《分类计数原理与分步计数原理（一）》教学设计

《分类计数原理与分步计数原理（一）》教学设计

一、教学内容解析：

1.教学内容：

分类计数原理、分步计数原理，这两个原理也是本次课的教学重点。

2.概念解析：

分类计数原理和分步计数原理都是计算完成一件事共有多少种不同方法数的原理，也叫

加法原理和乘法原理。其区别在于：运用加法原理的前提条件是完成一件事有n类办法，选

择任何一类办法中任何一种方法都可以独立完成此事，就是说，完成这件事的各种方法是相

互独立的，所以总方法数为各类方法数之和；运用乘法原理的前提条件是完成一件事需n

个步骤，只有依次完成所有步骤后才能完成这件事，就是说，完成这件事的各个步骤是相互

依存的，所以总方法数为各步骤方法数之积。

3.两个计数原理的地位和作用：

分类计数原理与分步计数原理是人们在大量实践经验的基础上归纳出来的基本规律，

体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分类解决或分步解决。这不仅是今后推导排

列数与组合数计算公式的依据，而且这种解决问题的思想与方法贯穿于本章的始终。

二、教学目标设置：

1.知识与技能目标：理解并掌握分类计数原理与分步计数原理，能用它们分析和解决一

些简单的应用问题。

2.过程和方法目标：创设情境，将一些实际问题归结为一个分类或分步的计数问题，使

学生的建构思维能力得到提升；在总结时用到特殊到一般的思想；在解题时通过类比，举一

反三，使学生对两个计数原理有一个更深刻的理解。

3.情感与态度目标：通过学生小组活动，培养学生周密思考、细心分析的良好的学习习

惯，使学生在现实生活中面对复杂的事务和现象，能够作出正确的分析，准确的判断，进而

拿出完善的处理方案，认识数学知识与现实生活的内在联系及不可分割性。让学生感受到亲

切、和谐的学习氛围，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力。

三、学生学情分析：

1.认知基础分析：

学生在初中学习过用列举法或树状图来解决一些计数问题，已经具备了一定的归纳、类

比能力，也能解决一些简单的实际问题，这些形成了学生思维的“最近发展区”。

2.可能学习障碍分析:

