偶，积1分．设X表示小明购买的2款玩偶的总积分，求X的分布列和数学期望；解：(1)由题意，知X的所有可能取值为－4，－2,0,2,4,6，考法分析概率统计与函数的交汇问题，综合性较强，一是借助二次函数，分段函数的性质，利用单调性求均值和方差的最值；二是利用导数研究函数的极值点，从而确定最优解．但问题的本质仍是以概率统计为主导，利用函数辅助求解．题型三概率统计与函数、不等式的综合[例3]

(2023·新课标Ⅱ卷)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c)．假设数据在组内均匀分布．以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1)当漏诊率p(c)＝0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)；(2)设函数f(c)＝p(c)＋q(c)．当c∈[95,105]时，求f(c)的解析式，并求f(c)在区间[95,105]的最小值．[解]

(1)由题图知(100－95)×0.002＝1%＞0.5%，所以95＜c＜100.设X为患病者的该指标，则p(c)＝P(X≤c)＝(c－95)×0.002＝0.5%，解得c＝97.5.设Y为未患病者的该指标，则q(c)＝P(Y＞c)＝(100－97.5)×0.01＋5×0.002＝0.035＝3.5%.(2)当95≤c≤100时，p(c)＝(c－95)×0.002＝0.002c－0.19，q(c)＝(100－c)×0.01＋5×0.002＝－0.01c＋1.01，所以f(c)＝p(c)＋q(c)＝－0.008c＋0.82；当100＜c≤105时，p(c)＝5×0.002＋(c－100)×0.012＝0.012c－1.19，q(c)＝(105－c)×0.002＝－0.002c＋0.21，所以f(c)＝p(c)＋q(c)＝0.01c－0.98.由一次函数的单调性知，函数f(c)在[95,100]上单调递减，在(100,105]上单调递增，作出f(c)在区间[95,105]上的大致图象(略)，可得f(c)在区间[95,105]的最小值f(c)min＝f(100)＝－0.008×100＋0.82＝0.02.[思维建模]通过设置变量，利用数学期望、方差或概率的计算公式构造函数，是概率与函数问题结合最常用的方式．解决此类问题，应注意两个问题：(1)准确构造函数，利用公式搭建函数模型时，由于随机变量的数学期望、方差，随机事件概率的计算中涉及变量较多，式子较为复杂，所以准确运算化简是关键．(2)注意变量的取值范围，一是题中给出的范围，二是实际问题中变量自身取值的限制．[针对训练]3．(2023·辽宁二模)根据以往大量的测量知某加工厂生产的钢管内径尺寸X服从正态分布N(σ)，并把钢管内径在(μ－σ，μ＋σ)内的产品称为一等品，钢管内径在(μ＋σ，μ＋2σ)内的产品称为二等品，一等品与二等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品回收．现从该企业生产的产品中随机抽取1000件，测得钢管内径的样本数据的频率分布直方图如图所示．(2)假如企业包装时要求把2个一等品和n(n≥2，n∈N)个二等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同，则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B.①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p；②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为f(p)，求当n为何值时，f(p)取得最大值，并求出最大值．参考数据：36.2×0.2＋36.4×0.25＋36.6×0.7＋36.8×0.8＋37×1.1＋37.2×0.8＋37.4×0.65＋37.6×0.4＋37.8×0.1＝185.解：(1)由题意估计从该企业生产的正品中随机抽取1000件的平均数为所以μ＝37，σ＝s＝0.3.则μ－σ＝37－0.3＝36.7，μ＋σ＝37＋0.3＝37.3，μ＋2σ＝37＋0.6