2022届中考数学压轴难题附答案解析

2022年中考数学压轴题

1.如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做“半高

三角形”.

如图1,对于△ABC,边上的高4。等于3c的一半，△A8C就是半高三角形，此时，

称△ABC是BC类半高三角形；如图2,对于△EFG,£尸边上的高G”等于E尸的一半，

△EFG就是半高三角形，此时，称△EFG是EF类半高三角形.

(1)直接写出下列3个小题的答案.

①若一个三角形既是等腰三角形又是半高三角形，则其底角度数的所有可能值为

15°、75°.

1

②若一个三角形既是直角三角形又是半高三角形，则其最小角的正切值为与

③如图3,正方形网格中，L,M是已知的两个格点，若格点N使得△LMN为半高三角

形，且为等腰三角形或直角三角形，则这样的格点N共有7个.

(2)如图，平面直角坐标系内，直线y=x+2与抛物线y=/交于上S两点，点T坐标

为(0,5),点尸是抛物线上的一个动点，点Q是坐标系内一点，且使得ARSQ为

RS类半高三角形.

①当点P介于点R与点S之间(包括点R,S),且PQ取得最小值时，求点尸的坐标.

②当点P介于点R与点。之间(包括点R,O)时、求PQ+乎。T的最小值.

解：(1)①当底边上的高等于底边的一半时，

如下图aABC为等腰三角形，AB=AC,AD=^BC,

则AO=CQ,则/B=NC=45°；

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当腰上的高等于腰长的一半时，

同理底角为75°或15°,

故：答案为45°、15°、75°；

②当底边上的高等于底边的一半时，如上图，AABC为等腰直角三角形，

故最小角为45°,最小角的正切值为1；

腰上的高等于腰长的一半时，同理可得：最小角的正切值为

2

故答案为1或士

2

③如图3,这样的格点N共有7个，具体情况见下图，小黑点所示的位置,

(2)将抛物线与直线方程联立并解得：x=-1或2,

即：点R、S的坐标分别为(-1,1)、(2,4),则RS=3VL

1L372

则RS边上的身为5x3y2=—,

则点。在于RS平行的上下两条直线上，如下图，

过点。作交于点，，则〃。=挈，则。N=罡褊=3,

aoc*L1J

点N(0,2),则点M(0,5),点M于点T重合，

则点。的直线方程为：y=x+5,

当该直线在直线RS的下方时，)，=x-l,

故点Q所在的直线方程为：y=x+5或y—x-1；

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①如图4,当点P介于点R与点S之间时,

设与RS平行且与抛物线只有一个交点P'的直线方程为：y=x+d,

将该方程于抛物线方程联立并整理得：W-x-"=O,

1

△=l+4d=0,解得：d=一了,

q

此时，x2-x+^=0,解得：x=

11

点产'(-,-),此时，P(P')Q取得最小值；

②当点P介于点R与点。之间(包括点R,。)时，

如图4,连接PQ,过点。作QH垂直过点T于x轴平行的直线于点H,

图4

则HQ=孝07,

PQ+节QT=PQ+QH,

当点P与点R重合，且尸、。、，在一条直线且与直线”7垂直时，P。+芋Q7有最小值,

则其最小值为yr-yR=5-1=4.

2.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形A8CD的边48在x轴上，A。与y轴交于点E,

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连接BE,已知点A(-3,0)、B(3,0)、C(7,4),点G为对角线8。上一点，过点

G作y轴的平行线交8E于点F,点M、N是直线8E上的两个动点(点M在点N的上方)，

9

8-连接GN、DM.

(1)求△BQE的面积；

(2)若G尸=会求。M+MN+NG的最小值，此时在y轴上有一动点R,当|GR-NR|最大

时，求点R的坐标；

(3)在(2)的条件下，把△G/78绕点B逆时针旋转一个角。(0°<a<180°),在旋

转过程中，直线GF与直线5Ax轴分别交于点尸、点Q,当△BPQ是以3为顶点的等

腰三角形时，求出尸。的长以及相应的旋转角a的度数.

解：(1)•・,四边形A8CD是平行四边形，

：.CD//AB,CD=AB=6

VC(7,4)

：.D(1,4)

设直线AD解析式为〉=丘+匕,将A(-3,0),0(1,4)代入得｛:=气解得｛：=；

,直线AO解析式为y=x+3,令1=0,得y=3,

：.E(0,3)

**•S^BDE=S/\ABD-S/\ABE=2x6X4-x6X3=3

(2)设直线BE解析式为尸hx+加，将B(3,0)、E(0,3)代入得瓦二°,解

得阵。

...设直线BE解析式为y=-x+3,

设直线BQ解析式为丫=5+也,将8(3,0)、。(1,4)代入得｛y；^%°,解得《2=~2,

，设直线解析式为y=-2/6,

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设G(nz,-2m+6),FCm,-m+3),由题意得GF=-2m+6-(-m+3)=-ni+3=