正确使用两个计数原理的前提是要学生清楚两个计数原理使用的条件：分类用加法原理,

分步用乘法原理，单纯这点学生是容易理解的。加法和乘法在小学就会，那么，在中学再学

它与以往有什么不同？不同在于小学阶段重在运算结果的追求，而忽视了其过程中包含的深

层次思想；两个原理恰恰深刻反映了人类计数最基本的“大事化小”，即“分解”的思想。

更具体地说就是把完成一件事的方法数分成类或分成步去数。学生往往在判断是分类还是分

步去完成一件事会有一定的障碍，部分学生对乘法原理的运算结果难以理解。因此，把本节

课的教学难点定为：（1）如何判断完成一件事是分类或分步完成；（2）理解分步计数原理

中的运算方法，即总方法数为各步骤方法数之积。

3.突破难点分析：

要准确的判断是分类还是分步去完成一件事，首先得明确这是一件什么事，该怎样去完

成。在分析的过程中，便会发现有些事可以按某些方法独立完成，有些事需要多个步骤才能

完成。能独立完成的就用分类，需多个步骤完成的就用分步。为此，设计了两个小组活动来

让学生体会。

对于分步计数原理的运算结果，可利用树状图并结合小学对乘法的理解来突破。

四、教学策略分析：

本节课的课本引例、例题同学们通过预习大多都能看懂。为了贴近学生实际生活，激发

学生学习兴趣，在创设情境和例题的选用上，选择了学生所熟悉的校园生活事例。

本节课采用了老师引导启发，学生分小组合作学习的方法进行教学。利用多媒体显示问

题情境，让学生通过小组活动，具体地分析比较，进而归纳总结，体现了从特殊到一般的思

维过程,既关注了学生的认知基础，又促使学生在原有认知基础上获取知识,提高思维能力，

保持高水平的思维活动，符合学生的认知规律。

学生在小组合作交流中，对问题的理解可以得到互补完善。从学生回答问题和学生间

的相互评价中，使老师更多地了解学生的理解程度。

五、教学过程：

1.创设情境，揭示课题

先看下面的问题：

①一次集会共50人参加，结束时，大家两两握手，互相道别，请你统计一下，大家握

手次数共有多少？

②把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？

③如果我市的汽车牌照的号码使用2个英文字母后接3个阿拉伯数字的方式构成,那么

可能的汽车牌照号码共有多少个？

这些问题实际上都是一些计数问题，都是计算完成一件事共有多少种不同的方法数。我

们今天将要学习的分类计数原理和分步计数原理就是为了解决这类问题的0

计算完成一件事共有多少种不同方法，我们应该怎样做呢？（启发学生思考）这就好比

我要你去完成一件事，你首先想到的是什么？（这是一件什么事？）然后想到的又是什么呢？

（怎样去完成？）在分析的过程中我们才知道怎样完成这件事，其次才是计算完成它的所有

方法数。

今天，我们的学习将从这两方面去展开。

设计目的:选择学生身边的素材作为新课引入的实例，利用简单的熟悉的问题情境激发

学生学习的积级性,让学生在迫切要求下去探究。

2.逐层探索，构建新知

问题1.某旅游团从南京到上海，可以乘汽车，也可以乘火车，假定汽车每日有3班，火

车每日有2班，那么一天中从南京到上海共有多少种不同的走法？

问题2：在由电键组A与B所组成的并联电路中，如图，在使用电键最少的情况接通

电源，使电灯发光的方法有多少种？

■由上述情景，你能归纳猜想出一般结论吗？

得出分类加法计数原理的概念，通过例题加深概念的理解。

问题3.某旅行团准备从南京经杭州到上海，先乘汽车从南京至杭州，两天后再乘汽车

从杭州至上海，假定南京至杭州的汽车每天有3班，杭州至上海的汽车每天有2班，那么

该团从南京经杭州到上海有多少种不同的方法？

问题4：在由电键组A、B组成的串联电路中，如图，在使用电键最少的情况下要接

通电源，使电灯发光的方法有几种？

得出分步乘法计数原理的概念，通过例题加深概念的理解。

比较问题1,3和问题2,4的完成过程，你能发现它们的不同之处吗？

完成一件事：一步到位，直接完成；不能直接完成，需要分步完成。

学习小组活动一：议一议，如何完成以下这些事情。

（学生在各自的学习小组内讨论之后，由小组代表发言。）

设计目的:让学生感知完成一件事，可以分类去解决，或者分步去解决。

情境1、节目主持候选人中有4名男同学，8名女同学，

（1）若从中任选一人主持节目；（可以选一名男同学或选一名女同学，都直接完成。

在你的选法中，从同学的性别来分，可分为两类，一类是选男同学，一类是选

女同学，不管选男还是选女，它们都可以独立地完成这件事。）

(2)若从中任选一个男同学和一个女同学共同主持节目。(不能直接完成，需分两

步。第一步选一个男同学，第二步选一个女同学。不管选男同学还是选女同学，

若少一步则不能完成这件事，这两步的关系是相互依存的。)

