高考数学复习知识点讲义课件30-不同函数增长的差异

4．4.3不同函数增长的差异明学习目标知结构体系课标要求1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型．2．了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义．3．能根据具体问题选择合适的函数模型．重点难点重点：不同函数增长的差异及应用．难点：

对不同函数增长差异的理解.三种常见函数模型的增长差异函数性质y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝kx(k＞0)在(0，＋∞)上的增减性________________________图象的变化随x的增大逐渐变“陡”随x的增大逐渐趋于稳定增长速度固定单调递增单调递增单调递增增长特点随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓直线上升，其增长速度不变增长速度y＝ax(a＞1)的增长速度远远快于y＝kx(k＞0)的增长速度，y＝kx(k＞0)的增长速度快于y＝logax(a＞1)的增长速度结果存在一个x0，当x＞x0时，有

_____________续表ax＞kx＞logax[即时小练]1．判断正误(1)当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值(不为0)，则y是x的一次函数．

(

)(2)函数y＝log2x增长的速度越来越慢．

(

)(3)不存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100. (

)(4)由于指数函数模型增长速度最快，所以对于任意x∈R恒有ax>2x(a>1)．

(

)答案：(1)√

(2)√

(3)×

(4)×2．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：x－2.0－1.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02[典例]已知三个变量y1，y2，y3随变量x变化数据如下表：x12468…y1241664256…y248162432…y30122.5853…则反映y1，y2，y3随x变化情况拟合较好的一组函数模型是

(

)A．y1＝4x，y2＝2x，y3＝log2xB．y1＝2x，y2＝4x，y3＝log2xC．y1＝log2x，y2＝4x，y3＝2xD．y1＝2x，y2＝log2x，y3＝4x[解析]从题表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，呈指数函数变化，变量y3的增长速度最慢，呈对数型函数变化，故选B.[答案]

B[方法技巧]常见的函数模型及增长特点线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是“直线上升”，其增长速度不变指数函数模型指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”对数函数模型对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．可称为“对数增长”[对点训练]1．下列函数中，增长速度最快的是

(

)A．y＝20x

B．y＝x20C．y＝log20x D．y＝20x解析：y＝20x是一次函数，y＝x20是幂函数，y＝log20x是对数函数，y＝20x是指数函数，因为当x足够大时，指数函数增长速度最快，故选D.答案：D

2．今有一组实验数据如下：现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的

一个是

(

)t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.1[典例]近年来，我国积极参与国际组织，承担国际责任，为国家进步、社会发展、个人成才带来了更多机遇，因此，面临职业选择时，越来越多的青年人选择通过创业、创新的方式实现人生价值．其中，某位大学生带领其团队自主创业，通过直播带货的方式售卖特色农产品，下面为三年来农产品销售量的统计表：年份201720182019销售量/万斤415583结合国家支持大学生创业政策和农产品市场需求情况，该大学生提出了2020年销售115万斤特色农产品的目标，经过创业团队所有队员的共同努力，2020年实际销售123万斤，超额完成预定目标．(1)将2017、2018、2019、2020年分别定义为第1年、第2年、第3年、第4年，现有两个函数模型：二次函数模型为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；幂函数模型为g(x)＝kx3＋mx＋n(k≠0)．请你通过计算分析确定：选用哪个函数模型能更好的反映该创业团队农产品的年销售量y与第x年的关系；(2)依照目前的形势分析，你能否预测出该创业团队在2021年度的农产品销售量吗？显然2＜9，因此，选用二次函数f(x)＝7x2－7x＋41模型能更好的反映该创业团队农产品的年销售量y与第x年的关系．(2)依据(1)，选用二次函数模型f(x)＝7x2－7x＋41进行预测，得f(5)＝7×52－7×5＋41＝181(万斤)．即预测该创业团队在2021年的农产品销售量为181万斤．[方法技巧]几类不同增长函数模型选择的方法(1)增长速度不变，即自变量增加相同量时，函数值的增量相等，此时的函数模型是一次函数模型．(2)增长速度越来越快，即自变量增加相同量时，函数值的增量成倍增加，此时的函数模型是指数函数模型．(3)增长速度越来越慢，即自变量增加相同量时，函数值的增量越来越小，此时的函数模型是对数函数模型．[对点训练]芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/10kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表：(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个最好能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogb

t；(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．t50110250Q150108150[典例]函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.

(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2020)，g(2020)的大小．[解]

(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2,9<x2<10，所以x1<6<x2，2020>x2，从图象上可以看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，所以f(6)<g(6)．当x>x2时，f(x)>g(x)，所以f(2020)>g(2020)．又因为g(2020)>g(6)，所以f(2020)>g(2020)>g(6)>f(6)．[方法技巧]比较函数增长情况的方法(1)解析法：直接看函数解析式是一次函数、指数型函数还是对数型函数，其中当x较大时，指数型函数增长速度最快，一次函数增长速度其次，对数型函数增长速度最慢．(2)表格法：通过分析表格中的数据得出函数增长速度的差异．(3)图象法：在同一直角坐标系中画出各函数的图象，观察图象并借助计算器，便能直观地得出这三个函数增长速度的差异．[对点训练]甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，其路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)．有以下结论：①当x>1时，甲走在最前面；②当x>1时，乙走在最前面；③当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为______．解析：四个函数的大致图象如图所示，根据图象易知，③④⑤正确．答案：③④⑤一、在典题训练中内化学科素养高考在本节考查的重点是三类函数模型增长趋势的比较，应用函数模型解决简单问题，体现的核心素养是数据分析、数学运算与数学建模．近年以来，我国国内非洲猪瘟疫情严重，引发猪肉价格上涨，因此，国家为保民生采取宏观调控对猪肉价格进行有效的控制．通过市场调查，得到猪肉价格在近四个月的市场平均价格f(x)(单位：元/斤)与时间x(单位：月)的数据如下：x891011f(x)28.0033.9936.0034.02内化素养

数据分析对于题目条件中所给的数据要从整体上去分析，而不是孤立地看，只有这样才能得数据变化的规律数学运算进行数学运算要善于选择恰当的方法，如本题中利用二次函数的对称性求f(12)二、在导向训练中品悟核心价值

发展理性思维1．对于任意x∈(m，＋∞)，不等式log2x＜x2＜2x都成立，则m的最小值为(

)A．2 B．3C．4 D．5解析：x＞0时，令2x＝x2得：x＝2或x＝4，由于指数函数增长速度比二次函数要快，∴当x＞4时，2x＞x2恒成立，且当x＞4时，x2＞log2x也成立，对数函数增长速度小于二次函数，∴m的最小值为4.答案：C

2．在某试验中，测得变量x和变量y之间的对应数据如下表．则下列函数中，最能反映变量x和y之间的变化关系的是

(

)A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x解析：将x＝0.50，y＝－1.01代入计算，可以排除A；将x＝2.01，y＝0.98代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．答案：D

x0.500.992.013.98y－1.010.010.982.00

注重实践应用3．某地西红柿从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/1000kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：由表知，体现Q与t数据关系的最佳函数模型是

(

)A．Q＝at＋b B．Q＝at2＋bt＋cC．Q＝abt D．Q＝a·logbt时间t50120150种植成本Q26005002600解析：由提供的数据可知，当t＝50时，Q＝2600；当t＝120时，Q＝500；当t＝150时，Q＝2600，则描述西红柿种