解得〃?=I，

333

：.G(-,3),F(-,-)

222

如图1,9：OB=OE=3

：.ZOBE=45°

：.OE=OB=*BE

..9V2

•M.N——g-，

9

・••点M分别向右向下平移3个单位得到点N,

作点。关于直线8E得对称点。1,连接。1M,过点N作D2N〃。也且D2N=DIM,

17

：.D\(-1,2),D2(-,-),

88

・•・DM+MN+NG=MN+W+GN,

・•・当。2、N、G在同一直线上时，£>2N+GN=Z)2G为最小值，

3=母炉HF=零

9V2+V410

:.DM+MN+NG的最小值为----------

8

•：当点R、N、G在同一直线上时，IGR-NRI最大，

・・・点R是直线力2G与y轴的交点.

3

17-解

设直线£>2G解析式为丁=攵巾+加，将。2­),2

88

**•直线D2G解析式为>-条工+%,令％=0，得y=||

15

:・R(0,—).

22

(3)••・△BP。为等腰三角形，NPBQ=45°或135°,

，NBQP=22.5°或45°或67.5°或90°

△BFG中,NBFG=180°-ZGF£=180°-45°=135°,BF=^BE=

在旋转过程中，直线G尸与x轴的交点Q在点B左侧时，：/台。/3)为。，.♦.△BPQ不

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可能为等腰三角形.

当点。在点8右侧时，分三种情况：

①如图2,NBQP=NPBQ=45°,

NBPQ=90°

VZBF'G'=ZBFG=135°

:.NBF'2=180°-135°=45°,

BQ=90°，

：.ZFBF'=ZOBE+ZOBF'=45°+90°=135°,即旋转角a=135°；

在△BF'。中，'：ZF'BQ=90°,ZBF'Q=ZBQF'=45°,

：.BQ=BF'=竽，

；NPBQ=NOBE=45°,

.•./BPQ=180°-NPBQ-NBQF'=90°,

；.PQ=BQ・sin/PBQ=挈sin45°=|(舍去)；

②如图3,NBQP=NBPQ=67.5°,ZBF'G'=135°,

AZBF'Q=45°,

r.ZF152=180°-ZBF'Q-ZBQP=1SO0-45°-67.5°=67.5°,

ZOBF'=180°-NF'8Q=180°-67.5°=112.5°

，旋转角a=NOBE+NOBF'=450+112.5°=157.5°

过点B作BM_L尸。于M,VZF,BQ=NBQP=67.5°,

：.F'Q=F'8=挈，

在Rt^F'8M中，VZBF'M=45°,

：.BM=F'M=^BF=x=I，MQ=F'Q-F'M=竽一|,

•:/BPQ=NBQP,

:.BP=BQ

:BM1.PQ

35/23「

：.PQ=2MQ=2(---)=3V2-3.

③如图4,NBQP=NBPQ=225°时，ZBF'G'=135°,

AZBF'P=45°,

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.♦.NF'BQ=NBF'P-ZBQP=45°-22.5°=22.5°

旋转角a=NE80+NF'BQ=45°+22.5°=67.5°；

过点8作2M_LP。于M,；NBQP=NBPQ=22.5°,

BP=BQ

'：BM±PQ

：.PQ=2MQ

VZF'BQ=NBQP,

：.F'Q=BF'=挈

■:NBF'P=45°,

：.F'M=BF'cosNB尸'P=^cos45°=1

3>/23「

：.PQ=2MQ=2(—+-)=3V2+3.

④NBQP=90°时，

旋转角a=180。，V00<a<180°

不符合题意.

综上所述，PQ=3位+3,a=67.5°或PQ=3企一3,a=157.5°

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X

3.综合与探究

如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=/+|x+3与x轴交于A,B两点（A在8左侧），

与），轴交于点C.点A坐标为（-1,0）.直线/为该抛物线的对称轴，且交直线BC于

点D.抛物线上有一动点P,且横坐标为m（4</n<9）,连接PD,过点P作尸E，/于点

（1）求抛物线及直线BC的函数表达式.

（2）当与△BOC相似时，求相的值；

（3）如图2,点M为直线BC上一动点，是否存在点P,使得以点A,C,P.M为顶点

的四边形是平行四边形？若存在，直接写出此时点P和点M的坐标；若不存在，说明理

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解：⑴把点A(-1,0)代入y=/+1x+3中，得。=一热・・抛物线的函数表达式为,

y=—黑+氏+3

当x=0,得y=3；.点C的坐标为(0,3)

当y=0时，得-y=—#+|x+3=0

解，得xi=-l,%2=9.♦.•点A在点8左侧点B坐标为(9,0)

设直线BC的函数表达式为

把点B(9,0)和C(0,3)代入上式,

解得k=一基直线8C的函数表达式为丫=一次+3

(b=3

（2）在RtZiBOC中，0B=9,0C=3,:PEL于点E.ZPED=ZBOC=90°.