情境2、书架上有5本不同的语文书，3本不同的数学书，2本不同的英语书，

(1)从书架上任取一本书；

(2)从中任选三本不同科目的书。

在完成的过程中，我们还发现，能直接完成的往往也可以按某一标准分类去完成；不

能直接完成的则需要分步去完成。

什么时候可分类完成，什么时候需分步完成呢？

能独立完成的就用分类，需多个步骤完成的就用分步。

学习小组活动二：算一算，完成以下这些事情分别有多少种不同的方法。

设计目的:让学生用已有的知识去计算，在与同学的交流中完善其方法，找到其中的规

律。

分类完成：

(1)节目主持候选人中有4名男同学，8名女同学，若从中选一人主持节目，共有

多少种不同的选法？

第一类：选一男有4种选法；第二类：选一女有8种选法，共4+8=12种

(2)书架上有40本不同的语文书，30本不同的数学书，20本不同的英语书，

从书架上任取一本书，共有多少种不同的选法？

第一类：选一语有40种选法；第二类：选一数有30种选法；第三类：选一英有20种

选法，共40+30+20=90种

分步完成：

(1)节目主持候选人中有4名男同学，8名女同学，若从中选一个男同学和一个女

同学共同主持节目，共有多少种不同的选法？

男1配一女有8种选法，共4个男；女1配一男有4种选法，共8个女；(树状图)

第一步：选一男有4种选法；第二步：选一女有8种选法。

(8+8+8+8=4+4+4+4+4+4+4+4=4X8=32)

