第5章生活中的轴对称 题型解读5 角平分线题型-2020-2021学年北师大版七年级数学下册

题型解读5角平分线题型【知识梳理】1.角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴2.角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等3.角平分线的判定：到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。4.用尺规作角的角平分线（依据全等判定SSS）作法：①在OA和OB上分别截取OD，OE使OD=OE；②分别以D，E为圆心，以大于以大于EQ\F(1,2)DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内相交于点C；③作射线OC，则OC就是∠AOB的角平分线.【方法梳理】1.已知角平分线①证角相等或角度计算；②证边相等；③注意两类数学典型模型：a.“角平分线+平行线=等腰△”b.两条角平分线的夹角问题Ⅰ.两内角角平分线的夹角：∠Ⅱ.两内角角平分线的夹角：∠Ⅲ.两内角角平分线的夹角：∠②证边相等；2.证角平分线①从定义的角度思考；②从判定的角度思考；3.常见辅助线①翻折补线，利用角的对称性解题；②补上垂线，利用角的性质或判定解题；4.角平分线尺规作图的识别；【典型例题】例1.如图，在△ABE中，点C、D在边BE上，且AD平分∠CAE，4∠1=∠CAE，∠BAD=48°，求∠2=_____.【解析】出现角度的和差倍分问题，最好的解题技巧是设未知数，再利用角平分线的定义及另两个条件，即可解答。设∠1=x，则∠CAE=4x，∵AD平分∠CAE，∴∠CAD=∠2=2x，∵∠BAD=48°，∴x+2x=48º,∴x=16º,∴∠2=32º.例2.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：△ADE≌△ADF.【解析】利用角平分线的定义及性质，即可用“AAS”证全等.∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90º，DE=DF，∴△ADE≌△ADF.例3.如图,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点F,过点F作DE//BC交AB于点D,交AC于点E,若AB=9cm,AC=8cm,求△ADE的周长.【解析】数学典型模型：“角平分线+平行线=等腰△”∵BF是角平分线，∴∠DBF=∠CBF，∵DE//BC，∴∠DFB=∠CBF，∴∠DBF=∠DFB，∴DB=DF，同理可得：CE=EF，∴△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+DF+EF+EC=（AD+DB）+（EC+AE）=AB+AC=17cm例4.已知，如图，BP、CP分别平分△ABC的外角∠CBD、∠BCE，BQ、CQ分别平分∠PBC、∠PCB.当∠BAC=40°时，∠BPC=______;∠BQC=______.解析：∠BPC=70°;∠BQC=125°.例5.如图，∠A=120°,且∠1=∠2=∠3和∠4=∠5=∠6，则∠BDC=()A.120°B.60°C.140°D.无法确定【解析】由三角形内角和公式可得：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=60°，∵∠1=∠2=∠3和∠4=∠5=∠6，∴∠2+∠3+∠5+∠6=23×60°=40°，∴∠B例6.如图,已知△ABC的面积为10，AD平分∠BAC且AD⊥BD于点D,则△ADC的面积=______.【解析】延长BD交AC于点B，由于∠BAE是轴对称图形，AD是角平分线，易得△ABD≌△AED，可得D点是BE的中点，依“中线把三角形分成两个面积相等的小三角形”这一性质，可得出△ABD与△AED、△BCD与△ECD面积分别相等，所以△ABC的面积是△ADC面积的两倍，即可得出结论。延长BD交AC于点B，由题可知：∠BAD=∠EAD，AD=AD，∠ADB=∠ADE=90º，∴△ADB≌△ADE，∴BD=ED，∴S△ABD=S△AED，S△BCD=S△ECD，∴S△ABC=2S△ADC，∴S△ADC=5.例7.如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE=2，AC=3，则ΔADC的面积是____【解析】有角平分线，有一条垂线段，补上一条垂线段，即可运用角平分线的性质求解结论。如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴DE=DF=2．∴S△ADC=AC×DF÷2=3×2÷2=3.例8.如右图，AD是△ABC中角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，则△EDF的面积为_____【解析】作DM⊥AC，利用角平分线性质可得DF=DM，则易证△FED≌△MGD（HL）、△AFD≌△AMD（AAS），即可得出这些三角形的面积分别相等，再利用题目已知条件，进行等量代换，即可得出结论；由题可知：DF=DM，AD=AD，∴Rt△FED≌Rt△MGD（HL）,∴S△FED=S△MGD,∵∠AFD=∠AMD，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△AFD≌△AMD，∴S△AFD=S△AMD，设S△AFD=S△AMD=x，由S△DMG=50-x=S△EFD，∴S△AFD=38+（50-x）=88-x，∵S△AFD=S△AMD，∴88-x=x,∴x=44,∴△EDF的面积为50-44=6.例9.如图,AB//CD,O是∠BAC,∠ACD的平分线的交点,OE⊥AC于E,且OE=2,则AB与CD间的距离为_____【解析】已知角平分线，却只有一条垂线段，所以分别补上两条垂线段，再运用角平分线的性质得出OE=OM=ON=2，即可得出AB与CD间的距离为4.过点O作MN⊥AB于点N，交CD于点M，∵AB//CD，∴OM⊥CD，∵OA、OC是∠BAC,∠ACD的平分线，OE⊥AC,且OE=2,∴OE=OM=ON=2，∴MN=4，即AB与CD间的距离为4.例10.如图，已知△ABC的周长是32，OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD=6，则△ABC的面积是___.【解析】有角平分线，有一条垂线段，分别补上两条垂线段，就可以运用角平分线的性质求出各小三角形的高，再利用△ABC的面积等于△AOB、△BOC、△AOC的面积之和，列式即可得出△ABC的面积.连接OA，分别作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，∵OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC，∴OE=OD=OF=6，∴S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=AB×OE÷2+BC×OD÷2+AC×OF÷2=3AB+3BC+3AC=3（AB+BC+AC）=3×32=96.例11.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=20°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于P,连接AP并延长交于点D,则∠ADB的度数为_____【解析】由角平分线的定义、三角形内角和公式、三角形外角定理即可求解。由图可知，AD是∠CAB的角平分线，∵∠C=90°,∠B=20°