V直线I为抛物线产-|x+3的对称轴,

.•.直线/为x==一齐[2*(-1)]=4

.•.点。和E的横坐标为4

11C

把x=4代入y=—寸+3中,得y=-2x4+3=耳.

・•・点。坐标为(4,1)

・・,点P是抛物线上的点，

1rA1cA

•••设P(m,-w〃广+y%+3),E(4,一可〃广+可m+3)

V4</?/<9,且△£)£>p与△BOC相似

・••点七在点。上方，点尸在点E右侧.

1o851)84

:♦DE=一+可机+3-弓=一司机+司机+司，PE=rn~4

pgOE

①当△£)£「〜A30C时，—=—,

39

缶小殂—1+J161—1—J161,仝、

解得力］=-----------,相2=-----2-------（舍）

OEPE

②当△QEP〜△COB时，—=—,

12.8.4

~3m+3m+37n—4

BP--------——-=------

39

解得〃“=8,m2=-1（舍）

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―1+V161

...当△OEP与△BOC相似时'机的值为或8

(3)•.•点户的横坐标在4与9之间

；.A、C、P、M组成的平行四边形只有一种情况，如图

可证△PMNg/SAC。(A4S)

：・OA=MN=1,PN=CO=3

设点M(/w,—可m+3)

则P(m+1,一寺ni+3+3)

将点P坐标代入解析式，可解得〃?=安更

一―一，一，9+V4129-V41一，一，7+V4111-V41

••.存在点尸坐标为(------，-------)，点M坐标为(------，-------)

2626

4.定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为

该三角形第三个内角的遥望角.

(1)如图1,NE是△ABC中NA的遥望角，若NA=a,请用含a的代数式表示NE.

(2)如图2,四边形A8C。内接于。0,AD=BD,四边形A8C£＞的外角平分线。尸交

。。于点尸，连结B尸并延长交C。的延长线于点E.求证：NBEC是△ABC中/BAC

的遥望角.

(3)如图3,在(2)的条件下，连结AE,AF,若AC是。0的直径.

①求NAED的度数；

②若A8=8,CD=5,求△OEF的面积.

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EE

解：(1)〈BE平分/ABC,CE平分NACO,

1ii

・•・NE=/ECD-NEBD=*(ZACD-ZABC)=1乙4=匆

(2)如图1,延长8C到点T,

图1

;四边形bBC。内接于OO,

AZFDC+ZFBC=180°,

又•；NFDE+NFDC=180°,

：.ZFDE=ZFBCf

/平分/ADE,

I.NADF=NFDE,

ZADF=NABF,

：./ABF=/FBC,

・・・3E是NABC的平分线，

*：AD=皿，

・・・/ACD=/BFD,

VZBFD+ZBCD=180°,ZDCT+ZBCD=180°,

：・/DCT=/BFD,

：.ZACD=ZDCT,

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・•・CE是△ABC的外角平分线，

，ZBEC是△ABC中ABAC的遥望角.

(3)①如图2,连接CF,

•・•ZBEC是AABC中ZBAC的遥望角，

，NBAC=2/BEC,

■:NBFC=/BAC,

：.NBFC=2NBEC,

■:ZBFC=NBEC+NFCE,

：.ZBEC=ZFCE,

■:4FCE=4FAD,

：.ZBEC=ZFADf

又,：4FDE=4FDA,FD=FD,

/.△FDE^AFDA(/LAS),

：.DE=DA9

：.NAED=NDAE,

•「AC是。0的直径，

AZADC=90°,

AZAED+ZDAE=90°,

ZAED=ZDAE=45°,

②如图3,过点A作AGL5E于点G,过点/作FA/LCE于点M,

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E

图3

〈AC是。。的直径，

AZABC=90°,

VBEWZABC,

1

AZFAC=ZEBC=^ZABC=45°,

VZAED=45°,

・・・ZAED=ZFAC,

*：/FED=/FAD,

：.ZAED-ZFED=ZFAC-/FAD,

：.NAEG=NCAD,

ZEGA=ZADC=90°,

/.△EGA^AADC,

.AEAG

••—,

ACCD

・・•在RtAABG中，A8=8,ZABG=45°，

：.AG=^AB=4V2,

在RtZ\A£>E中，AE=V2AD,

.y/2AD4\/2

••=,

AC5

AD4

•#•=—,

AC5

在中，AD2+DC2=AC2,

・•・设A£)=4x,AC=5x,则有(4x)2+52=(5x)2

/.x=耳,

20

：.ED=AD=^-9