（2）书架上有40本不同的语文书，30本不同的数学书，20本不同的英语书，

从中任选三本不同科目的书，共有多少种不同的选法？

分析：完成第一步和第二步（选定一本语文书和一本数学书）共有1200种方法，

再选英语书时，前面的每一种方法都对应20种选法，所以共有2400。种选法。

3.比较归纳，深化概念

学习小组活动三：想一想：分类完成的计数问题如何计算？

分步完成的计数问题如何计算？

设计目的:学生通过具体事例的分析、计算，找到规律，用自己的语言表述出来，锻炼

了学生的概括能力。

分类解决：完成这件事的所有方法数为各类办法的方法数之和。

分步解决：完成这件事的所有方法数为各步方法数之积。

（由两位同学作总结发言）这也就是我们今天要学习的分类计数原理和分步计数原理

的内容。（电脑显示，学生朗读）

分类计数原理：完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在

第2类办法中有根2种不同的方法……在第n类办法中有溶*种不同的方法，那么完成这件

事共有方=的+啊+…+活*种不同的方法。

分步计数原理：完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有冽1种不同的方法，做

第2步有制2种不同的方法……做第n步有w*种不同的方法，那么完成这件事共有

种不同的方法。

分类计数原理又称加法原理，分步计数原理又称乘法原理，你能说说它们命名的理由吗？

（一个结果用各类方法数相加，一个结果用各步方法数相乘）

什么时候用加法原理，｛r么时候用乘法原理呢？

再次强调加法原理中的每一种方法都能独立完成这件事，而乘法原理中的各步中的方法

不能独立完成这件事。

4.学以致用，培养能力

我们学习了两个计数原理,我们又该如何运用它们去解决一开始提出的爬楼梯问题呢？

从一楼到二楼：分类完成，共四类，每类1种走法，所以共4种不同的走法。

从一楼到六楼：分步完成，共五步，每1步都有4种走法，所以共有

4x4x4x4x4=1024种不同的走法。

设计目的:前后呼应，用已学知识解决提出的问题，达到学以致用的目的。

5.总结反思，提高认识

通过这节课的学习，同学们在知识方面有什么样的收获？

(1)知识积累：分类计数原理、分步计数原理。

同学们再回想一下，我们是怎样得到这两个计数原理的？

(2)思维体验：通过了一些具体的问题分别归纳出了分类计数原理和分步计数计数原

理，由特殊到一般是重要思维方式之一。

师：完成什么事，怎样算完成？分类或分步？一定要分清！独立就分类，分类则相加。

分步必相依，分步则相乘。

分类计数原理与分步计数原理体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分类解

决或分步解决。这不仅是今后推导排列数与组合数计算公式的依据，而且这种解决问题的思

想与方法贯穿于本章的始终。

6.布置作业，拓展知识

练习：一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同。

(1)从两个口袋里，各取1封信，有多少种不同的取法？

(2)从两个口袋里，任取1封信，有多少种不同的取法？

(3)把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？

希望大家课后通过练习再进一步巩固今天所学内容。

课后作业：

1.课本：A、1,3

B、1

1-1A、1、2、4

2.实际应用：以小组为单位观察实际生活中的计数问题，并想办法解决它。

1.认知基础分析：

学生在初中学习过用列举法或树状图来解决一些计数问题，已经具备了一定的

归纳、类比能力，也能解决一些简单的实际问题，这些形成了学生思维的“最近

发展区”。

2.可能学习障碍分析：

正确使用两个计数原理的前提是要学生清楚两个计数原理使用的条件：分

类用加法原理，分步用乘法原理，单纯这点学生是容易理解的。加法和乘法在小

学就会，那么，在中学再学它与以往有什么不同?不同在于小学阶段重在运算结

果的追求，而忽视了其过程中包含的深层次思想；两个原理恰恰深刻反映了人类

计数最基本的“大事化小”，即“分解”的思想。更具体地说就是把完成一件事

的方法数分成类或分成步去数。学生往往在判断是分类还是分步去完成一件事会

有一定的障碍，部分学生对乘法原理的运算结果难以理解。因此，把本节课的教

学难点定为：（1）如何判断完成一件事是分类或分步完成；（2）理解分步计数

原理中的运算方法，即总方法数为各步骤方法数之积。

3.突破难点分析：

要准确的判断是分类还是分步去完成一件事，首先得明确这是一件什么事,

该怎样去完成。在分析的过程中，便会发现有些事可以按某些方法独立完成，有

些事需要多个步骤才能完成。能独立完成的就用分类，需多个步骤完成的就用分

步。为此，设计了两个小组活动来让学生体会。

效果分析

通过学生对所涉及问题的回答可以看出，学生对本节的概念的理解已经非常到位，对

问题产生的原因也比较清楚，最重要的是学生已经理解分类加法原理和分步乘法计数原理,

通过变式训练可以看出，学生对两计数原理已经基本掌握。课堂效果不错。通过课后习题

来看，学生都能准确的解决问题，多数学生步骤也比较规范，只是少数学生显得不太规范，

在日后的教学中还需严格要求。

1.教学内容：

分类计数原理、分步计数原理，这两个原理也是本次课的教学重点。

2.概念解析：

分类计数原理和分步计数原理都是计算完成一件事共有多少种不同方法

数的原理，也叫加法原理和乘法原理。其区别在于：运用加法原理的前提条件是

完成一件事有n类办法，选择任何一类办法中任何一种方法都可以独立完成此事,

就是说，完成这件事的各种方法是相互独立的，所以总方法数为各类方法数之和；

运用乘法原理的前提条件是完成一件事需n个步骤，只有依次完成所有步骤后才

能完成这件事，就是说，完成这件事的各个步骤是相互依存的，所以总方法数为

各步骤方法数之积。

3.两个计数原理的地位和作用：

分类计数原理与分步计数原理是人们在大量实践经验的基础上归纳出来

的基本规律，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分类解决或分步解

决。这不仅是今后推导排列数与组合数计算公式的依据，而且这种解决问题的思

想与方法贯穿于本章的始终。

1.（5分）一名学生做除法游戏，在一个口袋中装着20张分别标有数1,2,…，20的红卡片，

从中任意抽取一张,把卡片上的数作为被除数;在另一个黄口袋中装着10张分别标有数1,

2,…，10的黄卡片，从中任取一张，把卡片上数作为除数，则一共可以列出_______个不

同的式子。

2.（12分）一城市的某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字组成，其中前四位数字是

统一的，后四位数字都是。到9之间的一个数字，那么不同的电话号码最多有多少个？

3.(12分)如图，从甲地到乙地有两条陆路可走，从乙地到丙地有3条陆路可走，又从甲

地不经过乙地直接到达丙地有两条水路可走：

(1)从甲地经过乙地到丙地有多少种不同的走法？

(2)从甲地到丙地共有多少种不同的走法？

4.(12分)已知集合乂={1,2,3},N={2,3,4,5)

(1)任取一个奇数〃,MuN,共有多少种不同的取法?

(2)设点。(*,y),xwM,yeN,问可以表示多少个不同的点?

(